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因材施教在设计中的实施 -高观点下的数学教学设计分析,程晓亮 2012年10月20日,一、直观视觉下教学设计分析,“直观”，用感官直接接受或直接观察，这个话题，在大教学意义下是非常常见的 我国的学者高向斌和陆悦对于中国古代直观教学的思想进行了系统的归纳,1.我国传统文化中的直观思想,孔子（前551年前479年， 中国春秋末期的思想家和教育家，儒家的创始人）的教育思想对我国教育理论、实践的形成和发展影响重大在教学方面，孔子早已注意到了通过“见”、“闻”与外界事物相接触，并强调了掌握直接经验的重要性在论语3中出现“见”字71处，“闻”字57处，足以说明孔子对于感官直接接受或直接观察的重视，同时他主张多见多闻、以获得知识在教学实践中，孔子善用“直观形象”的比喻创设现实情境讲授道理，从而让学生产生直观印象比如：论语为政篇，孔子说：“为政以德，譬如北辰居其所而众星共之”这里，孔子用北极星和其他星星的关系，直观形象地让人们理解为政者用德治国的益处论语中像这样用直观形象的比喻创设现实情境讲授道理的例子不胜枚举,孟子（前372年前289年，中国古代著名思想家，战国时期儒家代表人物）发展了孔子的理论，利用直观进行教育的思想特点也渗透到他的其言行中.他也多利用类比进行论证，利用比喻进行说明用近在眼前的平常事创设现实情境来说明意义深远的大理譬如孟子以“倒悬”喻“虐政”，以“时雨”喻“王政”等现实情境的广泛采用是孟子教育思想的一个重要特点 还有源自孟子的“五十步笑百步”，“缘木求鱼”，“挟太山以超北海”等耳熟能详的成语都是在形象直观的现实情境中讲授了意义深刻的道理,如果说孔子和孟子的教育思想只是体现在其教育活动的点滴言行中，那么，我国第一部教学论著学记对于教学的直观性则有专门的论述如“善歌者，使人继其声，善教者，使人继其志，其言也，约而达，微而藏，罕譬而喻，可谓继志矣”论述了教师创设现实情境产生的直观同培养学生思维之间的相互关系另外，其他中国古代教育家也都对直观教学有不同的阐述，此处不再赘述脉络为先导的理念设计,值得一提的是，从教师的教学方面来看，据孟宪承等人考证，早在1206年，就有人参照铜人穴针灸图经铸成铜人模型，上面刻示着经脉穴的位置进行医学教学由此可见，我国古代学者很早在就有了在教学中借助于直观教具进行操作活动以达到教学目的的教学方式而从学生的学习方面来看，我们可以看到论语中对“学”字内涵界定广狭不一“学而不思则罔”中的“学”就指未经思维活动的感性认识，同“见闻”相当，感官层次的直观而“学而时习之”则在一定意义上已经上升到理论知识的思维的高度，思维层次的直观“学而知之”更把认知的全过程分为学、思、习、行四环节，其中由“学”到“思”体现了由感性认识（即感官直观）到理性认识（即思维直观）的转化后来，荀子又把它发展为“闻、见、知、行”这种更为完整的认知理论,教与学的两个方面，我国古代思想家对于直观都有着自己的理解不仅如此，我们甚至可以看到，荀子的“闻、见、知、行”认知理论，本质上与使用数学模型解决问题的方式有着惊人的相似例如：戈丁在数学概观一书中，描述我们在运用数学去解决实际问题的过程，运用了“现实模型理论”三元组的框图来描述了现实、模型、理论三者之间的关系戈丁认为：数学就是对现实对象的一种抽象，我们研究实际问题就要在现实对象中提取其关于数量、图形等方面的特征，然后将其数学化（包括在所考虑的集合中建立运算，建立映射，考察其序的结构）来研究数量关系，并返回现实去检验而荀子的“闻、见、知、行”认知理论中的，“闻、见”就相当于对于现实对象的提取，而“知”的过程就是建立相应“模型”进行数学理论研究，“行”的过程相当于让数学理论返回到现实实践中去,图1,2.