平面向量的数量积(13).ppt

5.3 平面向量的数量积 要点梳理 1.平面向量的数量积 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量 叫做a与b的数量积（或内积），记作 . 规定：零向量与任一向量的数量积为 . 两个非零向量a与b垂直的充要条件是 ，两非零向量a与b平行的充要条件是 .,|a|b|cos ,ab=|a|b|cos ,0,ab=0,ab=|a|b|,基础知识 自主学习,2.平面向量数量积的几何意义 数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上的投影 的乘积. 3.平面向量数量积的重要性质 （1）ea=ae= ； （2）非零向量a，b，ab ； （3）当a与b同向时，ab= ； 当a与b反向时，ab= , aa= ，|a|= ; （4）cos = ； （5）|ab| |a|b|.,|b|cos,|a|cos ,ab=0,|a|b|,-|a|b|,a2,4.平面向量数量积满足的运算律 （1）ab= （交换律）； （2）（ a）b= = （ 为实数）； （3）（a+b）c= .,ba,ab,a b,ac+bc,5.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），则 ab= ，由此得到 （1）若a=（x，y）,则|a|2= 或|a| . （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点间的距离|AB|=|AB|= . （3）设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则ab .,x1x2+y1y2,x2+y2,x1x2+y1y2=0,基础自测 1.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为（ ） A. B. C. D. 解析 设a和b的夹角为，|a|cos =|a|,C,2.若|a|=2cos 15，|b|=4sin 15，a，b的夹角为30，则ab等于 （ ） A. B. C. D. 解析,B,3.已知a=(1,-3),b=(4,6)，c=(2,3)，则a（bc）等于 （ ） A.（26，-78） B.（-28，-42） C.-52 D.-78 解析 a(bc)=(1,-3)(42+63)=(26,-78).,A,4.向量m=(x-5,1),n=(4,x),mn，则x等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析 由mn=0，得4(x-5)+x=0，得x=4.,D,5.（2009江西文，13）已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,2),若（a-c）b,则k= . 解析 a-c=(3,1)-(k,2)=(3-k,-1), (a-c)b，b=(1,3), (3-k)1-3=0,k=0.,0,题型一 平面向量的数量积 【例1】已知向量a=(cos x,sin x), b=(cos ,-sin )，且x . (1)求ab及|a+b|; (2)若f(x)=ab-|a+b|，求f(x)的最大值和最小值. 利用数量积的坐标运算及性质即可求解，在求|a+b|时注意x的取值范围.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解,0,|a+b|=2cos x.,(2)由(1)可得f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1 =2(cos x- )2- . x ， cos x1， 当cos x= 时，f(x)取得最小值为- ； 当cos x=1时，f(x)取得最大值为-1.,探究提高 （1）与三角函数相结合考查向量的数 量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此 类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公 式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三 角恒等变换的相关知识. （2）求平面向量数量积的步骤：首先求a与b的夹角 为,0，180，再分别求|a|，|b|， 然后再求数量积即ab=|a|b|cos，若知道向量 的坐标a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.,知能迁移1 （1）已知O是ABC内部一点， =0， 且BAC=30，则AOB的面积为 （ ） A.2 B.1 C. D. 解析 由 =0得O为ABC的重心. SAOB= SABC. 又 cos 30=2 ， 得 =4. SABC= sin 30=1.SAOB= .,D,（2）（2009重庆理，4）已知|a|=1,|b|=6,a(b-a)=2，则向量a与b的夹角是 （ ） A. B. C. D. 解析 a(b-a)=ab-a2=2,ab=2+a2=3 cosa，b= a与b的夹角为 .,C,题型二 利用平面向量的数量积解决垂直问题 【例2】已知向量a=(cos(-),sin(-),b= （1）求证：ab； （2）若存在不等于0的实数k和t，使x=a+(t2+3)b, y=-ka+tb，满足xy，试求此时 的最小值. （1）可通过求ab=0证明ab. （2）由xy得xy=0，即求出关于k,t的一个方程，从而求出 的代数表达式，消去一个量k，得出关于 t的函数，从而求出最小值.,思维启迪,(1)证明 ab=cos(-)cos( -)+sin(-) sin( -)=sin cos -sin cos=0. ab. （2）解 由xy得xy=0, 即a+（t2+3）b（-ka+tb）=0， -ka2+（t3+3t）b2+t-k（t 2+3）ab=0， -k|a|2+（t3+3t）|b|2=0. 又|a|2=1，|b|2=1， -k+t3+3t=0，k=t3+3t. 故当t= 时， 有最小值 .,探究提高 （1）两个非零向量互相垂直的充要条件是它们的数量积为零.因此，可以将证两向量的垂直问题，转化为证明两个向量的数量积为零. （2）向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此，我们可以利用向量的坐标研究有关长度、角度和垂直问题.,知能迁移2 已知平面向量a=（- , ）,b=(- , -1). (1)证明：ab; (2)若存在不同时为零的实数k、t,使x=a+(t2- 2)b, y=-ka+t2b,且xy，试把k表示为t的函数. (1)证明 ab= ( ,-1) ab.,(2)解 xy,xy=0, 即a+(t2-2)b（-ka+t2b）=0. 展开得-ka2+t2-k(t2-2)ab+t2(t2-2)b2=0, ab=0,a2=|a|2=1,b2=|b|2=4, -k+4t2（t2-2）=0,k=f(t)=4t2 (t2-2).,题型三 向量的夹角及向量模的问题 【例3】 （12分）已知|a|=1，ab= ，（a- b）（a+b）= ， 求：（1）a与b的夹角； （2）a-b与a+b的夹角的余弦值. 解 （1）（a-b）（a+b）= ， |a|2-|b|2= ， 又|a|=1，|b|= 3分 设a与b的夹角为， 则cos = 0 180,=45. 6分,5分,（2）（a-b）2=a2-2ab+b2 |a-b|= 8分 （a+b）2=a2+2ab+b2=1+2 |a+b|= , 设a-b与a+b的夹角为 ， 10分 则cos = 12分,探究提高 （1）求向量的夹角利用公式cosa，b= .需分别求向量的数量积和向量的模. （2）利用数量积求向量的模，可考虑以下方法. |a|2=a2=aa;|ab|2=a22ab+b2; 若a=(x,y)，则|a|= .,知能迁移3 已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120. (1)计算：|a+b|;|4a-2b|; (2)当k为何值时，(a+2b)(ka-b)？ 解 由已知，ab=48(- )=-16. （1）|a+b|2=a2+2ab+b2 =16+2(-16)+64=48, |a+b|=4 .,|4a-2b|2=16a2-16ab+4b2 =1616-16(-16)+464=3162, |4a-2b|=16 . （2）若(a+2b)(ka-b),则(a+2b)(ka-b)=0, ka2+（2k-1）ab-2b2=0. 16k-16（2k-1）-264=0，k=-7.,方法与技巧 1.数量积ab中间的符号“”不能省略，也不能用“”来替代. 2.要熟练类似（ a+b)(sa+tb)= sa2+( t+s) ab+tb2的运算律（ 、s、tR）. 3.求向量模的常用方法：利用公式|a|2=a2,将模的运算转化为向量的数量积的运算. 4.一般地，（ab）c(bc)a即乘法的结合律不成立.因ab是一个数量，所以(ab)c表示一个与c共线的向量，同理右边（bc）a表示一个与a共线的向量,而a与c不一定共线,故一般情况下(ab)c (bc)a.,思想方法 感悟提高,失误与防范 1.零向量:(1)0与实数0的区别，不可写错：0a=00,a+(-a)=00,a0=00;(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系. 2.ab=0不能推出a=0或b=0,因为ab=0ab. 3.ab=ac(a0)不能推出b=c.即消去律不成立. 4.向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中， 应为120,而不是60.,一、选择题 1.（2009宁夏文，7）已知a=(-3,2),b=(-1,0)，向量 a+b与a-2b垂直，则实数 的值为（ ） A. B. C. D. 解析 a=(-3,2),b=(-1,0), a+b=(-3 -1,2 ), a-2b=（-3，2）-2（-1，0）=（-1，2）. 由（ a+b）(a-2b),知4 +3 +1=0. =-,A,定时检测,2.已知向量a,b的夹角为120，|a|=1，|b|=5，则 |3a-b|等于 （ ） A.7 B.6 C.5 D.4,解析,A,3.设向量a与b的夹角为，定义a与b的“向量积”：ab是一个向量，它的模|ab|=|a|b|sin ,若a=(- , -1),b=(1, )，则|ab|等于 （ ） A. B.2 C.2 D.4 解析 |a|=|b|=2，ab=-2 ， cos = 又0，sin = |ab|=22 =2.,B,4.已知非零向量a,b，若|a|=|b|=1,且ab，又知 （2a+3b）(ka-4b)，则实数k的值为 （ ） A.-6 B.-3 C.3 D.6 解析 由（2a+3b）（ka-4b）=0，得2k-12=0, k=6.,D,5.（2009全国文，8）设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则a,b= （ ） A.150 B.120 C.60 D.30 解析 a+b=c,|c|2=|a+b|2=a2+2ab+b2. 又|a|=|b|=|c|,2ab=-b2, 即2|a|b|cosa,b=-|b|2. cosa,b=- ,a,b=120.,B,6.在ABC中，已知a、b、c成等比数列，且a+c=3，cos B= ，则 等于 （ ） A. B. C.3 D.-3 解析 由已知b2=ac，a+c=3，cos B= ， 得 ，得ac=2. 则 =accos =2,B,二、填空题 7.（2009江苏，2）已知向量a和向量b的夹角为30，|a|=2，|b|= ，则向量a和向量b的数量积ab= . 解析 由题意知ab=|a|b|cos 30=2 =3.,3,8.设向量a,b满足|a-b|=2，|a|=2，且a-b与a的夹角为 ，则|b|= . 解析 由已知得 即 ab=2. 又|a-b|2=4=|a|2+|b|2-2ab， |b|2=4,|b|=2.,2,9.已知向量a=(x,1),b=(2,3x)，则 的取值范围是 . 解析 本题考查数量积的坐标运算及均值不等式求最值；原式= ，当x=0时，原式=0， 当x0时，原式=,当x0时，0 当x0时，0 综上所述，取值范围为 答案,三、解答题 10.已知点A（1,0）,B（0,1）,C（2sin，cos）. （1）若| |=| |，求tan的值； （2）若（ ） =1，其中O为坐标原点，求sin 2的值. 解 (1)A(1,0),B（0,1）,C（2sin,cos）， =(2sin-1,cos), =(2sin,cos-1). | |=| |，, 化简得2sin=cos. cos0（若cos=0,则sin=1,上式不成立）. tan = . （2） =（1，0）， =（0，1）， =（2sin，cos）， =（1，2）. （ ） =1，2sin +2cos =1. sin +cos = .（sin +cos ）2= . sin 2= .,11.设n和m是两个单位向量，其夹角是60，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角. 解 由|m|=1，|n|=1，夹角为60，得mn= . 则有|a|=|2m+n|= |b|= 而ab=（2m+n）（2n-3m）=mn-6m2+2n2=- 设a与b的夹角为， 则cos = 故a，b夹角为120.,12.在三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、 b、c，且2sin2 +cos 2C