2019版高考数学复习不等式推理与证明第35讲基本不等式学案.docx

第35讲基本不等式考纲要求考情分析命题趋势1.了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.2016江苏卷，142015全国卷，122015福建卷，6对基本不等式的考查，主要是利用不等式求最值，且常与函数、数列、解析几何等知识结合在一起进行考查.分值：5分1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：_a0，b0_.(2)等号成立的条件：当且仅当_ab_时取等号2几个重要的不等式：(1)a2b2_2ab_(a，bR)(2)_2_(a，b同号)(3)ab2(a，bR)(4)2(a，bR)3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为_，几何平均数为_，基本不等式可叙述为_两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数_.4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当_xy_时，xy有最_小_值是_2_(简记：积定和最小)；(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当_xy_时，xy有最_大_值是_(简记：和定积最大)1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数yx的最小值是2.()(2)函数f(x)cos x，x的最小值等于4.()(3)x0，y0是2的充要条件()(4)若a0，则a3的最小值为2.()解析 (1)错误因为x没有确定符号，所以不能说最小值为2.(2)错误利用基本不等式时，等号不成立(3)错误不是充要条件，当x0，y0，n0，mn218.当且仅当mn9时，等号成立3若M(aR，a0)，则M的取值范围为(A)A(，44，)B(，4C4，)D4,4解析 Ma，当a0时，M4；当a0时，M4.4若x1，则x的最小值为_5_.解析 xx11415.当且仅当x1，即x3时等号成立5若x0，y0，lg xlg y1，则z的最小值为_2_.解析 由已知条件lg xlg y1，可知xy10.则22，故min2，当且仅当2y5x时取等号又xy10.即x2，y5时等号成立一利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式的方法(1)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等(2)利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小，在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性【例1】 (1)已知x0，y0，z0，求证：8.(2)已知a0，b0，c0，且abc1，求证：9.证明 (1)x0，y0，z0，0，0，0，8，当且仅当xyz时等号成立(2)a0，b0，c0，且abc1，3332229，当且仅当abc时，取等号二利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值应注意的问题(1)利用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式求解【例2】 (1)已知0x1，则x(33x)取得最大值时x的值为(B)ABCD(2)若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a(C)A1B1C3D4解析 (1)0x2，x20，f(x)x(x2)222224，当且仅当x2，即(x2)21时，等号成立，x1或3.又x2，x3，即a3.【例3】 (1)(2018山东烟台期末)已知正实数x，y满足1，若x2ym22m恒成立，则实数m的取值范围是(B)A(2,4)B(4,2)C(，24，)D(，42，)(2)(2018福建南平一模)已知x，y都是非负实数，且xy2，则的最小值为(B)ABC1D2(3)(2018河南许昌二模)已知x，y均为正实数，且，则xy的最小值为(C)A24B32C20D28解析 (1)因为x0，y0，1，所以x2y(x2y)4428，当且仅当x4，y2时取等号，所以x2y的最小值是8.所以m22m8，解得4m0恒成立，得k13x.3x2，k12，即k0，b0)在两圆的公共弦上，则的最小值为_8_.解析 由题意知，圆C1：x2y24和圆C2：(x2)2(y2)24两个方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程，即xy2，又点P(a，b)(a0，b0)在两圆的公共弦上，所以ab2，则(ab)5528，所以的最小值为8.易错点不会凑出常数错因分析：式子的最大、最小值应为常数，为凑出常数，需要“拆”“拼”“凑”等技巧【例1】 已知正数x，y满足x2(xy)恒成立，则的最小值为_.解析 由已知得恒成立2，(当且仅当x2y时取等号)2，的最小值为2.答案 2【跟踪训练1】 已知x为正实数，且x21，求x的最大值解析 因为x0，所以x.又x2.所以x，当且仅当x2，即x时，等号成立故(x)max.课时达标第35讲解密考纲考查基本不等式，常以选择题、填空题的形式出现在解答题中也渗透基本不等式的应用一、选择题1已知f(x)x2(x0，则下列不等式中，恒成立的是(C)Aab2BC2Da2b22ab解析 ab0，0，0，22，当且仅当ab时取等号3若a0，b0，且a(a2b)4，则ab的最小值为(C)AB4C2D2解析 a0，b0，a2b0，又a(a2b)4，4a(a2b)，当且仅当aa2b2时等号成立(ab)24，ab2.4函数y(x1)的最小值是(A)A22B22C2D2解析 x1，x10.yx122222.当且仅当x1，即x1时，取等号5若正数a，b满足ab2，则的最小值是(B)A1BC9D16解析 (52)，当且仅当，b12(a1)时取等号，故选B6小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则(A)AavBvCv0)图象上的点，则xy的最小值为_2_.解析 因为x0，所以y0，且xy2.由基本不等式得xy22，当且仅当xy时等号成立8已知正数x，y满足x2y2，则的最小值为_9_.解析 由已知得1，则(102)9，当且仅当x，y时取等号9已知x，y为正实数，3x2y10，的最大值为_2_.解析 由得2，当且仅当x，y时取等号三、解答题10(1)当x时，求函数yx的最大值；(2)设0x2，求函数y的最大值解析 (1)x，2x30，y(2x3)24，当且仅当32x，即x时，ymax.函数y的最大值为.(2)0x0，y，当且仅当2x42x，即x1时，ymax.11已知x0，y0，且2x8yxy0，求：(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解析 (1)x0，y0,2x8yxy0，xy2x8y28，(8)0，又0，8即xy64.当且仅当x4y即8y8y4y20时，即y4，x16时取等号，xy的最小值为64.(2)2x8yxy0，1，xy(xy)1010218.当且仅当，即x2y即4y8y2y20时，即y6，x12时取等号，xy的最小值为18.12某地需要修建一条大型输油管道通过240 km宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x2x)万元设余下工程的总费用为y万元(1)试将y表示成x的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？解析 (1)设需要修建k个增压站，则(k1)x240，即k1，所以y4