高中数学第3章概率3.4互斥事件学案苏教版必修3.docx

3.4互斥事件内容要求1.了解事件间的相互关系；2.理解互斥事件、对立事件的概念(重点，难点)；3.会用概率的加法公式求某些事件的概率(重点).知识点一互斥事件与对立事件的概念1.事件的包含关系定义一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)符号BA(或AB)图示注意事项 不可能事件记作，显然C(C为任一事件)； 事件A也包含于事件A，即AA； 事件B包含事件A，其含义就是事件A发生，事件B一定发生，而事件B发生，事件A不一定发生2.事件的相等关系定义一般地，若BA，且AB，那么称事件A与事件B相等符号AB图示注意事项 两个相等事件总是同时发生或同时不发生； 所谓AB，就是A，B是同一事件； 在验证两个事件是否相等时，常用到事件相等的定义3.事件的和定义若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的和事件符号AB图示注意事项 ABBA； 例如，在掷骰子试验中，事件C2，C4分别表示出现2点，4点这两个事件，则C2C4出现2点或4点4.互斥事件和对立事件的含义不能同时发生的两个事件称为互斥事件.如果两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件，事件A的对立事件记为.【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)1.两个事件若是互斥事件，则它们不能同时发生.()2.互斥事件一定是对立事件.()3.两个对立事件的概率之和一定等于1.()答案1.2.3.知识点二概率的几个基本性质1.概率的取值范围(1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在01之间，从而任何事件的概率在01之间，即0P(A)1.(2)必然事件的概率为1.(3)不可能事件的概率为0.2.互斥事件的概率加法公式如果事件A，B互斥，那么事件AB发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(AB)P(A)P(B).3.对立事件的概率公式若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事件，P(AB)1.再由互斥事件的概率加法公式P(AB)P(A)P(B)，得P(A)1P(B).【预习评价】若A，B为互斥事件，P(A)0.4，P(AB)0.7，则P(B)_.解析因为A，B为互斥事件，所以P(AB)P(A)P(B)，所以P(B)P(AB)P(A)0.70.40.3.答案0.3题型一事件关系的判断【例1】判断下列每对事件是不是互斥事件，是不是对立事件.从装有5个红球，5个白球的袋中任意取出3个球.(1)“取出2个红球和1个白球”与“取出1个红球和2个白球”；(2)“取出2个红球和1个白球”与“取出3个红球”.解从中任取3球，共有下面四种可能结果，它们是：“取出3个红球”，“取出2个红球和1个白球”，“取出1个红球和2个白球”，“取出3个白球”，彼此互斥，所以(1)是互斥事件，不是对立事件；(2)是互斥事件，不是对立事件.规律方法1.要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生.在互斥的前提下，看两个事件的和事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件.2.考虑事件的结果间是否有交事件.可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析.【训练1】某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名同学去参加比赛.(1)“恰有一名男生”和“恰有两名男生”；(2)“至少有一名男生”和“至少有一名女生”；(3)“至少有一名男生”和“全是男生”；(4)“至少有一名男生”和“全是女生”.试判断以上各对事件是不是互斥事件，并说明理由.解(1)是互斥事件.理由如下：在所选的两名同学中，“恰有一名男生”实质是选出“一名男生，一名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件.(2)不是互斥事件.理由如下：“至少有一名男生”包括“一名男生，一名女生”和“两名都是男生”两种结果，“至少有一名女生”包括“一名女生，一名男生”和“两名都是女生”两种结果，它们可能同时发生.(3)不是互斥事件.理由如下：“至少有一名男生”包括“一名男生，一名女生”和“两名都是男生”两种结果，这与“全是男生”可能同时发生.(4)是互斥事件.理由如下：“至少有一名男生”包括“一名男生，一名女生”和“两名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，所以一定是互斥事件.题型二事件的运算【例2】在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1出现1点，事件C2出现2点，事件C3出现3点，事件C4出现4点，事件C5出现5点，事件C6出现6点，事件D1出现的点数不大于1，事件D2出现的点数大于3，事件D3出现的点数小于5，事件E出现的点数小于7，事件F出现的点数为偶数，事件G出现的点数为奇数，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.解(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1D3，C2D3，C3D3，C4D3.同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1与事件D1相等，即C1D1.(2)因为事件D2出现的点数大于3出现4点或出现5点或出现6点，所以D2C4C5C6.同理可得，D3C1C2C3C4，EC1C2C3C4C5C6，FC2C4C6，GC1C3C5.规律方法事件间的运算方法：(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.【训练2】盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A3个球中有一个红球，两个白球，事件B3个球中有两个红球，一个白球，事件C3个球中至少有一个红球，事件D3个球中既有红球又有白球.则：(1)事件D与事件A、B是什么样的运算关系？(2)事件C与事件A的交事件是什么事件？解(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故DAB.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球或3个红球，故CAA.【例3】袋中有红、黄、白3种颜色的球各1个，从中每次任取1个，有放回地抽取3次，求所得球：(1)3个球颜色全相同的概率；(2)3个球颜色不全相同的概率.