2018版高中数学平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义二导学案新人教A版.docx

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(二)学习目标1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.知识点一平面向量数量积的运算律类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.运算律实数乘法向量数量积判断正误交换律abbaabba正确结合律(ab)ca(bc)(ab)ca(bc)错误分配律(ab)cacbc(ab)cacbc正确消去律abbc(b0)acabbc(b0)ac错误知识点二平面向量数量积的运算性质类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.多项式乘法向量数量积(ab)2a22abb2(ab)2a22abb2(ab)2a22abb2(ab)2a22abb2(ab)(ab)a2b2(ab)(ab)a2b2(abc)2a2b2c22ab2bc2ca(abc)2a2b2c22ab2bc2ca类型一向量数量积的运算性质例1给出下列结论：若a0，ab0，则b0；若abbc，则ac；(ab)ca(bc)；ab(ac)c(ab)0，其中正确结论的序号是_.答案解析因为两个非零向量a、b垂直时，ab0，故不正确；当a0，bc时，abbc0，但不能得出ac，故不正确；向量(ab)c与c共线，a(bc)与a共线，故不正确；ab(ac)c(ab)(ab)(ac)(ac)(ab)0，故正确.反思与感悟向量的数量积ab与实数a、b的乘积ab有联系，同时有许多不同之处.例如，由ab0并不能得出a0或b0.特别是向量的数量积不满足结合律.跟踪训练1设a，b，c是任意的非零向量，且互不平行，给出以下说法：(ab)c(ca)b0；(bc)a(ca)b不与c垂直；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.其中正确的是_.(填序号)答案解析(ab)c表示与向量c共线的向量，(ca)b表示与向量b共线的向量，而b，c不共线，所以错误；由(bc)a(ca)bc0知，(bc)a(ca)b与c垂直，故错误；向量的乘法运算符合多项式乘法法则，所以正确.类型二平面向量数量积有关的参数问题命题角度1已知向量垂直求参数值例2已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b，且bc，则t_.答案2解析由题意，将bcta(1t)bb整理，得tab(1t)0，又ab，所以t2.反思与感悟由两向量垂直求参数一般是利用性质：abab0.跟踪训练2已知向量a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，且(2a3b)c，则实数k等于()A. B.0 C.3 D.答案C解析因为a(k，3)，b(1，4)，所以2a3b2(k，3)3(1，4)(2k3，6).因为(2a3b)c，所以(2a3b)c(2k3，6)(2，1)2(2k3)60，解得k3.故选C.命题角度2由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围例3已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1ke2与ke1e2的夹角为锐角， 则k的取值范围为_.答案(0，1)(1，)解析e1ke2与ke1e2的夹角为锐角，(e1ke2)(ke1e2)keke(k21)e1e22k0，k0.但当k1时，e1ke2ke1e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去.综上，k的取值范围为k0且k1.反思与感悟由两向量夹角的取值范围，求参数的取值范围，一般利用以下结论：对于非零向量a，b，0，)ab0，(，ab0.跟踪训练3设两个向量e1，e2满足|e1|2，|e2|1，e1，e2的夹角为60，若向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.解设向量2te17e2与e1te2的夹角为.根据题意，得cos 0，(2te17e2)(e1te2)0.化简，得2t215t70，解得7t.当时，也有(2te17e2)(e1te2)0，但此时夹角不是钝角.设2te17e2(e1te2)，0，则实数t的取值范围是(7，)(，).1.下面给出的关系式中正确的个数是()0a0；abba；a2|a|2；|ab|ab；(ab)2a2b2.A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析正确，错误，错误，(ab)2(|a|b|cos )2a2b2cos2 ，故选C.2.已知|a|1，|b|，且(ab)与a垂直，则a与b的夹角是()A.60 B.30 C.135 D.45答案C解析(ab)aa2ab0，aba21，cosa，b.a，b135.3.