《方程概论》PPT课件.ppt

数学物理方程,Equations of Mathematical Physics,前言,典型的二阶线性偏微分方程有三种： 波动方程； 热传导方程； 位势方程。,完整地处理数学物理方程包括三个方面的内容：,将物理问题转化为数学上的定解问题； 求解定解问题； 对得到的解作出物理解释。,波动方程的解法,行波法 适用于无界波动方程的初值(Cauchy)问题# ； 分离变量法（涉及固有值问题和特殊函数） 适用于有界波动方程的初值边值问题； 傅氏变换法 适用于无界波动方程的初值(Cauchy)问题； 拉氏变换法 适用于半无界波动方程的初值边值问题； 基本解方法 适用于无界波动方程的初值(Cauchy)问题。,热传导方程的解法,分离变量法 适用于有界热传导方程的初值边值问题； 傅氏变换法 适用于无界热传导方程的初值(Cauchy)问题； 拉氏变换法 适用于半无界热传导方程的初值边值问题； 基本解方法 适用于无界热传导方程的初值(Cauchy)问题；,位势方程的解法,分离变量法 适用于有界位势方程的边值问题； 傅氏变换法 适用于半无界高维位势方程的边值问题； 格林函数法 适用于某些规则区域位势方程的边值问题。,学时安排,方程概论 (6学时) 分离变量 (4学时) 特殊函数 (8学时) 积分变换 (4学时) 格林函数 (6学时) 数值计算 (8学时),介绍性专题 (4学时),数值解法,第六章讨论数理方程的数值解法。 在第一节，给出了固有值问题和特殊函数的计算方法； 在第二节研究了一维抛物线型方程的计算方法； 第三节讨论了二维的椭圆型方程、抛物线型方程以及双曲线型方程的计算方法，包括前处理和后处理问题。,单位圆域内调和方程边值问题,带孔矩形板热传导方程初边值问题,圆形薄膜震动问题 初始位移 u = J0(01r),零阶贝塞尔函数J0(x),第一章 方程概论 1.1 基本概念,偏微分方程一般形式中包含多元未知函数u(x1,x2, ,xn)及其若干阶偏导数,偏微分方程中可以不含未知函数u，但必须含有未知函数u的偏导数。,(1),举例,线性偏微分方程,未知函数u及各阶偏导数项都是一次的，系数仅依赖于自变量，则方程称之为线性偏微分方程。,非线性偏微分方程,否则称之为非线性偏微分方程。,拟线性偏微分方程,在非线性偏微分方程中，如果关于未知函数的最高阶偏导数是线性的，则称之为拟线性偏微分方程。,偏微分方程的阶数,偏微分方程的阶数等于未知函数的最高偏导数的阶数。,1.2 经典方程的导出,导出经典方程的方法有两种： 守恒方程 变分原理 本节利用第一种方法导出三种经典方程。,波动方程,杆的纵向振动方程可由杆的力学基本方程导出。对于均匀直杆，有,纵向运动方程,物理方程,几何方程,此式称为杆的纵向振动方程。,依次将物理方程和几何方程代入运动方程，可得,记,则有,弦的力学基本方程为,纵向运动方程,横向运动方程,此式称为弦的横向振动方程。,弦的张力T为常数，横向运动方程可写成,记,则有,在连续介质的热传导问题中，基本的物理定律有两个：热传导定律和能量守恒定律。 对于各向同性物体的热传导问题，根据热传导定律可知，热量由温度高处流向温度低处，单位时间内通过单位面积的热流密度向量与温度的负梯度成正比,或,其中 q 为热流密度向量， k 为热传导率，u 为温度。,热传导方程和扩散方程,考虑任意闭合曲面所围物质体V，利用能量守恒定律可得,其中 c , 分别为物体比热和密度，等式左端项代表物质体总热量的变化率, 右端第一项代表单位时间内热源产生的总热量，第二项代表单位时间内通过物质体表面的总热量，流入物体内部为正，流出为负。,对于固体，上式的微分形式可写成,对于流体，热传导方程的微分形式可写成,其中vi为流体速度。,设水源中的污染物的浓度为c, 将污染物的浓度扩散问题与流体的热传导问题相类比，可得污染物的浓度的偏微分方程,其中vi为水源的流速；Di为污染物的扩散速率；Q为污染源。,泊松方程,利用静电场的电位问题导出泊松方程。,根据静电学中的电通量方程，有,其中E为电场强度，为电荷密度。利用电场强度与电位的关系，E = -u，方程可写成,关于方程左边,利用高斯公式，曲面积分可写成三维区域积分,由积分区域V 的任意性，最终导出,电位所满足的三维泊松方程。,若电荷密度为零，则得到,电位所满足的三维拉普拉斯方程。,1.3 定解条件与定解问题,前面导出了一些典型偏微分方程。本节讨论与之相关的问题。首先什么是偏微分方程的解？,1.3.1 通解和特解,如果函数 u 及其导数能够满足偏微分方程，则称函数 u 为该方程的解。