《导数的定义》PPT课件.ppt

2019/6/9,1,导数的概念,第二章 导数与微分,2019/6/9,2,引例,导数的定义,导数的几何意义,导函数,可导与连续的关系,单侧导数,导数的概念,2019/6/9,3,Newton 16421727 英国物理学家和数学家他在物理学上最主要的成就是发现了万有引力定律.数学上，他与德国莱布尼兹创建了“微积分学”,费尔马,阿基米德,Archimedes 前287前212 古希腊数学家和物理学家在数学上，他利用穷竭法解决了许多复杂的曲线或曲面围成的平面图形或立方体的求积问题,牛 顿,Pierre de Fermat 16011665 法国数学家律师业余研究数学解析几何的创始人有著名的“费尔马大定理” 1638年发现求极值的方法，是微积分学的先驱,2019/6/9,4,研究某个变量相对于另一个变量变化,导数研究的问题,的快慢程度,变化率问题,2019/6/9,5,引例一变速直线运动的瞬时速度,时速度呢?,如：汽车记速器显示的速度是瞬时速度，它能更准确地,反映汽车每时刻的快慢程度那么，如何计算汽车行驶的瞬,2019/6/9,6,设S是某一物体从某一选定时刻到时刻 t 所走过的,路程，,的一个函数,现要求任一,，,时刻,的瞬时速度.,则S是,2019/6/9,7,很小时，,以匀速代替变速，,那么，,内的平均速度为,基本思想：,2019/6/9,8,越小，,平均速度,就越接近于时刻,的瞬时速度,令,，,取极限，得到瞬时速度.,局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过,取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.,2019/6/9,9,瞬时速度,一小球做自由落体运动，,考察小球在,其运动方程为,秒时的,.,2019/6/9,10,其变化情况见下表 ：,从表上可以看出，不同时间段上的平均速度不相等，当时间段,很小时，,瞬时速度为,即,秒时的,很接近某一确定的值19.6 (m/s)，,平均速度,小球在,2019/6/9,11,在点,处的切线的斜率.,求曲线,割线,上点,沿曲线,点，,无限接近,的极限位置,对于曲线,割线,就是曲线在,点的切线,2019/6/9,12,曲线在,点处的切线的斜率就是割线,的斜率 为,时的极限,当,割线,的斜率,2019/6/9,13,先以割线代替切线，算出割线的斜率，然后通过取极限，,从割线过渡到切线，求得切线的斜率.,2019/6/9,14,此二例中，均匀变化与非均匀变化，局部以均匀代替非均匀,一般地,(1),(2),(3),2019/6/9,15,设函数,在,的某一邻域内有定义.,当自变量,在,取得增量,(点,仍在该邻域,内)时,因变量,也取得增量,如果,与,之比当,时的极限存在，,则称函数,在点,处可导，,并称这个极限值为,在点,处的导数，,记作,即,二、 概念和公式的引出,导数,也可记作,2019/6/9,16,如果,存在，,处导数为无穷大,在,处不可导,则称,可导与不可导,如果,不存在，,在,处可导,则称,如果,则称,在,2019/6/9,17,如果函数,在区间,导函数,内每一点都有导数，,函数,在区间,，,导函数，即,内有一,也可记作,，,2019/6/9,18,区别：,是一常数.,是一函数.,联系：,即,函数,在点,处的导数,就是导函数,在,处的值，,注：通常，导函数也简称为导数,2019/6/9,19,导数的几何意义,函数,在点,处的导数,就是函数所表示的,曲线在点,处切线,的斜率,2019/6/9,20,平行于x轴的切线,垂直于x轴的切线,x轴,切线,2019/6/9,21,若物体的运动方程为,则物体在时刻,的瞬时速度,为路程关于时间的变化率，即,速度、加速度的表示法,，,2019/6/9,22,时间的变化率，物体在时刻,的加速度为,加速度是速度v(t)关于,2019/6/9,23,图中所显示的是某地某年中,每天最高温度的函数曲线，,指出大概什么时候温度的变,化率为零.,天,天,案例1 温度曲线,2019/6/9,24,从某一时刻开始到时刻,通过该导线横截面的电量为,则,为,的函数,设有非稳恒电流通过导线,案例2 电流强度,求时刻,的电流强度,2019/6/9,25,案例3 冷却速度,当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就会不断冷却.,若物体的温度,与时间,的函数关系为,请表示出物,体在时刻,的冷却速度？,2019/6/9,26,案例4 非均匀杆的线密度,设有一细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为,于是分布在区间,上的质量m是x的函数,对于,均匀细棒来说，单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度。