高中数学第2章统计2.3.1平均数及其估计学案苏教版必修3.docx

2.3.1平均数及其估计内容要求1.会求样本的平均数(重点)；2.运用样本的平均数来估计总体的平均水平(重点)；3.会应用相关知识解决简单的实际问题(难点).知识点众数、中位数、平均数(或均值)1.众数、中位数、平均数(或均值)定义(1)众数：一组数据中重复出现次数最多的数.(2)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数叫做这组数据的中位数.(3)平均数(或均值)：如果n个数x1，x2，xn，那么(x1x2xn)叫做这n个数的平均数(或均值).2.若取值为x1，x2，xn的频率分别为p1，p2，pn，则其平均数为x1p1x2p2xnpn.3.三种数字特征与频率分布直方图的关系众数众数是最高长方形的中点所对应的数据，表示样本数据的中心值中位数(1)在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等，由此可以估计中位数的值，但是有偏差；(2)表示样本数据所占频率的等分线平均数(1)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；(2)平均数是频率分布直方图的重心，是频率分布直方图的平衡点【预习评价】对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本为（12，15，20，22，23，23，31，32，34，34，38，39，45，45，45，47，47，48，48，49，50，50，51，51，54，57，59，61，67，68），则该样本的中位数、众数、平均数分别是_.解析由题意知各数为12,15,20,22,23,23,31,32,34,34,38,39,45,45,45,47,47,48,48,49,50，50,51,51,54,57,59,61,67,68，中位数是46，众数是45，最大数为68，最小数为12，平均数为42.2.答案46,45,42.2题型一平均数的计算【例1】已知样本数据：10,8,6,10,8,13,10,10,10,7,8,9,12,8,11,12,9,10,11,12，列出频率分布表，求样本平均数.解极差为1367，取组距为2，分成4组，即5.5,7.5)，7.5,9.5)，9.5,11.5)，11.5,13.5，列频率分布表如下：分组频数频率5.5,7.5)20.17.5,9.5)60.39.5,11.5)80.411.5,13.540.2合计201样本平均数(1086101112)9.7.规律方法1.在一般情况下，要计算一组数据的平均数可使用“平均数”公式.2.当数据较大，且大部分数据在某一常数左、右波动时，可先将各数减去同一个常数计算新数据的平均数，则所求平均数为新数据的平均数加上（减去）同一个常数，这种方法可以减少运算量，故此法比较简便.【训练1】在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：成绩(单位：m)1.501.601.651.701.751.801.851.90人数23234111分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.解在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；这组数据的平均数是(1.5021.6031.901)1.69(m).故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m，1.70 m,1.69 m.题型二用样本平均数估计总体平均数【例2】(1)一个球队所有队员的身高如下(单位：cm)：178,179,181,182,176,180,176,180,183,175,181,185,180,184.问这个球队的队员平均身高是多少？(2)有容量为100的样本，数据分组及各组的频数、频率如下：12.5,14.5)，6,0.06；14.5,16.5)，16,0.16；16.5,18.5)，18,0.18；18.5,20.5)，22,0.22；20.5,22.5)，20,0.20；22.5,24.5)，10,0.10；24.5,26.5，8,0.08.试估计总体的平均数.解(1)法一利用平均数的定义计算.(178179181182176180176180183175181185180184)2 520180.所以该球队的队员平均身高为180 cm.法二利用新数据法进行计算.取a180，将各数据减去180，得到一组新数据：2，1,1,2，4,0，4,0,3，5,1,5,0,4.(21124040351504)00，a0180180.故该球队的队员平均身高为180 cm.(2)法一(13.5615.51617.51819.52221.52023.51025.58)19.42.故总体的平均数约为19.42.法二13.50.0615.50.1617.50.1819.50.2221.50.2023.50.1025.50.0819.42.故总体的平均数约为19.42.规律方法1.当条件给出某几个范围内的数据的频数或频率时，可用组中值求近似平均数.2.对连续型分布的有关问题，可用组中值法求样本数据的平均数，这种方法求得的平均值只是一个估计值.【训练2】某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.求：(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数；(2)高一参赛学生的平均成绩.解(1)由图可知众数为65，又第一个小矩形的面积为0.3，设中位数为60x，则0.3x0.040.5，得x5，中位数为60565.(2)依题意，平均成绩为550.3650.4750.15850.1950.0567，平均成绩约为67.