华科信号与线性系统第4讲.ppt

信号与线性系统,第 4 讲 教材位置: 第3章 连续信号的正交分解 3.1-3.3 内容概要: 正交函数集与信号分解；傅里叶函数集与信号的傅里叶级数表示,2019/5/25,信号与线性系统第4讲,2,开讲前言前讲回顾,连续线性时不变系统的时域求解 响应的分解 零输入响应零状态响应 零输入响应对应齐次方程通解算子运算 零状态响应通过信号分解求得 激励函数表示为冲激函数的积分 冲激响应的特解有标准的形式 零状态响应通过激励函数与冲激响应卷积积分求得 时间域求解复杂，仅仅反应系统时域特征 变换域求解 简化求解难度 拓展系统分析的非时域范畴,2019/5/25,信号与线性系统第4讲,3,开讲前言-本讲导入（ 3.1 引言）,线性系统中对信号的分解有利于系统分析 分解激励与初始条件对应零状态与零输入的响应 分解激励为冲激函数的积分得到通行的零状态解法 还有怎样的分解方式能带给我们分析系统的方便? 简化计算 引入更多的物理意义，便于对分析结果的物理解释 数学上关于信号分解的描述 矢量的分解：多维空间的位置，可以通过各个坐标值定位 能够构成坐标空间的矢量要满足什么条件？ 函数是不是也可以分解到一个所谓的函数空间？ 具有分解价值的函数集 如果能有建立函数空间的函数集，具有很好的物理解释的函数集是什么？ 这些促成我们需要来研究学习关于信号的正交分解,2019/5/25,信号与线性系统第4讲,4,3.2正交函数集与信号分解,1、矢量的分量 矢量的分量：在另外一个矢量方向的投影 投影角度不同、与原矢量的差Ve不同 垂直投影是误差最小的投影，所以分量一般用垂直投影表示 C12表示两个矢量的接近程度， C121，两矢量夹角为0，两者重合（一致） C120，两矢量夹角为900，两者垂直（正交）,2019/5/25,信号与线性系统第4讲,5,3.2正交函数集与信号分解,2、正交矢量空间 空间可以由正交矢量来定义 空间内的矢量可以通过分解到正交矢量方向的分量表示 要能对空间内任一矢量唯一分解，需要正交矢量集具有完备性 正交矢量集的数学定义 集内不同矢量的点积为0 归一化正交矢量集 矢量的模等于1,2019/5/25,信号与线性系统第4讲,6,3.2正交函数集与信号分解,3、函数分量与函数正交 类比矢量的分析方法 函数的分量表示 不同C12取值，分量与原函数的误差不同 使得误差最小的C12的计算,C120，相互之间不包括对方分量，两个函数正交。 C12的分子等于0就是两个函数正交的条件。,2019/5/25,信号与线性系统第4讲,7,3.2正交函数集与信号分解举例,例：,试用sint 在区间（0，2）来近似f(t),1,t,0,-,1,2019/5/25,信号与线性系统第4讲,8,3.2正交函数集与信号分解举例,解：,所以：,2019/5/25,信号与线性系统第4讲,9,3.2正交函数集与信号分解,4、正交函数集 n个函数g1(t),g2(t),gn(t) 构成一函数集，如在区间 (t1,t2) 内满足正交特性，则此函数集称为正交函数集， 任意函数可由n个正交函数的线性组合近似， 要使近似结果误差最小，可证明各个分量系数应满足,2019/5/25,信号与线性系统第4讲,10,3.2正交函数集与信号分解,在最小误差时候的误差能量为 其中： 归一化的正交函数应该满足积分 归一化后,分解系数和误差能量表示为,2019/5/25,信号与线性系统第4讲,11,3.2正交函数集与信号分解,5、复变函数的正交特性 类比实变函数情况，只是乘积运算变成共轭函数的乘积 分量的表示 系数的表示 正交条件的表示,2019/5/25,信号与线性系统第4讲,12,3.2正交函数集与信号分解,6、完备正交信号集 在一正交函数集gi(t)之外，再也找不到一个X(t)可以与集中任何一个函数正交，那么这组函数集就是完备的。