高考数学第2部分专题5解析几何第9讲圆锥曲线的定义、方程及性质学案文.docx

第9讲圆锥曲线的定义、方程及性质高考统计定方向热点题型真题统计命题规律题型1：圆锥曲线的定义、标准方程2017全国卷T14；2017全国卷T12；2014全国卷T101.每年必考内容，多以选择、填空题的形式考查圆锥曲线的定义、方程、性质，以解答题的形式考查直线与圆锥曲线的综合问题.2.小题一般出现在512或1415题的位置，难度中等偏上，解答题出现在20题的位置上，难度较大.题型2：圆锥曲线的性质及应用2018全国卷T4；2018全国卷T6；2018全国卷T112018全国卷T10；2017全国卷T5；2017全国卷T52017全国卷T12；2016全国卷T5；2016全国卷T122015全国卷T5；2015全国卷T16；2015全国卷T152014全国卷T4题型3：直线、圆与圆锥曲线的交汇2017卷T11；2014卷T20题型1圆锥曲线的定义、标准方程核心知识储备圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)；(3)抛物线：|PF|PM|，点F不在直线l上，PMl于M(直线l是抛物线的准线)高考考法示例【例1】(1)(2018哈尔滨模拟)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A.1B.1C.y21 Dx21(2)(2017全国卷)已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_.(1)D(2)6(1)根据题意画出草图如图所示，不妨设点A在渐近线yx上由AOF是边长为2的等边三角形得到AOF60，c|OF|2.又点A在双曲线的渐近线yx上，tan 60.又a2b24，a1，b，双曲线的方程为x21.故选D.(2)如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，PMOF.由题意知，F(2,0)，|FO|AO|2.点M为FN的中点，PMOF，|MP|FO|1. 又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3.由抛物线的定义知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.方法归纳求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”(1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程.(2)计算，即利用待定系数法求出方程或方程组中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y22ax或x22ay(a0)，椭圆常设为mx2ny21(m0，n0，mn)，双曲线常设为mx2ny21(mn0).对点即时训练1设双曲线与椭圆1相交且有共同的焦点，其中一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是()A.1B.1C.1 D.1A法一：(定义法)椭圆1的焦点坐标分别是(0,3)，(0，3)根据双曲线的定义知，2a|4，解得a2，又b2c2a25，所以所求双曲线的标准方程为1.故选A.法二：(待定系数法)椭圆1的焦点坐标分别是(0,3)，(0，3)设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则a2b29.又点(，4)在双曲线上，所以1.由解得a24，b25.故所求双曲线的标准方程为1.故选A.2设椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足9，则|的值为()A8B10C12D15D因为P是椭圆1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，所以|PF1|PF2|8，|F1F2|4.因为9，所以|cosF1PF29，因为|2|2|22|cosF1PF2(|)22|2|cosF1PF2，所以642|1816.所以|15，故选D.题型2圆锥曲线的性质及应用核心知识储备1椭圆、双曲线中，a，b，c，e之间的关系(1)在椭圆中：a2b2c2，离心率为e；(2)在双曲线中：c2a2b2，离心率为e.2双曲线的渐近线方程与焦点坐标(1)双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx；焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)；(2)双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，焦点坐标F1(0，c)，F2(0，c)注意离心率e与渐近线的斜率的关系高考考法示例【例2】(1)(2018全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.B2C.D2(2)(2018沈阳模拟)已知双曲线1(a0，b0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1(3)已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆1(ab0)的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.(1)D(2)B(3)C(1)法一：由离心率e，得ca，又b2c2a2，得ba，所以双曲线C的渐近线方程为yx.由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C的渐近线的距离为2.故选D.法二：离心率e的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是yx，由点到直线的距离公式得点(4,0)到C的渐近线的距离为2.故选D.(2)由离心率为可知ab，ca，所以F(a,0)，由题意可知kPF1，所以a4，解得a2，所以双曲线的方程为1，故选B.(3)设椭圆的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)，则由题意可知双曲线的方程为1，其渐近线方程为yx.因为双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，所以由椭圆的对称性可知，渐近线的方程为yx，即bc，所以ac，故椭圆的离心率e，故选C.方法归纳1求椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的方法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值2双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得(2)用法：可得或的值利用渐近线方程设所求双曲线的方程利用e求离心率对点即时训练1(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则()A5 B6 C7 D8D法一：过点(2,0)且斜率为的直线的方程为y(x2)，由得x25x40，解得x1或x4，所以或不妨设M(1,2)，N(4,4)，易知F(1,0)，所以(0,2)，(3,4)，所以8.故选D.