解(1)“3个球颜色全相同”有可能是这样的三种情况：“3个球全是红球”(事件A)；“3个球全是黄球”(事件B)；“3个球全是白球”(事件C)，故“3个球颜色全相同”这个事件可记为ABC.由于事件A、B、C不可能同时发生，因此它们是互斥事件，再由于红、黄、白球个数一样，有放回地抽取3次共有27种结果，故不难得到P(A)P(B)P(C)，故P(ABC)P(A)P(B)P(C).故3个球颜色全相同的概率为.(2)记“3个球颜色不全相同”为事件D，则事件为“3个球颜色全相同”，显然事件D与是对立事件，且P()P(ABC).所以P(D)1P()1.故3个球颜色不全相同的概率为.【迁移1】在数学考试中，小明的成绩(满分100分，60分及60分以上为及格)在90分及90分以上的概率是0.18，在8089分的概率是0.51，在7079分的概率是0.15，在6069分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07，计算：(1)小明在数学考试中取得80分及80分以上成绩的概率；(2)小明考试及格的概率.解根据题意记B为“考试成绩在90分及90分以上”，C为“考试成绩在8089分”，D为“考试成绩在7079分”，E为“考试成绩在6069分”.(1)记事件A为“考试成绩在80分及80分以上”，因为事件B、C为互斥事件，所以由互斥事件的概率加法公式可知，P(A)P(BC)P(B)P(C)0.180.510.69.(2)记事件F为“小明考试及格”.因为B、C、D、E两两互斥，所以由互斥事件的概率加法公式有P(F)P(BCDE)P(B)P(C)P(D)P(E)0.180.510.150.090.93.【迁移2】同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率.解法一设“至少有一个5点或6点”为事件A，同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表：1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)共有36种不同的结果，其中至少有一个5点或6点的结果有20个，所以P(A).法二设“至少有一个5点或6点”为事件A，至少有一个5点或6点的对立事件是既没有5点又没有6点，记为.如上表，既没有5点又没有6点的结果共有16个，则既没有5点又没有6点的概率为P().所以至少有一个5点或6点的概率为P(A)1P()1.【迁移3】玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个，从中任取1球，设事件A为“取出1个红球”，事件B为“取出1个黑球”，事件C为“取出1个白球”，事件D为“取出1个绿球”.已知P(A)，P(B)，P(C)，P(D).(1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率；(2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率.解法一(1)因为事件A，B，C，D彼此为互斥事件，所以“取出1个球为红球或黑球”的概率为P(AB)P(A)P(B).(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为P(ABC)P(A)P(B)P(C).法二(1)“取出1个球为红球或黑球”的对立事件为“取出1个球为白球或绿球”，即AB的对立事件为CD，所以P(AB)1P(CD)1P(C)P(D)1，即“取出1个球为红球或黑球”的概率为.(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1个球为绿球”，即ABC的对立事件为D，所以P(ABC)1P(D)1，即“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为.规律方法1.互斥事件的概率的加法公式P(AB)P(A)P(B).2.对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和.3.当求解的问题中有“至多”、“至少”、“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题.4.求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率，即P(A)1P(B)(B是A的对立事件).课堂达标1.已知A，B为互斥事件，有下列说法：AB是必然事件；是必然事件；与一定互斥；与一定不互斥.其中正确的有_.解析利用互斥事件的定义，可用集合知识考虑，可知AB不一定是必然事件，是必然事件，与可能互斥，也可能不互斥，故正确.答案2.某人在打靶时，连续射击2次，“至少有1次中靶”的对立事件是_.2次都中靶；至多有1次中靶；2次都不中靶；只有1次中靶.解析“至少有1次中靶”包含“只有1次中靶”“2次都中靶”两种情况，而“至多有1次中靶”包含“只有1次中靶”“2次都不中靶”两种情况，所以“至少有1次中靶”与都不是互斥事件，更不是对立事件，只有正确.答案3.在10张卡片上分别写上0,1,2,3,4,5,6,7,8,9后，任意叠放在一起，从中任取一张，设“抽到大于3的奇数”为事件A，“抽到小于7的奇数”为事件B，则P(AB)_.解析易知A，B不是互斥事件，所以不能直接套用互斥事件的概率加法公式.事件AB包含了5个基本事件，即抽到1,3,5,7,9，则P(AB).答案4.从集合a，b，c，d，e的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合a，b，c的子集的概率是，则该子集恰是集合a，b，c的子集的概率是_.解析该子集恰是a，b，c的子集的概率为P1.答案5.某地区的年降水量在某些范围内的概率如下表所示：年降水量(单位：mm)100,150)150,200)200,250)250,300)概率0.120.250.160.14(1)求年降水量在100,200)(mm)范围内的概率；(2)求年降水量在150,300)(mm)范围内的概率.解记这个地区的年降水量在100,150)，150,200)，200,250)，250,300)(mm)范围内分别为事件A，B，C，D.这4个事件是彼此互斥的.根据互斥事件的概率加法公式，有(1)年降水量在100,200)(mm)范围内的概率是P(AB)P(A)P(B)0.120.250.37.(2)年降水量在150,300)(mm)内的概率是P(BCD)P(B)P(C)P(D)0.250.160.140.55.课堂小结1.互斥事件和对立事件既有区别又有联系：互斥未必对立；对立一定互斥.2.互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P(AB)P(A)P(B).3.