数学定义为 ：,2019/5/25,信号与线性系统第4讲,13,3.2正交函数集与信号分解,7、熟悉的正交函数集 三角函数的正交性 三角函数、复指数函数是完备的正交函数集,2019/5/25,信号与线性系统第4讲,14,3.3信号表示为傅里叶级数,1、信号表示为三角傅里叶级数 角频率满足一定规律的三角函数集，是正交函数集 正弦信号作用于电路是我们熟悉的电路系统分析内容 计算有规律、结果分析有现实意义，是我们变换域做法的宗旨 根据三角傅里叶级数的形式，可以将周期信号在周期 T 内表示如下：,直流 分量,基波分量 n =1,谐波分量 n1,谐波分量 n1,基波分量 n =1,2019/5/25,信号与线性系统第4讲,15,3.3信号表示为傅里叶级数,三角傅里叶级数的系数 直流分量系数 直流分量与a0的关系 余弦分量系数 正弦分量系数 N取值范围为0到的正整数,2019/5/25,信号与线性系统第4讲,16,3.3信号表示为傅里叶级数,函数可分解为傅里叶级数的条件（狄利克雷条件） 在一个周期内只有有限个间断点； 在一个周期内只有有限个极值点； 在一个周期内函数绝对可积，即 一般周期信号都满足这些条件.,2019/5/25,信号与线性系统第4讲,17,3.3信号表示为傅里叶级数,三角傅里叶级数的振幅相位表示方式 余弦形式的振幅相位表示 正弦形式的振幅相位表示,2019/5/25,信号与线性系统第4讲,18,3.3信号表示为傅里叶级数,三种表达式系数关系 余弦幅度相位表达式 正弦幅度相位表达式,2019/5/25,信号与线性系统第4讲,19,3.3信号表示为傅里叶级数,信号的三角傅里叶级数表示的误差 作为完备正交三角函数集，它的谐波数量是无穷的； 实际中利用三角傅里叶级数分析信号，只能取有限多次谐波项，这样的级数表示必然就会有误差 如果取m次谐波以内的分量，误差就是被舍去的m次以上谐波的分量之和。 误差一般用方均值来表示,2019/5/25,信号与线性系统第4讲,20,3.3信号表示为傅里叶级数,周期方波的三角傅里叶级数分解,1,1,0,T/2,T,t,f(t),2019/5/25,信号与线性系统第4讲,21,3.3信号表示为傅里叶级数,2019/5/25,信号与线性系统第4讲,22,3.3信号表示为傅里叶级数,2、信号表示为指数傅里叶级数 （t1,t1+T）内，以对应T的角频率为基波频率，有正交指数函数集 信号可以分解为指数傅里叶级数形式表示，分解系数为： 分解后信号的表达式：,2019/5/25,信号与线性系统第4讲,23,3.3信号表示为傅里叶级数,指数傅里叶级数与三角傅里叶级数的关系 分析余弦形式的幅度相位表达式 几个系数特征 利用欧拉公式 改写f(t)为指数表达式 对比f(t)指数表达式,得到三角表达式系数An与指数表达式系数的关系 关系式的意义 三角级数有物理意义 指数级数便于计算 只考虑信号的频率特性计算，用指数系数便可,2019/5/25,信号与线性系统第4讲,24,3.3信号表示为傅里叶级数,几点说明 指数级数的负数项 三角级数系数通过欧拉公式展开带来的数学表示 没有具体物理意义（三角级数物理意义更直接） 正交函数的范畴 正交指数函数集中，n取值区间扩展到负数 正交三角函数集中，n取值只能式整数范围 函数可分解的区间 正交傅里叶函数集构成的是以基波周期为周期的函数 任意周期为T的函数，在（t1,t1+T）中分解为傅里叶正交函数表示，其结果可以拓展到全部函数定义范围,2019/5/25,信号与线性系统第4讲,25,本讲小结,函数分解与正交函数集 矢量分解与正交矢量空间 正交函数集的定义,正交函数集的完备性 函数在正交函数集的分解 复变正交函数集的定义 三角、指数函数集构成正交函数