《刚体力学基础》PPT课件.ppt

第五章 刚体力学基础,5.1 刚体的基本运动,一、 什么是刚体?,如图,力的传播是由于物体各部分的压缩而推进的,在这过程没有物体的形变是不行的.但是,在很多情况下物体的弹性形变小得可以忽略.这样,我们就得到实际物体的另外一个抽象模型,刚体,定义刚体: 在任何情况下,组成物体的所有质点之间的距离保持不变,的质点系.,完全不发生形变的物体如何传递弹性力?,问题不该这么提,实际上弹性波的传播速度正比于弹性模量的开方,物体刚性越大,弹性模量也越大,从而扰动在其中的传递速度也越大.,刚体模型与弹性波传播速度无穷大的假设是等价的,一般,固体弹性波的速度约,二 、 平动和转动,平动: 固联在刚体上的任一条直线,在各时刻的位置始终保持彼此平行的运动,特征: 各点的速度和加速度一样,因此,可以选取刚体上的任一点来代表其运动.,转动: 刚体上所有各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动.,特征:,刚体上所有不在转轴上的各个质元都在作半径不等的圆周运动,圆周轨道所在平面垂直于转轴,称为转动平面.,各个质点在相同时间内都转过了相同的角度,因此,描述刚体的定轴转动,可以在刚体上选取一个质元作代表点P,选取坐标轴oX, 就可以用角坐标、角速度、角加速度来定量描述。,三、定轴转动,O,刚体,v,P,r,r,定轴,参考方向,z,角速度,角加速度,匀变速转动时:,四、 角速度,角速度矢量:,大小:,方向:与刚体转动方向成右手螺旋法别.,刚体上任一点p的线速度与角速度之间的关系可表示为:,速度的大小为:,4-2 力矩 转动定律 转动惯量,是决定刚体转动的物理量,表明力的大小、方向和作用点对物体转动的影响。,一、力矩,1. 力矩的定义:,2. 物理意义,3. 定轴转动的力矩,(1) 力矩只有两个方向，规定了正方向后，可用正负号表示力矩的方向;,(2) 若有n个力作用在刚体上，且都在与转轴相垂直的平面内，则合力矩为所有力对刚体力矩的代数和;,(3) 若力不在垂直于转轴的平面内,则将这些力沿平面和转轴方向分解，与转轴平行的分力力矩为零，在平面内的分力力矩的代数和即为这些力的合力矩;,(4) 由于刚体内质点间的相互作用力总是成对出现，并遵守牛顿第三定律，所以这些力对转轴的合力矩为零，即合内力矩为零。,对mi 用牛顿第二定律：,二、转动定律,切向分量式为：,外力矩,内力矩,对所有质点求和：,用M表示合外力矩, 则有: MJ ,转动惯量,矢量式:,刚体定轴转动的转动定律: 刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。,2. 力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。,说明：,1. 与 地位相当，m反映质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性。,3. 力矩是矢量，方向沿转轴，对定轴转动只有两个方向，所 以用正负号表示方向。,物理意义：转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度，其大小反映了改变刚体转动状态的难易程度。,三、转动惯量,1. 定义,2. 与转动惯量有关的因素,刚体的质量及其分布;,转轴的位置;,刚体的形状。,在（SI）中，J 的单位：kgm2,刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质点的质量与这一质点到转轴的距离平方的乘积之和。,3. 转动惯量的计算,质量离散分布的刚体,若质量连续分布,质量为线分布,质量为面分布,质量为体分布,为质量的线密度,为质量的体密度,为质量的面密度,注意,只有几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才用积分计算其转动惯量,一般刚体则用实验求其转动惯量。,例1 求长为L 质量为m 的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。,解：取轴处为原点建立一维坐标系如图所示，dm =dx,A,C 相距L/2,2.平行轴定理,前例中JC 表示相对质心轴的转动惯量，JA 表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L /2，有：,推广: 若有任一轴与过质心的轴平行且相距d ，刚体对其转动惯量为: , 称为平行轴定理。,例2 求质量为m 半径为R 的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。,解:,在环上任取一小线元dl,其质量,例3 求质量为m ，半径为R ，厚为l 的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。