方向1频率分布直方图中众数、中位数的考查【例31】某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以160，180)，180，200)，200，220)，220，240)，240，260)，260，280)，280，300分组的频率分布直方图如图(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为220，240)，240，260)，260，280)，280，300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则从月平均用电量在220，240)内的用户中应抽取多少户？解(1)由(0.0020.009 50.0110.012 5x0.0050.002 5)201，得x0.007 5，直方图中x的值为0.007 5.(2)月平均用电量的众数是230.(0.0020.009 50.011)200.450.5，月平均用电量的中位数在220，240)内，设中位数为a，则(0.0020.009 50.011)200.012 5(a220)0.5，解得a224，即中位数为224.(3)月平均用电量在220，240)内的用户有0.012 52010025(户)，同理可求月平均用电量为240，260)，260，280)，280，300的用户分别有15户、10户、5户，故抽样比为.从月平均用电量在220，240)内的用户中应抽取255(户)方向2频率分布表与特征数综合【例32】已知50名同学参加数学竞赛成绩的分组及各组的频数如下：(单位：分)40,50)，2；50,60)，3；60,70)，10；70,80)，15；80,90)，12；90,100，8.列出样本的频率分布表并求这50名同学的平均分.解由于每组的数据是一个范围，所以可用各组区间的组中值近似地表示该组平均成绩.频率分布表如下：成绩分组频数频率40,50)20.0450,60)30.0660,70)100.2070,80)150.3080,90)120.2490,10080.16合计501.00法一总成绩约为4525536510751585129583 810(分)，故这50名同学的平均分约为3 8105076.2(分).法二求组中值与对应频率之积的和.450.04550.06650.20750.30850.24950.1676.2(分).即这50名同学的平均分约是76.2分.方向3频率分布直方图与特征数的综合【例33】某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100后，画出如图部分频率分布直方图.观察图形回答下列问题：(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)；(3)估计这次考试的平均分.解(1)因为各组的频率和为1，所以第四组的频率f41(0.0250.01520.010.005)100.3.频率分布直方图如图所示：(2)依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为0.75.所以估计这次考试及格率为75%.(3)平均分为450.1550.15650.15750.3850.25950.0571.规律方法1.已知样本数据是以某几个范围内的频数的形式给出时，通常用组中值代表相应范围内数据的平均值，然后根据样本平均数的计算公式求得近似平均数.2.利用直方图求数字特征时：(1)众数是最高的矩形底边的中点；(2)中位数左、右两边直方图的面积应该相等；(3)平均数等于每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标乘积之和.课堂达标1.给定数据5,9,8,10,13的平均数为_.解析平均数(5981013)9.答案92. 某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中得分为8，9，11，12，12，12，13，13，14，16，17，18，19，20，21，21，21，23，23，23，23，25，25，27，28，28，30，31，32，32，33，34，34，38，39，40，41，43，45，46，则中位数与众数分别为_、_.解析这40个数据中中间两个数据都是23.因此中位数为23.这40个数据中23出现的次数最多共4次，因此众数为23.答案23233.某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量(单位：克)分别为150,152,153,149,148,146,151,150,152,147，由此估计这车苹果单个重量的平均值是_.解析平均数为149.8克.答案149.8克4.将一组数据同时减去3.1，得到一组新数据，若原数据的平均数为，则新数据的平均数是_.解析设原来数据为a1，a2，an，则a1a2ann，从而新数据的平均数为3.1.答案3.15.某班进行一次考核，满分5分，3分(包括3分)以上为合格，得1分，2分，3分，4分，5分的人数占该班总人数的比例分别为5%,10%,35%,40%和10%，试求该班的平均得分.解该班的平均得分为10.0520.1030.3540.4050.103.4(分).课堂小结1.一组数据中的众数可能不止一个，众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是该数据出现的次数，如果两个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数.2.一组数据的中位数是唯一的，求中位数时，必须先将这组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数为奇数，那么，最中间的一个数据是这组数据的中位数，如果数据的个数为偶数，那么，最中间两个数据的平均数是这组数据的中位数.3.利用直方图求数字特征：众数是最高矩形的底边中点.中位数左右两边直方图的面积应相等.平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标乘积之和.4.求平均数的方法(1)定义法：已知x1，x2，x3，xn为某样本的n个数据，则这n个数据的平均数为.(2)利用平均数的性质：如果x1，x2，xn的平均数为，那么mx1a，mx2a，mxna的平均数是m a.