法二：过点(2,0)且斜率为的直线的方程为y(x2)，由得x25x40，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y10，y20，根据根与系数的关系，得x1x25，x1x24.易知F(1,0)，所以(x11，y1)，(x21，y2)，所以(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1445188.故选D.2(2016全国卷)已知F1，F2是双曲线E：1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为()A. B. C. D2A法一：如图，因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|.又sinMF2F1，所以，即|MF2|3|MF1|.由双曲线的定义得2a|MF2|MF1|2|MF1|，所以b2a2，所以c2b2a22a2，所以离心率e.法二：如图，因为MF1x轴，所以|MF1|.在RtMF1F2中，由sinMF2F1得tanMF2F1.所以，即，即，整理得c2aca20，两边同除以a2得e2e10.解得e(负值舍去)题型3直线、圆与圆锥曲线的交汇全国卷考查圆与圆锥曲线的交汇问题是近几年高考考查的热点，在小题和大题中均有可能出现高考考法示例【例3】(1)(2016全国卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2B4C6D8B设出抛物线和圆的方程，将点的坐标代入，联立方程组求解设抛物线的方程为y22px(p0)，圆的方程为x2y2r2.|AB|4，|DE|2，抛物线的准线方程为x，不妨设A，D.点A，D在圆x2y2r2上，85，p4(负值舍去)C的焦点到准线的距离为4.(2)(2018郑州模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与直线ax2byab0相切图252求椭圆C的离心率；如图252，过F1作直线l与椭圆分别交于两点P，Q，若PQF2的周长为4，求的最大值思路点拨解由题意c，即3a2b2c2(a24b2)(a2b2)(a24b2)a22b2，e.因为三角形PQF2的周长为4.所以4a4，a，b21，椭圆方程为y21，且焦点F1(1,0)，F2(1,0)，()若直线l斜率不存在，则可得lx轴，方程为x1，解方程组可得或，P，Q，故.()若直线l斜率存在，设直线l的方程为yk(x1)，由消去y整理得(2k21)x24k2x2k220，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2.(x11，y1)(x21，y2)(x11)(x21)y1y2.(k21)x1x2(k21)(x1x2)k21.(k21)(k21)k21.k20，可得1，综上可得1.所以最大值是.方法归纳处理圆锥曲线与圆相结合问题的注意点(1)注意圆心、半径和平面几何知识的应用，如直径所对的圆周角为直角，构成了垂直关系；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等.(2)注意圆与特殊线的位置关系，如圆的直径与椭圆长轴(短轴)，与双曲线的实轴(虚轴)的关系；圆与过定点的直线、双曲线的渐近线、抛物线的准线的位置关系等.(教师备选)(2016全国卷)设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围解(1)因为|AD|AC|，EBAC，所以EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA|EB|4.由题设得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为1(y0)(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120，则x1x2，x1x2.所以|MN|x1x2|.过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y(x1)，点A到直线m的距离为，所以|PQ|24.故四边形MPNQ的面积S|MN| PQ|12.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)当l与x轴垂直时，其方程为x1，|MN|3，|PQ|8，故四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为12,8)对点即时训练1(2017全国卷)若双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，则C的离心率为()A2B.C.D.A设双曲线的一条渐近线方程为yx，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为.根据点到直线的距离公式得，解得b23a2.所以C的离心率e2.故选A.2(2018中山七校联考)已知椭圆1(ab0)的上、下、左、右四个顶点分别为A，B，C，D，x轴正半轴上的某点G满足|GD|2，|GA|3，|GC|4.图253(1)求椭圆的方程；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点M在圆x2y2b2上，且M在第一象限，过M作圆x2y2b2的切线交椭圆于P，Q，求证：PF2Q的周长是定值解(1)设点G的坐标为(x0,0)(x00)，可知2a24，a3，x04a1，b2.因此椭圆的方程是1.(2)法一：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则1，|PF2|，0x13，|PF2|3，在圆中，M是切点，|PM|x1，|PF2|PM|3x1x13，同理|QF2|QM|3，|F2P|F2Q|PQ|336，因此PF2Q的周长是定值6.法二：设PQ的方程为ykxm(k0)，由，得(89k2)x218kmx9m2720，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|PQ|x1x2|，PQ与圆x2y28相切，2，即m2，|PQ|，|PF2|，0x13，|PF2|3，同理可得|QF2|(9x2)3，|F2P|F2Q|PQ|666，因此PQF2的周长是定值6.1(2018全国卷)双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()AyxByxCyx DyxA因为双曲线的离心率为，所以，即ca.又c2a2b2，所以(a)2a2b2，化简得2a2b2，所以.因为双曲线的渐近线方程为yx，所以yx.故选A2(2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点若PF1PF2，且PF2F160，则C的离心率为()A1 B2C. D.1D由题设知F1PF290，PF2F160，|F1F2|2c，所以|PF2|c，|PF1|c.由椭圆的定义得|PF1|PF2|2a，即cc2a，所以(1)c2a，故椭圆C的离心率e1.故选D.3(2017全国卷)已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则APF的面积为()A. B.C. D.D因为F是双曲线C：x21的右焦点，所以F(2,0)因为PFx轴，所以可设P的坐标为(2