已阅读5页,还剩24页未读, 继续免费阅读
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
,第七节 傅里叶级数,一、三角级数 三角函数系的正交性,二、函数展开成傅里叶级数,三、正弦级数和余弦级数,一、三角级数及三角函数系的正交性,简单的周期运动 :,(谐波函数),( A为振幅,复杂的周期运动 :,令,得函数项级数,为角频率,为初相 ),(谐波迭加),称上述形式的级数为三角级数.,定理 1. 组成三角级数的函数系,证:,同理可证 :,正交 ,上的积分等于 0 .,即其中任意两个不同的函数之积在,上的积分不等于 0 .,且有,但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在,二、函数展开成傅里叶级数,定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且,右端级数可逐项积分, 则有,证: 由定理条件,对在,逐项积分, 得,(利用正交性),类似地, 用 sin k x 乘 式两边, 再逐项积分可得,叶系数为系数的三角级数 称为,的傅里叶系数 ;,由公式 确定的,以,的傅里,的傅里叶级数 .,称为函数,定理3 (收敛定理, 展开定理),设 f (x) 是周期为2的,周期函数,并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:,1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;,2) 在一个周期内只有有限个极值点,则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有,x 为间断点,其中,( 证明略 ),为 f (x) 的傅里叶系数 .,x 为连续点,注意: 函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.,例1.,设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在,上的表达式为,解: 先求傅里叶系数,将 f (x) 展成傅里叶级数.,1) 根据收敛定理可知,时,级数收敛于,2) 傅氏级数的部分和逼近,说明:,f (x) 的情况见右图.,例2.,上的表达式为,将 f (x) 展成傅里叶级数.,解:,设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在,说明: 当,时, 级数收敛于,周期延拓,傅里叶展开,上的傅里叶级数,定义在 ,上的函数 f (x)的傅氏级数展开法,其它,例3. 将函数,级数 .,则,解: 将 f (x)延拓成以,展成傅里叶,2为周期的函数 F(x) ,利用此展式可求出几个特殊的级数的和.,当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得,说明:,设,已知,又,三、正弦级数和余弦级数,1. 周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数,定理4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为,周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,它的傅里叶系数为,正弦级数,它的傅里叶系数为,例4. 设,的表达式为 f (x)x ,将 f (x) 展成傅里叶级数.,是周期为2 的周期函数,它在,解: 若不计,周期为 2 的奇函数,因此,n1,根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:,级数的部分和,n2,n3,n4,逼近 f (x) 的情况见右图.,n5,例5. 将周期函数,展成傅里叶级数, 其,中E 为正常数 .,解:,是周期为2 的,周期偶函数 , 因此,2. 在0,上的函数展成正弦级数与余弦级数,周期延拓 F (x),f (x) 在 0 , 上展成,周期延拓 F (x),余弦级数,奇延拓,偶延拓,正弦级数,f (x) 在 0 , 上展成,例6. 将函数,分别展成正弦级,数与余弦级数 .,解: 先求正弦级数.,去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,注意:,在端点 x = 0, , 级数的和为0 ,与给定函数,因此得,f (x) = x + 1 的值不同 .,
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 2024年宏观半年度策略报告:发展为矛安全为盾
- 2024年防霉抗菌剂项目创业投资方案
- 2024年安徽省淮北、宿州市物理高一第二学期期末复习检测试题含解析
- 2024年清洗保养品项目调研分析报告
- 2024届浙江省丽水学院附属高级中学物理高一第二学期期末学业水平测试试题含解析
- 2024年物位仪行业商业计划书
- 2024年炮塔式铣床项目经营分析报告
- 2024届云南省曲靖市宣威市民族中学物理高一第二学期期末经典模拟试题含解析
- 2024届绥化市重点中学物理高一下期末考试模拟试题含解析
- 2024年营林及木竹采伐机械项目调研分析报告
- 农历和阳历对照表格万年历.xlsx
- xx工程各项工作危害分析(JHA)记录表
- 汇总小学语文五六年级日积月累
- 给教师的建议案例分析
- 外墙外保温施工方案(岩棉铝箔纸)(完整版)
- 《会计计量原理》PPT课件.ppt
- 中心静脉压的测定
- 电器及PLC控制技术ppt课件
- 主动防护网施工技术交底
- 土木工程开题报告.ppt
- GB3521-2008-T 石墨化学分析方法
评论
0/150
提交评论