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第13讲抽象函数1(2017年江西南昌二模)已知函数f(x)sin xx,则不等式f(x2)f(12x)0的解集是()A. B.C(3,) D(,3)2下列函数中,满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调递增函数是()Af(x)x3 Bf(x)3xCf(x)x Df(x)x3已知函数f(x)满足:f(1)2,f(x1),则f(2015)()A2 B3 C D.4给出下列三个等式:f(xy)f(x)f(y),f(xy)f(x)f(y),f(xy).下列函数中,不满足其中任何一个等式的是()Af(x)3x Bf(x)sin xCf(x)log2x Df(x)tan x5已知奇函数yf(x)的导函数f(x)0在R上恒成立,且x,y满足不等式f(x22x)f(y22y)0,则x2y2的取值范围是()A0,2 B0,2 C1,2 D0,86定义在R上的函数yf(x)满足f(3x)f(x),f(x)0,若x13,则()Af(x1)f(x2) Bf(x1)1时,f(x)0.(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的单调性;(3)若f(3)1,解不等式f(|x|)0.(1)若ab,比较f(a)与f(b)的大小;(2)解不等式ff;(3)记Px|yf(xc),Qx|yf(xc2),且PQ,求c的取值范围第13讲抽象函数1D解析:函数f(x)是定义在R上的奇函数,且导函数是f(x)cos x10,所以f(x)sin xx是减函数,不等式f(x2)f(12x)0f(x2)2x1x3.故选D.2B解析:由f(xy)(xy)3,f(x)f(y)x3y3(xy)3,得f(xy)f(x)f(y),所以A错误;由f(xy)3xy,f(x)f(y)3x3y3xy,得f(xy)f(x)f(y)又函数f(x)3x是定义在R上的增函数故选B.3C解析:方法一,由条件知,f(2)3,f(3),f(4),f(5)f(1)2,故f(x4)f(x)(xN*)f(x)的周期为4,故f(2015)f(3).方法二,严格推证如下:f(x2),f(x4)f(x2)2f(x),即f(x)的周期为4.故f(4kx)f(x)(kN*),即f(2015)f(3).4B解析:选项A,函数满足f(xy)f(x)f(y);选项C,函数满足f(xy)f(x)f(y);选项D,函数满足f(xy).5D解析:因为函数yf(x)为奇函数,所以f(x22x)f(2yy2)由函数yf(x)的导函数f(x)0在R上恒成立,知函数yf(x)在R上为减函数,所以x22x2yy2,即(x1)2(y1)22.故的最小值为0,最大值为直径2 .从而x2y2的最小值为0,最大值为直径的平方8.6A解析:由f(3x)f(x)知函数yf(x)的图象关于直线x对称因为f(x)0,所以当x0,f(x)单调递增;当x时,f(x)0,f(x)单调递减因为x13,即,所以可知x1距离对称轴x较近故选A.72解析:设h(x)f(x1)x2.由h(x)f(x1)x2为奇函数,得h(x)h(x),即f(x1)x2f(x1)x2,所以f(x1)f(x1)2x2.由g(x)1f(x1),得g(3)1f(2)1f(11)2121f(0)2,又f(0)1,所以g(3)2.8.解析:f(x)x32xexf(x),所以函数f(x)是奇函数因为f(x)3x22exex3x2223x20,所以函数f(x)是增函数又f(a1)f(2a2)0,即f(a1)f(2a2)f(2a2)所以a12a2,2a2a10.解得1a.9解:(1)令x1x20,代入,得f(1)f(x1)f(x1)0.故f(1)0.(2)任取x1,x2(0,),且x1x2,则1.由于当x1时,f(x)0,f0,即f(x1)f(x2)0,因此f(x1)0时,由f(|x|)2,得f(x)9;当x0时,由f(|x|)2,得f(x)9,即x9,或x910解:设1x10.x1x20,f(x1)f(x2)0.f(x1)f(x2)又f(x)是奇函数,f(x2)f(x2)f(x1)b,f(a)f(b)(2)由ff,得x.不等
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