,解：取半径为r 宽为dr 的薄圆环,可见，转动惯量与l 无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是 。,例4 求质量为m半径为R的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯量。,解:在球面取一圆环带，半径,例5 求质量为m半径为R的匀质球体绕过球心轴的转动惯量。,解:把球体看作无数个同心薄球壳的组合,3. (薄板)垂直轴定理,例如求对圆盘的一条直径的转动惯量,已知,x,y轴在薄板内； z 轴垂直薄板。,例4 在半径为R,质量为M的均匀薄圆板上,挖出一个直径为R的圆孔,孔的中心为R/2处,求所剩部分对通过原圆盘中心且与板面垂直的轴的转动惯量。,解 用补偿法,大圆板对Z轴的转动惯量,被挖圆孔对Z轴的转动惯量,被挖圆孔质量,例5 如图所示，刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L , 球半径为R）,解：,四、定轴转动刚体的转动定律的应用,解：,例6 一个质量为 半径为R 的定滑轮（当作均匀圆盘），上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m 的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m 由静止下落高度h 时的速度和此时滑轮的角速度。( ),例7 一个飞轮的质量为69kg ，半径为0.25m,正在以每分1000转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而最后停下来。已知摩擦系数为0.46，求闸瓦对轮子的压力N为多大？（J = mR2 ）,解：飞轮制动时有角加速度,外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。,棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O 的力矩。,重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样。,解：,例8 一根长为l 质量为m 的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆 角时的角加速度和角速度。( ),重力力矩为：,一、力矩的功 -力矩的空间积累作用,-力矩的功,5.3 力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理,二、力矩的功率,若力矩是恒量:,比较：,三、转动动能,设转动角速度为，第i个质元mi 的速度为:,其动能为:,整个刚体的动能为:,刚体转动动能,比较：,四、定轴转动的动能定理,刚体定轴转动的动能定理:合外力矩作的功等于刚体转动动能的改变量.,-刚体绕定轴转动的动能定理,-质点的动能定理,比较:,四、机械能与机械能守恒,机械能 = 势能 + 平动动能 + 转动动能,刚体与质点组成的系统，机械能包括：,机械能守恒条件：,机械能 = 势能+平动动能+转动动能 = 恒量,刚体与质点组成系统的机械能守恒定律,例9 质量m半径为R的均匀圆盘,可在水平桌面上绕中心轴转动,盘面与桌面间摩擦系数为,求盘转过一圈时摩擦力矩的功.,解：,例10 如图所示，滑轮转动惯量为0.01kgm2，半径为7cm，物体质量为5kg，由一绳与倔强系数k=200N/m的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。,（1）当绳拉直，弹簧无伸长时，使物体由静止而下落的最大距离； （2）物体速度达到最大值的位置及最大速率。,求：,5.4 角动量 角动量守恒定律,一、质点绕固定轴转动的角动量(动量矩),质点m 以速率v 、角速度 绕z 轴转动, z 轴垂直于转动平面xoy。定义质点m 绕z 轴的角动量为:,方向: 如图所示;,大小:,由于质点绕固定轴转动,则有:,单位：,二、质点的角动量定理及角动量守恒定律,由牛顿第二定律:,力矩:,由于:,则:,质点的角动量定理:,质点的角动量守恒定律:,解:,证明:,因质点只受有心力作用,则,常量,常量,说明:,的大小不变,说明面积速度是恒量,在空间的指向不变,说明质点的轨迹在一个平面内,两个重量相等的小孩从同一高度从静止向上爬,相对于绳子,甲的速率是乙的两倍,谁先到达顶点?若两小孩重量不等,又如何?,甲,乙,选取两人为研究对象,C=0,方向向里,方向向外,=0,因此,两人同时到达,二:,若,初始两者速度都为零,(1),乙先到达顶点,(2),甲先到达顶点,刚体以角速度 绕z 轴转动。刚体上任一质元绕z 轴作圆周运动的角动量为：,三、刚体定轴转动的角动量,由于每个质元对z 轴的角动量方向相同,刚体对z 轴的角动量为:,角动量是描述刚体转动状态的物理量,四、刚体的角动量定理,由转动定律:,冲量矩 表示合外力矩在t0 t 时间内的累积作用。