求复杂事件的概率通常有两种方法：(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的和事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.基础过关1.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，是互斥事件而不是对立事件的有_.(填序号)至少有一个红球；都是红球；至少有一个红球；都是白球；至少有一个红球，至少有一个白球；恰有两个红球；恰有一个红球.解析可以先考虑哪几对事件是互斥的，然后从中考虑不是对立的事件，即可获得互斥而不对立的事件.在各选项所涉及的四对事件中，仅和中的两对事件是互斥事件，同时，所涉及的事件是一对对立事件，而中的这对事件可以都不发生，故不是对立事件，因此，是互斥事件，但不是对立事件.答案2.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为_.解析记事件A：甲或乙被录用.从五人中录用三人，基本事件有(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)、(甲，丁，戊)、(乙，丙，丁)、(乙，丙，戊)、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共10种可能，而A的对立事件仅有(丙，丁，戊)一种可能，A的对立事件的概率为P()，P(A)1P().答案3.某射手在一次射击训练中射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，则这个射手在一次射击中射中10环或7环的概率为_.解析记“射中的10环”为事件A，“射中7环”为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件.所以射中10环或7环的概率为P(AB)P(A)P(B)0.210.280.49.答案0.494.一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为_.解析把红球标记为红1、红2，白球标记为白1、白2，本试验的基本事件共有16个，其中2个球同色的事件有8个：红1、红1，红1、红2，红2、红1，红2、红2，白1、白1，白1、白2，白2、白1，白2、白2，故所求概率为P.答案5.产品中有一、二、三等品及废品4种，一、二、三等品率和废品率分别为60%,10%,20%,10%，任取一个产品检验其质量，那么取到一等品或二等品的概率是_.解析记“取一个产品为一等品”记为事件A，“取一个产品为二等品”记为事件B，则A，B为互斥事件，则P(AB)P(A)P(B)60%10%0.60.10.7.答案0.76.判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件.从一副扑克牌(52张，不含大、小王)中，任取1张.(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数小于10”.解(1)是互斥事件，但不是对立事件.因为从52张扑克牌中任抽1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”不可能同时发生，因而是互斥的.同时，不能保证其中必有一个发生，因为还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不对立.(2)既是互斥事件，又是对立事件.因为从52张扑克牌中任抽1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”不可能同时发生，但其中必有一个发生，故它们既是互斥事件，又是对立事件.(3)既不是互斥事件，也不是对立事件.因为从52张扑克牌中任抽1张，“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数小于10”这两个事件可能同时发生，如抽得9，因此，二者既不互斥，又不对立.7.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.解(1)由题意，(a，b，c)所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种.设“抽取的卡片上的数字满足abc”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种.所以P(A).因此，“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率为.(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种.所以P(B)1P()1.因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.能力提升8.甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是_.解析乙不输即为两人和棋或乙获胜，因此乙不输的概率为.答案9.从一定范围内任取一实数x，若x(，1的概率是0.3，x是负数的概率是0.5，则x(1,0)的概率是_.解析设“x(，1”为事件A，“x是负数”为事件B，“x(1,0)”为事件C，由题意知A，C为互斥事件，BAC，P(B)P(A)P(C)，P(C)P(B)P(A)0.50.30.2.答案0.210.对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间20,25)上的为一等品，在区间15,20)和区间25,30)上的为二等品，在区间10,15)和30,35上的为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为_.解析根据图示易得长度在区间25,30)的概率为1(0.020.040.060.03)50.25.长度在区间15,20)和区间25,30)为两个互斥事件，两者的概率和为0.0450.250.45，所以从该产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为0.45.答案0.4511.随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则p1，p2，p3的大小关系为_(按从小到大排列).解析总的基本事件个数为36，向上的点数之和不超过5的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10个，则向上的点数之和不超过5的概率p1；向上的点数之和大于5的概率p21；向上的点数之和为偶数与向上的点数之和为奇数的个数相等，故向上的点数之和为偶数的概率p3.即p1p3p2.答案p1p3p212.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.