(3)加减常数法：数据x1，x2，xn都比较大或比较小，且x1，x2，xn在固定常数a附近波动，将原数据变化为x1a，x2a，xna，新数据的平均数为，则所求原数据的平均数为a.(4)加权平均数法：样本中，数据x1有m1个，x2有m2个，xk有mk个，则.基础过关1.已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为_.解析6.答案62. 某市对上、下班交通情况作抽样调查，上、下班时间各抽取了12辆机动车行驶时速(km/h)分别为上班时间：18，20，21，26，27，28，28，30，32，33，35，40；下班时间：16，17，19，22，25，27，29，29，30，30，32，36，则上、下班时间的中位数分别是_和_.解析将两组数据分别按从小到大排列，如上班时间的数据为18,20,21,26,27,28,28,30,32,33,35,40，找出中间两个数为28,28，则其中位数为28，同理得出下班时间的中位数为28.答案28283.在一段时间里，一个学生记录了其中10天他每天完成家庭作业所需要的时间，结果如下(单位：分钟)：80,70,70,70,60,60,80,60,60,70.在这段时间里，该学生平均每天完成家庭作业所需时间是_(分钟).解析法一观察数据知：80出现2次，60与70各出现4次，又总次数为24410，该学生平均每天完成家庭作业所需时间为68(分钟).法二观察数据知所有数据均在70附近波动，可将各数据同时减70得一组新数据：10,0,0,0，10，10,10，10，10,0这组新数据的平均数为2，该学生平均每天完成家庭作业所需时间为70(2)68(分钟).答案684.已知1,2,3,4，x1，x2，x3的平均数是8，那么x1x2x3的值是_.解析由条件知，1234x1x2x387.x1x2x346.答案465.某台机床加工的1 000只产品中次品数的频率分布如下表：次品数01234频率0.50.20.050.20.05则次品数的众数、平均数依次为_.解析数据xi出现的频率为pi(i1,2，n)，则x1，x2，xn的平均数为x1p1x2p2xnpn.因此次品数的平均数为00.510.220.0530.240.051.1.由频率知次品数的众数为0.答案0,1.16.从一批机器零件毛坯中随机抽取20件，称得它们的质量(单位：kg)如下：210208200205202218206214215207195207218192202216185227187215计算样本平均数，并估计这批机器零件毛坯的平均质量(结果精确到个位).解法一由题中数据得(210208215)206(kg)，即样本平均数约为206 kg.法二将原数据中的各数据都减去200，得到一组新数据：108052186141575718821615271315新数据的平均数为(10815)6.45，样本数据的平均数是200206(kg).于是估计这批机器零件毛坯的平均质量约为206 kg.7.某地用随机抽样的方法检查了630名50岁60岁女性血清甘油三酯含量(mg/dl)，频率分布表如下表所示，分别用频数和频率计算这630名女性血清甘油三酯含量的平均值.分组组中值频数频率10,40)25270.04340,70)551690.26870,100)851670.265100,130)115940.149130,160)145810.129160,190)175420.067190,220)205280.044220,250)235140.022250,280)26540.006280,310)29530.005310,34032510.002合计6301解由于每组数据是一个范围，所以可用组中值近似地求平均数.法一设mi表示第i组的频数，xi表示第i组的组中值，fi表示第i组的频率.由各分组的组中值x1，x2，x11分别是25,55，325，用频数计算时，血清甘油三酯含量的平均值ixi(2725169551325)103.8.法二用频率计算时，血清甘油三酯含量的平均值ixi0.043250.268550.002325103.8.能力提升8. 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分分别为甲：13，23，26，28，37，39，41；乙：24，25，32，36，37，45，47，那么甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是_.解析甲的中位数是28，乙的中位数是36，则两人比赛得分的中位数之和为64.答案649.若x1，x2，x10的平均数为a，x11，x12，x50的平均数为b，则x1，x2，x50的平均数是_.解析由题意知前10个数的总和为10a，后40个数的总和为40b，又总个数为50，x1，x2，x50的平均数为.答案10.青少年视力水平的下降已引起全社会的关注，为了了解某中学毕业年级300名学生的视力情况，从中抽测了一部分学生的视力，进行数据整理如下：频率分布表分组频数频率3.954.2520.044.254.5560.124.554.85230.464.855.15180.365.155.4510.02合计501.00若视力在4.85以上均属正常不需矫正，试估计该校毕业年级学生视力正常的人数约_.解析300(0.360.02)114(名)答案11411.某班有四个学习小组，各小组人数分别为10,10，x,8，已知这组数据的中位数与平均数相等，则这组数据的中位数为_.解析由于x未知，因此中位数不确定，需讨论.该组数据的平均数为(1010x8)(28x)，中位数是这4个数按从小到大的顺序排列后处在最中间两个数的平均数.(1)当x8时，原数据从小到大排序为x,8,10,10，中位数是9，由(28x)9，得x8，符合题意，此时中位数是9；(2)当8x10时，原数据从小到大排序为8，x,10,10，中位数是(x10)，由(28x)(10x)，得x8，与8x10矛盾，舍去；(3)当x10时，原数据从小到大排序为8,10,10，x，中位数是10，由(28x)10，得x12，符合题意，此时中位数是10.综上所述，