,例 1 方程通解,求解二阶偏微分方程,。,设,化为,解,则原方程,将 v 看作 t 的函数，x 作为参数。,解得,两边对 x 积分得,其中 h(x),g(t) 是两个任意一次可微函数。,此二阶偏微分方程的解，代表解的函数空间（因含两个任意函数），范围很大，称之为通解； 若能确定通解中的任意函数，通解就变为了特解，特解中不含任意函数或任意常数； 仅有少数简单的偏微分方程可以通过类似常微分的方法得到通解，如本例。一般而言，偏微分方程的通解很复杂、也很难得到。,例 2 方程特解,试证明除点(x0,y0)外，函数,满足二维Laplace方程,其中Laplace算子为标量算子,。,设,证得,可得,同理,证明,1.3.2 定解条件,由物理定律导出的偏微分方程称之为泛定方程，这是 因为，要确定完全一个真实物理问题还需附加一些定解条件。定解条件又分为初始条件和边界条件两种。,初始条件,初始条件又称为Cauchy条件。 初始条件与微分方程中所含对时间偏导的最高阶数相联系。,初始位移 初始速度,波动方程含有对时间的二阶偏导数，初始条件包含,热传导方程含有对时间的一阶偏导数，初始条件是指,初始温度,在位势方程中，未知函数与时间无关，所以没有初始条件。,边界条件,边界条件与微分方程中所含对坐标偏导的最高阶数相联系。 典型方程中含有对坐标的二阶偏导数，边界条件可分为三种类型：,第一类边界条件(Dirichlet条件) 第一类边界条件是给出未知函数u在边界S上的取值，其一般形式为,其中f1为已知函数。,其中f2为已知函数。,第三类边界条件(Robin条件) 第三类边界条件可以看作是前两种边界条件的线性组合，其一般形式为,其中是常数，f3为已知函数。,第二类边界条件(Neumenn条件) 第二类边界条件是给出未知函数u沿边界S的单位法线方向n的方向导数值，其一般形式为,1.3.3 定解问题,偏微分方程加上相应的定解条件所构成的问题，称为定解问题。根据定解条件的不同对定解问题进行分类。,初值问题,由泛定方程和初始条件组成的定解问题称为初值问题(Cauchy问题) 。例如：,一维齐次波动方程的初值问题,一维无界杆热传导方程的初值问题,泛定方程与边界条件构成的定解问题称为边值问题。位势方程的边值问题可分为三种。 第一边值问题 位势方程与第一类边界条件组成的定解问题成为第一边值问题，也称为Dirichlet问题。例如,三维泊松方程第一边值问题#,边值问题, 第二边值问题 位势方程与第二类边界条件组成的定解问题成为第二边值问题，也称为Neumenn问题。例如,三维泊松方程第二边值问题, 第三边值问题 位势方程与第三边界条件组成的定解问题成为第三边值问题，也称为Robin问题。例如,三维泊松方程第三边值问题,既有初值条件又有边界条件的定解问题称为称为初值边值问题或混合问题，如,有界弦自由振动初值边值问题,初值边值问题,1.3.4 适定性概念,判断一个定解问题是否合理，是否能够描述一个给定的物理状态，一般有三个标准： 解的存在性 所给的定解问题有解； 解的唯一性 所给的定解问题只有一个解； 解的稳定性 当定解条件以及方程中的系数有微小变动时，相应的解也只有微小变动。解的稳定性也称为解关于参数的连续依赖性。 如果定解问题的解存在、唯一且稳定，就称这个定解问题是适定的。,1.4 含有两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类 1.4.1 方程的分类,双自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式为,其中u(x,y)是未知函数，a11,a12,a22,b1,b2,c,f 都是x,y的已知函数，并且具有足够的连续性和可微性，且a11,a12,a22不同时零。,方程的一般形式,双自变量的二阶线性偏微分方程的分类。,定义判别式,根据在某点(x0,y0)处，系数判别式符号的三种可能，将二阶线性偏微分方程分成三类：,双曲型方程 0 抛物型方程 = 0 椭圆型方程 0,1.4.2 方程的标准形式,双曲型方程的第一标准型,和第二标准型,抛物型方程的标准型,或,椭圆型方程的标准型,1.4.3 方程的简化,偏微分方程的简化就是将其标准化。按下述步骤可将双自变量的二阶线性偏微分方程标准化。,第一步 根据判别式确定方程类型。