国外的教育家对直观教学的认识 捷克著名教育家夸美纽斯（1592年1670年，文艺复兴时期，捷克教育家，教育学的奠基人），他所著的大教学论对教育理论的发展起到了巨大的促进作用，在全世界都有影响大教学论从感觉论出发，将感觉经验视为认识和教学的基础，并在理论上论证了直观性教学原则从“一切知识都是从感官开始的”这一命题出发，把通过感官所获得的对外界事物的感觉经验作为教学的基础，要求在可能的范围内，一切事物都应该尽量放在感官的面前,一切看得见的东西都应放到视觉器官前，一切听得见的东西都应放到听觉器官前假使有一件东西能够同时在几个感官上留下印象，它便应当和几种感官去接触他把感官形象地比喻为“记忆的最可靠的仆役”，认为“只有通过感官产生的直观，才会获得深刻的印象，从而有助于记忆”他要求，教学应从观察实际事物开始，在不能进行直接观察时，应利用图示或模型代替事物他首次对直观性教学原则进行了理论论证，同时详细地说明了许多运用直观性教学原则进行教学的具体方法，并编制了世界图解等图文并茂的直观材料，这对于科学知识的教学具有重大意义,卢梭（1712年1778年，瑞士裔的法国教育家、思想家、哲学家、作家、政治理论家和作曲家）非常注重“直接经验”卢梭认为，观察和经验所得的知识最正确，印象最深刻，是构成系统的概念、知识、思想和价值体系的基础利用直观进行教学等现代教育的口号的提出，事实上都是从卢梭的观点中得到启示此后，裴斯泰洛齐、福禄倍尔等人也都受到他的影响,裴斯泰洛齐（1746年1827年，瑞士教育家和教育改革家）继承了卢梭的关于直观教学的思想，提出对大自然的印象是人类教学的惟一真实的基础，并把它看作是最根本的教学原则尽管由于他的哲学认识论、心理学知识的限制，他关于直观的论述其内涵不够明确，令人难以把握但他极力表达了教学必须尽力促进儿童的内在认识能力和外在实物的结合，以便使主观能力与客观事物相统一，这比夸美纽斯的直观性教学原则的理论前进了一步裴斯泰洛齐认为儿童通过感觉器官感知外界事物，这是认识的开端，然后再借助于先天的理性予以思维的加工，从而形成明确的概念,裴斯泰洛齐重视发展儿童的观察力，他认为观察力是智力发展的基础这是因为，感觉经验来源于观察，要使感觉经验完全正确就要观察细致准确感觉经验是进行思维加工的基础，要有正确的判断和清晰的概念，就要有正确的感知这里观察所获得的是感官层次的直观，而感觉经验则是思维直观他明确提出了教学的一些基本原则，首要的两个是直观性教学原则和实物教学原则他在葛笃德怎样教育她的子女中说：“我承认直观性是任何认识的绝对基础后，巩固地建立了一个很好的基本教学原则这也切合小学低年级的学生学习知识和认识事物的心理特点”在教学中他提倡发挥儿童的积极性和主动性，把实物教学视做学好基础知识的重要内容和方法，认为教学必须和儿童的亲身经验结合起来，反对仅从口头讲授和书面文字出发，使儿童死记硬背的方法因而他提出实物教学的原则，是根据实物而非书本上的字句来教学，这在他的初等教学里有明显的反映他的直观教学法和实物教学法对美国初等教育和师范教育影响巨大,数学教学中，裴斯泰洛齐也有着明确的观点他认为数的直观教学，首先是运用小石、手指、豆子等来学习数和数的关系（四则运算）然后，运用替代实物的点和线对整数的计算进行指导最后运用把正方形分割成的方法对分数运算进行指导在这里，数和形的直观教学是结合在一起的 关于形的直观教学，他认为应按照测量术（正确地抓住形），绘图术（正确地描画形），书写术（划线、写字）这样一个顺序进行 