单位：牛顿米秒,角动量定理:作用在刚体上的冲量矩等于其角动量的改变量。,五、刚体的角动量守恒定律,刚体角动量守恒定律:当物体所受的合外力矩为零时,物体的角动量保持不变。,说明：1. 若系统由几部分构成，总角动量守恒是指各部分相对 同一转轴的角动量； 2. 对微观粒子和高速运动也适用，是物理学中的基本定 律之一。,角动量守恒定律的两种应用：,1. 转动惯量保持不变的单个刚体。,2. 转动惯量可变的物体。,花样滑冰运动员通过改变身体姿态即改变转动惯量来改变转速.,例11 一质量为M长度为L的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有一质量为m的橡皮泥以速度v 和杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一起。试求: 1. 碰撞后系统的角速度；2. 碰撞后杆子能上摆的最大角度。,解：碰撞过程角动量守恒,上摆过程机械能守恒，得：,注意：橡皮泥和杆子的零势点取得不同。,例12 如图所示,质量为m 的粘土块从距匀质圆盘h 处落下,盘的质量 M=2m, = 60, 盘心为光滑轴。求碰撞后瞬间盘的0 ；P 转到x 轴时盘的，。,解：m下落到P 点前一瞬间有,碰撞时间极短，对m +盘系统，冲力远大于重力，故重力对o 的力矩可忽略，角动量守恒：,对m + 盘+ 地球系统，只有重力做功，机械能守恒。令x 轴为零势面,则：,解：由角动量守恒,摩擦力矩作负功，有机械能损失。,例13 两摩擦轮对接。若对接前两轮的角速度分别为1、2 ，求：1) 对接后共同的角速度 ; 2) 对接过程中的机械能损失。,例14 人和转盘的转动惯量为J0 ,哑铃的质量为m , 初始转速为1 。求：双臂收缩由r1变为r2时的角速度及机械能增量。,解：由角动量守恒,非保守内力作正功 ，机械能增加。,例15 一转台绕其中心的竖直轴以角速度0 =s-1 转动，转台对转轴的转动惯量为J0 = 4.010-3 kgm2 。今有沙粒以Q = 2t gs-1的流量竖直落至转台，并粘附于台面形成一圆环，若环的半径为r = 0.10m，求沙粒下落t = 10 s 时，转台的角速度。,解：在0 t s内落至台面的沙粒质量为：,沙粒下落对转台不产生力矩作用（冲击力与轴平行）,则任意时刻系统角动量守恒：,t = 10 s 时转台的角速度：,例16 如图，一空心圆环可绕竖直轴OO自由转动，转动惯量为J0 ，环的半径为R，初始角速度为0 ，今有一质量为m的小球静止在环内A点，由于微小扰动使小球向下滑动。问小球到达B、C点时，环的角速度与小球相对于环的速度各为多少？（设环内壁光滑）。,解：小球在 A 、C 点对OO轴的转动惯量为0，在B 点处的转动惯量为mR2 , 对 环+小球系统, 外力为重力 , 不产生力矩 , 角动量守恒：,对环+小球+地球系统, 机械能守恒，取环心为零势点，有：,得：,由这几式得：,例17 如图，在光滑的水平面上有一轻弹簧（倔强系数为k ）它的一端固定，另一端系一质量为m 的滑块。最初滑块静止时，弹簧呈自然长度l0 ，今有一质量为m的子弹以速度v0沿水平方向并垂直于弹簧轴线射向滑块且留在其中，滑块在水平面内滑动，当弹簧被拉伸至长度l时，求滑块速度的大小和方向。,解：沿水平方向动量守恒:,对子弹+滑块+弹簧系统, 合外力做功为零，机械能守恒；合外力矩为零，角动量守恒：,本 章 小 结,一、描述刚体定轴转动的物理量及运动学公式,1. 物理量,2. 线量和角量的关系,3.匀角加速转动公式,二、转动定律,注意:,J和M必须是一个刚体对同一转轴的转动惯量和力矩。若同时存在几个刚体，原则上应对每个刚体列出 。,三、转动惯量,刚体的转动惯量与刚体的质量、形状、质量的分布以及转轴的位置有关。,计算转动惯量的方法：,(1)已知质量分布，由定义式求转动惯量：,(2)已知两轴间距离，用平行轴定理求解：,(3)已知刚体系中各个刚体对同一转轴的转动惯量，由叠加法求解：,四、刚体力学中的功和能,(1) 力矩的功：,(2) 刚体转动动能定理：,(3) 机械能守恒定律：只有保守内力作功时，系统动能与势能之和为常量。,五、刚体角动量和角动量守恒定律,(1) 角动量:,(2) 角动量定理:,(3) 角动量守恒定律:,当刚体(系统)所受外力矩为零时，则刚体(系统)对此轴的总角动量为恒量。,解 分析木块滑过圆柱体的一瞬间,把木块与圆柱体看作一系统,摩擦力是系统的内力,合外力为零,因此,系统的角动量守恒,初始,末时,因,棒可绕通过其端点o且与桌面垂直的轴无摩擦地转动,另有一质量为,的小滑块在桌面作水平运动,从侧面与垂直于棒的另一端A,求碰撞后细棒从相碰到停转过程经历的时间,解 分为两个阶段,(1) 碰撞过程: 角动量守恒,(2) 细棒减速运动过程,计算细棒受的阻力矩:,因此,长为L,质量为M的均质杆,可绕o点转动,今杆自水平位置无初速地落下,在铅直位置与物体m作完全非弹性碰撞.求物体沿水平面滑动的距离，设水平面的摩擦系数为,解 分为三个阶段,(1) 杆下落阶段:,(2) 杆与物体碰撞过程: