2019版高考数学复习数列第31讲数列求和学案.docx

第31讲数列求和考纲要求考情分析命题趋势1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式2掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.2016全国卷，172016江苏卷，182016北京卷，12利用公式求数列的前n项和，利用常见求和模型求数列的前n项和.分值：5分1公式法与分组求和法(1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和等差数列的前n项和公式：Sn_na1d_.等比数列的前n项和公式：Sn(2)分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法分别求和后相加减2倒序相加法与并项求和法(1)倒序相加法如果一个数列的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的(2)并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(1002992)(982972)(2212)(10099)(9897)(21)5 050.3裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(2)常见的裂项技巧.4错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)如果已知等差数列的通项公式，则在求其前n项和时使用公式Sn较为合理()(2)如果数列为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn.()(3)当n2时，.()(4)求Sna2a23a3nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得()(5)如果数列是周期为k的周期数列，那么SkmmSk(m，k为大于1的正整数)()解析 (1)正确根据等差数列求和公式以及运算的合理性可知(2)正确根据等比数列的求和公式和通项公式可知(3)错误直接验证可知.(4)错误含有字母的数列求和常需要分类讨论，此题需要分a0，a1，以及a0且a1三种情况求和，只有当a0且a1时才能用错位相减法求和(5)正确根据周期性可得2在数列an中，a12，an1anln ，则a5(D)A1ln 2B2ln 3C3ln 5D2ln 5解析 因为an1anln ln ln (n1)ln n，所以a5a1(a5a4)(a4a3)(a3a2)(a2a1)(ln 5ln 4)(ln 4ln 3)(ln 3ln 2)(ln 2ln 1)ln 5ln 1ln 5，所以a5a1ln 52ln 5，故选D3若数列的通项公式为an2n2n1，则数列的前n项和为(C)A2nn21B2n1n21C2n1n22D2nn2解析 Sna1a2a3an(21211)(22221)(23231)(2n2n1)(2222n)2(123n)n2n2(2n1)n2nn2n1n22.4若数列的通项公式是an(1)n(3n2)，则a1a2a3a10(A)A15B12C12D15解析 an(1)n(3n2)，a1a2a3a1014710131619222528(14)(710)(1316)(1922)(2528)3515.5已知数列的前n项和为Sn且ann2n(nN*)，则Sn_(n1)2n12_.解析 ann2n，Sn121222323n2n.2Sn122223(n1)2nn2n1.，得Sn222232nn2n1n2n12n12n2n1(1n)2n12.Sn(n1)2n12.一分组法求和分组求和法的常见类型(1)若anbncn，且，为等差或等比数列，可采用分组求和法求的前n项和(2)通项公式为an的数列，其中数列，是等比或等差数列，可采用分组求和法【例1】 已知等差数列满足a59，a2a614.(1)求的通项公式；(2)若bnanqan(q0)，求数列的前n项和Sn.解析 (1)设数列的公差为d，则由a59，a2a6 14，得解得所以的通项公式为an2n1.(2)由an2n1得bn2n1q2n1.当q0且q1时，Sn1357(2n1)(q1q3q5q7q2n1)n2；当q1时，bn2n，则Snn(n1)所以数列的前n项和Sn二错位相减法求和利用错位相减法求和的两点注意(1)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式(2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解同时要注意等比数列的项数是多少【例2】 若公比为q的等比数列的首项a11，且满足an(n3,4,5，)(1)求q的值；(2)设bnnan，求数列的前n项和Sn.解析 (1)由题意易知2anan1an2，即2a1qn1a1qn2a1qn3.2q2q10，解得q1或q.(2)当q1时，a11，bnn，Sn.当q时，ann1，bnnn1，Sn102132nn1，Sn1122(n1)n1nn，两式相减，得Sn1nn，整理得Snn.三裂项相消法求和常见的裂项方法数列(nN*)裂项方法(nN*)(k为非零常数)()(a0，a1)logaloga(n1)logan【例3】 已知正项数列的前n项和为Sn，且Sn，an，成等差数列(1)证明：数列是等比数列；(2)若bnlog2an3，求数列的前n项和Tn.解析 (1)证明：由题意知2anSn.当n1时，2a1a1，a1.当n2时，Sn 2an，Sn12an1，两式相减，得an2an2an1(n2)，即an2an1.为正项数列，2(n2)，数列是以为首项，以2为公比的等比数列(2)由(1)知ana12n12n2，bnlog22n23n23n1.Tn.1已知等比数列中，a2a84a5，等差数列中，b4b6a5，则数列的前9项和S9(B)A9B18C36D72解析 a2a84a5，即a4a5，a54，a5b4b62b54，b52.S99b518，故选B2已知正项数列满足a6aan1an.若a12，则数列的前n项和为_3n1_.解析 a6aan1an，(an13an)(an12an)0.an0，an13an.又a12，是首项为2，公比为3的等比数列Sn3n1.3在数列中，a11，an1ananan1.(1)求数列的通项公式；(2)若bnlg，求数列的前n项和Sn.解析 (1)由题意得1.又因为a11，所以1.所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以n，即an，所以数列的通项公式为an.(2)由(1)得bnlg nlg(n2)所以Snlg 1lg 3lg 2lg 4lg 3lg 5lg(n2)lg nlg(n1)lg(n1)lg nlg(n2)lg 1lg 2lg(n1)lg(n2)lg.4设数列满足a13a232a33n1an(nN*)(1)求数列的通项；(2)设bn，求数列的前n项和Sn.解析 (1)a13a232a33n1an，a1 ，a13a232a33n2an1(n2) ，得3n1an(n2)，化简得an(n2)显然，a1也满足上式，故an(nN*)(2)由(1)得bnn3n.于是Sn13232333n3n ，3Sn132233334n3n1 ，得2Sn332333nn3n1，即2Snn3n1.Sn3n1.易错点1求和时数不清项数错因分析：弄清和式的构成规律是数清项数的关键【例1】 设f(n)2242721023n10(n3，nZ)，则f(n)()A(8n1)B(8n11)C(8n31)D(8n41)解析 1312,3n103(n4)2，所以f(n)是首项为2，公比为8的等比数列的前n4项的和由求和公式得f(n)(8n41)选D答案：D【跟踪训练1】 把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，循环分组为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，则第50个括号内各数之和为_392_.解析 将三个括号作为一组，则由501632，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列2n1的第16696项，第50个括号的第一个数应为数列2n1的第98项，即为2981195，第二个数为2991197，故第50个括号内各数之和为195197392.易错点2找不到裂项相消的规律错因分析：看清是相邻项相消还是隔项相消，同时注意系数【例2】 求和：.解析 an，原式.【跟踪训练2】 数列1，的前n项和为(B)ABCD解析 2，数列1，的前n项和为22，故选B课时达标第31讲解密考纲考查数列的通项公式、数列求和的方法，主要考查公式法、裂项相消法和错位相减法求前n项和，以及利用Sn与an的关系求通项公式，三种题型均有考查，位于各类题型的中间靠后位置一、选择题1数列an的前n项和为Sn，若an，则S6(D)ABCD解析 因为an，所以S611.2已知Sn，若Sm10，则m(C)A11B99C120D121解析 因为，所以Sm1.由已知得110，所以m120，故选C3在数列an中，已知a11，an1ansin ，记Sn为数列an的前n项和，则S2 018(D)A1 006B1 007C1 008D1 010解析 由题意，得an1ansin，所以a2a1sin 1，a3a2sin0，a4a3sin 20，a5a4sin1，因此，数列an是一个以4为周期的周期数列，而2 01845042，所以S2 018504(a1a2a3a4)a1a21 010，故选D4已知等差数列an的前n项和为Sn，a55，S515，则数列的前100项和为(A)ABCD解析 设等差数列an的首项为a1，公差为d.a55，S515，ana1(n1)dn.，数列的前100项和为11.5数列an的通项公式anncos ，其前n项和为Sn，则S2 018(B)A2 017B1 010C504D0解析 因为anncos，所以当n为奇数时，an0，当n为偶数时，an其中mN*，所以S2 018a1a2a3a4a5a2 016a2 017a2 018a2a4a6a8a2 016a2 01824681012142 0162 018(24)(68)(1012)(2 0142 016)2 01825042 0181 010，故选B6已知数列an满足a11，an1an2n(nN*)，Sn是数列an的前n项和，则S2 018(B)A22 0181B321 0093C321 0091D322 0182解析 依题意得anan12n，an1an22n1，于是有2，即2，数列a1，a3，a5，a2n1，是以a11为首项、2为公比的等比数列；数列a2，a4，a6，a2n，是以a22为首项、2为公比的等比数列，于是有S2 018(a1a3a5a2 017)(a2a4a6a2 018)321 0093.二、填空题7在数列an中，an，又bn，则数列bn的前n项和为_.解析 an，bn8.b1b2bn8.8(2018河南郑州模拟)设数列an的通项公式为an2n10(nN*)，则|a1|a2|a15|_130_.解析 由an2n10(nN*)知an是以8为首项，2为公差的等差数列，又由an2n100得n5，所以当n5时，an0；当n5时，an0，所以|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20110130.9若数列an是正项数列，且n23n(nN*)，则_2n26n_.解析 令n1，得4，a116.当n2时，(n1)23(n1)与已知式相减，得(n23n)(n1)23(n1)2n2.an4(n1)2，当n1时，a1适合an.an4(n1)2，4n4，2n26n.三、解答题10在数列an中，a13，an2an1(n2) (n2，nN*)(1)求a2，a3的值；(2)证明：数列ann是等比数列，并求an的通项公式；(3)求数列an的前n项和Sn.解析 (1)令n2得a22a16.令n3，得a32a2113.(2)证明：因为ann2an1(n1)，a1140，所以ann0，所以2，所以数列ann是首项为4，公比为2的等比数列，所以ann42n12n1，所以an2n1n.(3)因为an2n1n，所以Sn(22232n1)(12n)2n2.11(2018安徽淮南模拟)在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1,2a22,5a3成等比数列(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|a3|an|.解析 (1)由题意得5a3a1(2a22)2，所以d23d40，解得d1或d4，所以ann11或an4n6.(2)设数列an的前n项和为Sn.因为d0，所以d1，ann11.当n11时，|a1|a2|a3|an|Snn2n；当n12时，|a1|a2|a11|a12|an|a1a2a11a12anS11(SnS11)Sn2S11n2