已知平面向量a，b满足|a|3，|b|2，a与b的夹角为60，若(amb)a，则实数m的值为()A.1 B.0 C.2 D.3答案D解析由题意得(amb)a0，a2mab，m3，故选D.4.已知正三角形ABC的边长为1，设c，a，b，那么abbcca的值是()A. B.C. D.答案C解析abc0，(abc)20，即|a|2|b|2|c|22(abbcca)0，32(abbcca)0，abbcca.5.已知|a|2，|b|1，(2a3b)(2ab)9.(1)求a与b之间的夹角；(2)求向量a在ab上的投影.解(1)(2a3b)(2ab)4a24ab3b29，即164ab39，ab1，cos .又0，.(2)|ab|2a22abb27，即|ab|.设a与ab的夹角为，则向量a在ab上的投影为|a|cos |a|.1.数量积对结合律不一定成立，因为(ab)c|a|b|cosa，bc是一个与c共线的向量，而(ac)b|a|c|cosa，cb是一个与b共线的向量，若b与c不共线，则两者不相等.2.在实数中，若ab0，则a0或b0，但是在数量积中，即使ab0，也不能推出a0或b0，因为其中cos 有可能为0.3.在实数中，若abbc，b0，则ac，在向量中abbc，b0ac.课时作业一、选择题1.已知|a|1，|b|1，|c|，a与b的夹角为90，b与c的夹角为45，则a(bc)的化简结果是()A.0 B.a C.b D.c答案B解析bc|b|c|cos 451.a(bc)a.2.已知向量a，b满足ab0，|a|1，|b|2，则|2ab|等于()A.0 B.2 C.4 D.8答案B解析|2ab|2(2ab)24|a|24ab|b|2414048，|2ab|2.3.已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b与ab垂直，则等于()A. B.C. D.1答案A解析(3a2b)(ab)3a2(23)ab2b23a22b212180，.4.设单位向量e1，e2的夹角为60，则向量3e14e2与向量e1的夹角的余弦值是()A. B. C. D.答案D解析|3e14e2|29e24e1e216e9241637，|3e14e2|.又(3e14e2)e13e4e1e2345，cos .5.已知非零向量m，n满足4|m|3|n|，cosm，n.若n(tmn)，则实数t的值为()A.4 B.4 C. D.答案B解析n(tmn)，n(tmn)0，即tmnn20，t|m|n|cosm，n|n|20，由已知得t|n|2|n|20，解得t4，故选B.6.设向量a与b满足|a|2，b在a方向上的投影为1.若存在实数，使得a与ab垂直，则等于()A. B.1 C.2 D.3答案C解析b在a上的投影为1，|a|2，ab212，又a(ab)，a(ab)0，ab|a|2，故24，2，故选C.7.若向量a与b不共线，ab0，且cab，则向量a与c的夹角为()A.0 B. C. D.答案D解析acaaa(ab)aaaa0.ac.故选D.8.如图，在边长为2的菱形ABCD中，BAD60，E为BC的中点，则等于() A.3 B.0 C.1 D.1答案C二、填空题9.已知平面内三个向量a，b，c满足|a|b|1，|c|，且abc0，则向量a，b夹角的大小是_.答案解析abc，(ab)2c2，即|a|22ab|b|2|c|2，12ab13，ab，则cosa，b，又a，b0，a，b.10.已知向量a，b满足|a|2，|b|1，且对一切实数x，|axb|ab|恒成立，则a，b的夹角的大小为_.答案解析由题意可知，|axb|2|ab|2，即a22abxb2x2a22abb2，设a与b的夹角为，则44cos xx244cos 1，即x24cos x14cos 0，因为对一切实数x，|axb|ab|恒成立，所以(4cos )24(14cos )0，即(2cos 1)20，所以2cos 10，cos .又因为0，所以.11.已知非零向量a，b，满足ab，且a2b与a2b的夹角为120，则_.答案解析ab，ab0，(a2b)(a2b)a24b2，|a2b| ，|a2b| ，a24b2cos 120，化简得a22b20，所以.12.设向量a，b，c满足abc0，(ab)c，ab，若|a|1，则|a|2|b|2|c|2的值是_.答案4解析方法一由abc0，得cab.又(ab)c0，(ab)(ab)0，即a2b2.则c2(ab)2a2b22aba2b22，|a|2|b|2|c|24.方法二如图，作a. b，则c，ab，ABBC，又ab，(ab)c，CDCA，所以ABC是等腰直角三角形，|a|1，|b|1，|c|，|a|2|b|2|c|24.13.已知向量a，b的夹角为45，且|a|4，(ab)(2a3b)12，则|b|_；b在a方向上的投影等于_.答案1解析(ab)(2a3b)a2ab3b212，即3|b|2|b|40，解得|b|(舍负)，b在a方向上的投影是|b|cos 451.三、解答题14.已知|a|2|b|2，且向量a在向量b方向上的投影为1.(1)求a与b的夹角；(2)求(a2b)b；(3)当为何值时，向量ab与向量a3b互相垂直？解(1)|a|2|b|2，|a|2，|b|1.又向量a在向量b方向上的投影为|a|cos 1，ab|a|b|cos 1.又|a|2，|b|1，cos ，又0，.(2)(