如,果细棒是不均匀的，如何确定细棒在点,线密度,2019/6/9,27,总 结,1、导数的概念,2、导数的几何意义,函数,在点,处的导数,就是函数所表示的,曲线在点,处切线斜率,3、导数的概念的应用,电流强度 、 冷却速度等,2019/6/9,28,导数在初等数学中的应用,一、导数在初等代数中的应用,例1 已知函数 ， （）求函数 的最大值； （）设 ，证明： （2004年全国高考 ）,2019/6/9,29,例3 已知函数 （）设 0，讨论 的单调性； （）若对任意 恒有 1，求 的取值范围 （2006年全国套第21题，14分）,2019/6/9,30,二、导数在几何中的应用,例1 设曲线 （ ）在点 处的切线 与 轴、 轴围成的三角形面积 为 （）求切线 的方程； （）求 的最大值 （2004年浙江 ）,2019/6/9,31,小结,一、导数的定义及其教学 二、导数的应用,2019/6/9,32,例 1 求函数 f (x) = x2 在 x0 = 1 处的导数，即 f (1).,解 第一步求 y ：,y = f (1+ x) - f (1) = (1+ x)2 - 12,= 2x +(x)2 .,第三步求极限：,所以， f (1) = 2.,第二步求 ：,2019/6/9,33,由定义求导数（三步法）,步骤:,例,解,2019/6/9,34,例 2 求函数 y = x2 在任意点 x0 ( , )处的导数.,解,y = f (x0 + x) - f (x0) = (x0 + x)2 - x02,= 2x0x + (x) 2.,第二步求 ：,求法与例 1 一样.,第一步求 y：,2019/6/9,35,第三步取极限：,即,有了上式，求具体某一点，如 x0 = 1 处导数，就很容易了，只要将 x0 = 1 代入即得,2019/6/9,36,例 3 表明，给定了 x0 就对应有函数 f (x) = x2的导数值,这样就形成了一个新的函数，,f (x) = x2 的导函数，它的表达式就是,(x2) = 2x .,一般地，函数 f (x) 的导函数记作 f (x)，,它的计算公式是：,叫做函数,2019/6/9,37,类似例 3，我们可以得 xn (n为整数) 的导函数，,当 n 为任意实数 时，上式仍成立，即,(xn)= nxn-1 .,(x ) = x -1 .,2019/6/9,38,例 4 求 f (x) = sin x 的导函数 ( x ( ， ).,解,即,(sin x) = cos x.,(cos x) = - sin x.,类似可得,2019/6/9,39,例 5 求 f (x) = ln x (x (0, ) ) 的导函数.,解,即,类似可得,2019/6/9,40,解,例 6 求 f (x) = ex (x (- , ) ) 的导函数 .,即,(ex) = ex.,类似可得,(ax) = ax lna .,2019/6/9,41,函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y = f (x) 在点 (x0 ，f (x0) 处的切线的斜率,即,tan = f (x0).,y = f (x),x0,P,五、导数的几何意义,2019/6/9,42,法线方程为,其中 y0 = f ( x0).,y - y0 = f ( x0)(x - x0) .,由此可知曲线 y = f (x)上点 P0 处的切线方程为,2019/6/9,43,例 2 求曲线 y = x2 在点 (1, 1) 处的切线和法线方程.,解 从例 1 知 (x2) |x=1 = 2 , 即点 (1, 1) 处的切线斜率为 2 ，,所以, 切线方程为,y 1 = 2(x - 1).,即,y = 2 x - 1.,法线方程为,即,2019/6/9,44,定理 如果函数 y = f (x) 在点 x0 处可导, 则 f (x) 在点 x0 处连续，其逆不真.,证,其中 y = f (x0 + x) - f (x0)，,所以,六、可导与连续的关系,即函数 f (x) 在点 x0 处连续.,但其逆不真，即函数 f ( x ) 在点 x0 处连续，,而函数 f ( x ) 在点 x0 处不一定可导.,2019/6/9,45,例 7 讨论函数 y = | x | 在点 x0 = 0 处的连续性与可导性.,解 y = f (0 + x ) - f (0),= | 0 + x | - | 0 |,= | x |，,2019/6/9,46,即 f ( x ) = | x | 在 x0 = 0 处连续，,存在，,在 x0 = 0 处左、右导数不相等，所以在 x = 0 处函数 y = | x | 不可导.,因为,2019/6/9,47,在点,的某个右 邻域内,三、 单侧导数,若极限,则称此极限值为,在 处的右 导数,记作,即,(左),(左),例如,在 x = 0 处有,定义2 . 设函数,有定义,存在,2019/6/9,48,定理2. 函数,在