9,到了19世纪中叶，俄国教育家乌申斯基（18241871，俄国教育家）对教学直观的研究超过了他的所有前辈，他深刻地揭示了直观教学的本质他认为“儿童是以形状、色彩、声音、感觉进行思维的；因此必须对儿童进行直观性的教学”，“谁要是迫使儿童以另一种方式进行思维，他就是在徒劳而又有害地强制儿童的天性”他主张教学“不应建立在抽象的概念和语言的基础上，而是应该建立在儿童所直接感知的具体形象的基础上，不论这些形象是在教师指导下的教学过程中所感知的，或是儿童在先前通过独立的观察所获得的这样，教师就在儿童的心灵中找到现成的形象，并把教学建立在它的基础上”乌申斯基关于直观教学的基本思想是：实物或者关于某一实物的图像，是激发儿童的思想并让他说出富有独创性的语句的必要前提,在19世纪初素有“幼儿教育之父”之称的福禄倍尔（17821852，德国教育家）也为直观教学作了重大贡献为了充分调动幼儿的感官、发展其空间观念，福禄倍尔为幼儿进行游戏和其他活动设计了一套“实物”他还采用了各种纸片、小木棒和小珠，并认为这些材料可为幼儿提供从事多种活动的可能性，这一举动为广泛开拓直观教具和运用直观手段提供了一个重要经验此后，在教学实践中应用直观教具便逐渐丰富起来,苏霍姆林斯基（19181970，前苏联著名教育实践家和教育理论家）把对直观的认识提到了艺术的高度他认为直观是认识的途径，是照亮认识途径的光辉他认为直观性是低年级学生脑力劳动的一个普遍原则，直观性是一种发展注意力和思维的力量，能使认识带有情绪色彩由于同时能看得见、听得见、感受得到并进行思考，儿童的意识中就形成了心理学所说的情感记忆；记忆中形成的每个表象和概念不仅同思想有联系，而且同情感和感受也有联系如果不形成发达的、丰富的情感记忆，就谈不上童年时代有充分的智力发展低年级教师要在思维发源的地方，在自然界和劳动中，教儿童进行思考，要让进入儿童意识中的词汇具有鲜明的感情色彩,直观性教学原则不仅应贯穿整个课堂活动，而且应贯穿在教学工作的其他方面和学生的全部认识过程他还认为采用直观性教学原则时要思考的问题是：如何由具体事物过渡到抽象思维，在上课的哪个阶段直观教具已不再必要，学生不应再对其加以注意这在智育上是十分重要的原则，因为直观手段是在思想活跃起来的每个阶段都是需要的重要的是，应逐渐由直观的实物过渡到造型，然后再由造型过渡到物体和现象的象征性图形，然后，由造型的直观逐渐过渡到词的形象直观应该把注意力集中到最重要、最本质的东西上运用直观性原则要有很高的艺术，要了解学生的心灵和思想,大教学的意义下，放之四海而皆准的直观的探讨已经非常丰富，隶属于数学学科的直观应有其自身特点，这种直观应和数学自身的特点相联系，同时也应该能够为数学学科的教和学所服务 什么是数学直观？仅仅是几何直观吗？数学直观分为哪些类别？直观与抽象是对立的吗？作为认识的客体哪些方式可以提供数学直观？作为认识主体需要哪些数学直观帮助我们认识数学?如何看待数学研究和数学教学这两个不同过程中的数学直观？如何开发课堂教学中所需要的数学直观？如何在具体的课堂教学中使用数学直观？数学直观的教育价值是什么？数学直观作为一种手段应用到数学教学中的时候应该注意些什么？,数学直观与大教学意义下的直观是特殊与一般的关系，数学直观是特指与数学学科内容相关的直观数学是研究空间形式与数量关系的一门科学现代意义下，人们认为数学是解释模式与其之间关系的理论纯数学利用函数、映射、运算、同态把一种模式与另外一种模式紧密的联系在了一起，持续产生数学结构应用数学用这些模式去解释且预测适合此模式的自然现象，此模式蕴含着彼模式，同时又产生了模式的模式就“模式”而言，它是数学的一种隐喻，而这种隐喻确实是一种直观的隐喻不是说所有的模式都是直观的，然而就像我们要追求和谐的旋律一样，我们希望将这其中许多模式变得直观如果说数学是“模式”的科学，那么我们试图在发现“模式”的过程中创造性地使用直观，在数学教学中为了更好的理解这些已被发现的“模式”，我们也希望将其直观化,关于数学直观的分类，我们有以下几个方面的理解： 1基于认识论主客体相互联系的观点，数学直观可以分为涉及认识客体的直观和涉及认识主体的直观 涉及认识客体的直观包括：数学图示、操作活动、现实情境等我们不能狭义地认为认识的客体就是实物，而应该把客观存在的、本身就可以提供直观的对象和手段都归为这一类我们可以有这样的理解，涉及认识客体相关的数学直观是为认识主体提供直观的一种对象和手段 