,当判别式不等于零时，此方程可分解为两个特征线方程,第二步 根据方程中系数写出如下特征方程,积分后可得两个特征线方程的隐式通解（两族特征线）,取变量代换,第三步 (1) 当0时，以,为新变量可得双曲型方程第一标准形式,原微分方程可化为椭圆型方程的标准形式,(2) 当0时，,为共轭复变量，如是选取实变量,(3) 当=0时，只有一个特征线方程,由此可得一族实特征线,如是选取独立的实变量 ，,原偏微分方程可化为抛物型方程的标准形式,例3 特里科米方程标准形式,试将空气动力学中的特里科米 (Tricomi) 方程,化为标准形。,解,首先计算判别式 =-y。显然方程的类型由 y 值来决定。,其次列出特征方程,(1) 当=-y 0时，方程为双曲型方程，将特征方程,积分后得两族特征线,取新变量,为,分解为两个特征线方程,计算可得,详细地计算函数的微分：,方程化为双曲型方程第一标准形式,即,微分计算的结果及原方程：,(2) 当=-y 0时，方程为椭圆型方程。,积分后得两族特征线,特征方程,可分解为两个特征线方程,方程 化为标准形式,取新变量,为,计算可得,(3) 当=-y =0时，方程为抛物型方程,结论：在 x_y 平面上特里科米 (Tricomi) 方程是混合型方程。,双曲,椭圆,x,例4 方程标准形式和通解,求方程,的标准形式和通解。,解,其次，将特征方程,分解为,首先计算判别式,方程为双曲方程。,得到双曲型方程第一标准形式,取变换,计算偏导数并代入原方程,即,设,原方程化为,解得,将v对积分,代回原变量,其中H,G 为任意二次可微函数，至此求得方程的通解。,1.5 波动方程的行波法 1.5.1 一维波动方程的初值问题,一维波动方程的解可表示成左行波和右行波的叠加，用此方法求解定解问题，称为行波法，又称为达朗贝尔法，其过程是： 首先将方程化为双曲方程的第一类标准型，求出方程的通解，再由初始条件确定通解中的任意函数。,达朗贝尔公式,一维齐次波动方程初值问题可表示为,首先，写出特征方程并进行分解,取变换,波动方程化成第一标准型,积分可得,回代原自变量得方程通解,其中F,G 为任意二次可微函数。,F为左行波，G为右行波；以G为例， 若波G(x)的前锋位于坐标原点，则有 x = at，其前锋必向右移动。,积分,解代数方程组,可确定两个任意函数的表达形式,其次，利用初始条件列出任意函数应满足的条件,这就是著名的达朗贝尔公式，其中,分别为二次和一次可微函数，时间范围 t 取有限值。,此公式满足波动方程及初始条件，公式中不含任何待定函数或常数，解函数连续地完全依赖初始条件，所以解函数是存在的、唯一的、稳定的，故一维齐次波动方程的初值问题的解是适定的。,还原自变量后，将函数表达式代入方程通解,1.5.2 反射波法,所谓反射法就是将无界振动问题的结果应用于半无界等问题，此法也称为对称延拓法。本小节研究半无界弦振动问题的初值端值问题，并根据端点的不同情况，分别加以讨论。,端点固定 端点自由,端点约束条件：,端点固定,半无界弦振动方程的初值端值问题,(A),为了利用前面无界问题的公式，设计一个右半端保持原状态的无界问题，使其初始条件反对称于坐标原点。,f( x ) = - f( -x ),(B),在反射区（x0, x-at0），利用达朗贝尔公式可得,物理意义,初始条件的左行波,端点反射的右行波,在反射区 (x0,x-at0 )内,验证端点固定的条件。当 x=0 时，由上述公式有,满足端点固定条件，即初始条件决定的左行波与端点反射的右行波的作用在此抵消。,考虑区域（ x-at 0 ），由达朗贝尔公式可得,公式表明，解析解不受端点反射波的影响。,端点自由,半无界弦振动问题的初值问题,(A),为了利用无界问题的研究结果，设计一个右半端保持原状态的无界问题，使其初始条件对称于坐标原点。,f( x ) = f( -x ),(B),在反射区（ x0，x-at0 ），由达朗贝尔公式可得,验证端点自由的条件。 计算上述公式的梯度,满足端点自由的条件。,当 x=0 时,在区域（ x-at0）内，由达朗贝尔公式可得,公式表明，方程的解不受端点反射波的影响。,1.6 叠加原理和齐次化原理,在线性的物理方程和线性的定解条件中，非齐次项的作用类似于力的叠加，全部非齐次项作用的结果等于每个非齐次项单独作用结果的总和，因此解析解的结构也是线性的。,1.6.1 叠加原理,考虑二阶线性偏微分方程,其中aij,bi,c,f是自变量x1,x2, ,xn的连续函数，且方程的定解条件也是线性的，则关于微分方程的解有如下叠加原理：,满足原方程,则它们的任意线性组合,设基函数un满足方程,当 m 趋于无穷时，要求级数,都收敛，且级数解 u 可逐项求导两次，则 u 满足原方程,思考,如何考虑定解条件?,例 5,根据叠加原理，可以将一个较为复杂的线性问题等价地分解成若干个简