涉及认识主体的直观包括：视觉直观、听觉直观、味觉直观、触觉直观、思维直观等，这些直观的特点是都与认识主体有关，是涉及直观的物质对象作用到认识主体上，主体感受到直观的印象，这类直观具有主观性和能动性 2对于认识主体，我们还可以把与其相联系的直观进一步分为两个层次：第一层次是感官层次的直观，第二层次是思维层次的直观,3虽然在数学研究和数学教学中都需要直观，我们也可以看到数学研究和数学教学使用的数学直观有所不同从数学的研究过程来看，数学直观主要用于数学知识的归纳、发现，而从数学教学的过程来看，数学直观主要用于数学的理解、知识的呈现和对数学的再认识 但是我们又不能截然分开上述两种角度数学直观，这是由于对于数学研究和数学教学不能截然分割对于学生学习新的知识，虽然是对已有知识的再认识的过程，但对初学者本身却是一种研究的过程同时，教学过程需要我们对于已有材料进行加工，使之更加逻辑化，能够为人所接受，在这种意义下，创造直观材料的过程也是让数学更容易理解的过程 这些关于数学直观认识的基本观点将会贯穿于本文的始终基于上述观点，我们希望能够结合一些案例从数学研究和数学教学这两个方面来探讨不同数学直观的应用方式，不同数学直观的价值，以及不同数学直观在使用时需要注意的事项最终归纳出利用数学直观进行教学的原则，利用数学直观进行学习的原则.,所谓感官层次的直观，也称为感官直观，是指作用到眼、耳、鼻、舌、手等感官上直接产生的直观感觉.而思维层次的直观，也称为思维直观，是指认识客体在人脑中形成的直观的印象以及直观印象的综合，也就是对数学对象的整体把握和基于此印象的推理思维层次的直观会产生直观思维，而直观思维是认识主体向直觉思维过渡的中间阶段,我们认为感官层次的直观是较低层次的直观，而思维层次的直观是较高层次的直观虽然二者都是与认识主体相联系的直观，但是不同的认识主体能够感受到直观的阈值有所不同，因此，二者之间的转化也是因人而宜的这犹如不同的人对于噪音的忍耐的程度不同一样，有些人听到一点噪音就认为很吵而有些人在有很大噪音的环境中仍然能够安心工作反映到数学学科上，有些人认为已经很直观的数学对象，而有些人认为非常抽象甚至无法理解在数学教学中，对于不同的主体应该抓住不同的时机促成从感官层次的直观向思维层次的直观的转化，这显得十分重要,二、高观点下的直观,点评：,这是高等数学背景下的一个很显然的问题把y积分成3次函数，即找到原来二次函数的一个原函数F，再加上x10时，y10的条件，说明这个原函数在0点处单调增显然F（0）F（1）0，然后根据条件0和1处的导数都是正的直观的看来，这个三次函数在0到1上经历了增减增的过程，三次函数最多拐两个弯，并且都在0到1之间，F的导函数f在这一段上有两个零点，这是这道题的背景从解题的角度讲，当然不适合初中生的知识程度，所以对他们来讲才有难度就是出题人用高等数学的知识得到一个结论，然后强迫初中生用初等的办法做出来但是作为老师，应当能够从高等数学的直观中看到初等数学的抽象这样才能加深对数学的理解,直观应用的选择性,费马引理：,费马大定理： 当整数n 2时，关于x, y, z的不定方程 xn + yn = zn. 无正整数解。 费马小定理是数论中的一个重要定理，其内容为： 假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a(p-1) 1（mod p） 假如p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。,三、例谈圆的认识,墨翟在墨子中说：圆，一中同长也。现代的定义：在平面内，与一个定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。 在初等平面几何中，除直线形以外，只研究一种曲线，就是圆。下面我们来看看圆的性质：,1.圆是封闭曲线,所谓封闭曲线，就是说，如果一点沿着这