《哈密顿原理的推导》PPT课件.ppt

3. Hamilton原理 (1) 变分的概念 微分：设有一连续函数q=q(t)，其中t为自变 量，q为因变量； 当t有微增量dt时，引起函数的微增量dq，称 为该函数的微分， 且： 或:,变分：假设自变量t不变，改变函数q=q(t)的 形式，得到一个与原函数稍有差别的新函数 式中： 是一个微小系数， 是t的任意连续函数。 则： 对于自变量的某一指定值，函数 q=q(t) 由于它的形式的微小改变而得到的改变量，称 为该函数的变分。 从图中可看出， 实际上代表了虚位移。,(2) 变分与微分的区别 变分：自变量不变，仅由于函数本身形式 的微小改变而得到的函数的改变； 微分：由于自变量的 微增量而引起 的函数的微增 量。,(3) 变分的运算性质： (a) 任一连续函数 q=q(t)的变分与微分可以 交换：即 (b) 在积分的上、下限不变的条件下，函数对 自变量的积分的变分，等于该函数的变分对该自 变量的积分。 即： 如果在函数 q=q(t)中的自变量t是时间，则该 函数的变分称为等时变分。,(2) Hamilton原理： 作用：提出了质点系的真实运动与在质点系真实 运动邻近，且为约束所能允许的可能运动 的区分准则。 研究对象：具有k个自由度的理想、完整约 束下的质点系的运动 广义坐标：q1，q2，qk 质点系的位置： 1) 若在平面上运动的质点，其坐标可选x,y， 若再考虑时间，则有3个坐标，,2) 一般地，用由q和t组成的(k+1)维空间内的 一点的运动表示，若在某一瞬时t，q1，q2， qk均有确定的值，则可在(k+1)维空间中找到 一个点，该点表示一质点在t时的位置, 质点系的可能运动： 质点系在真实运动邻近为约束所允许的任意一个 可能运动，用 表示。 称为质点系的可能 路径，或旁路(弯路)。 运动始末位置上， 正路和弯路的位置相同 (显然，可能运动的曲 线有无数条)。,b)哈密顿原理的推导： 非定常约束的概念： 即约束可随 t 变化，是 t 的函数 一、拉格朗日方程 以广义坐标表示的动力学普遍方程,设有一理想、完整约束的非自由质点系，具 有k个自由度，用k个广义坐标q1，q2，qk表示 质点系的位置，作一直角坐标系oxyz，用矢径 ri(xi,yi,zi) 表示质点系 中任一质点Mi的位置， 显然，如果约束是非 定常的，则矢径ri是 广义坐标和时间的矢 量函数：,n为质点的数目，为了将质点系中质点Mi 的 虚位移ri表示为广义坐标的变分 ， 求(1)式的变分：,(1),将其展开后得： (2) (2)式中第一项表示主动力系在质点系虚位移中的 元功的和，可以写为广义坐标的形式为： (3) (3)式中，Qj为对应于广义坐标qj的广义力。,已知动力学普遍方程为：,(2)式中左边第二项表示惯性力系在质点系虚位移 中元功的和，将(1)式代入(2)式中的左边第二项得： (4),为简化(4)式括号中的式子，可将其改写为：,(5),为推导拉氏方程，先证明 与 之间 的两个关系式: (1) (6) 称为广义速度，为广义坐标对时间的变化率， 因 和 仅是广义坐标和时间的函数，与广义 速度 无关，,将(6)式对广义速度 求偏导数，可得 关系式： (7),(6),将(6)式对任一广义坐标q求偏导数得：,(6),另一方面，直接由矢径 对某一广义坐 标 求偏导数后，再对时间t求导数，得： 由此，可得另外一个关系式： (8),将(7)式和(8)式代入(5)式中得：,(7),(8),(5),将此结果代回式(4)，并引入质点系动能,得:,(9),(4),将此结果代入(2)式中得： (10a) 当主动力有势力时： 代入(10a) 式中得：,(2),(3),引入拉格朗日函数L=T-V(质点系动能与势能之差，称为动势)，则上式可表示为： (11a),广义力： 代入(11a)式中，而拉格朗日 函数L=T-V(质点系的动能与势能之差又称为动势) (11a)式又可以写为： (11b) 将(11b)式乘以dt，并从t1到t2作定积分，有： (12),因为： (13) 故(12)式中第一项为 (14),(12),代入(12)式中得： (15) 或： (16) 拉格朗日函数 ， 所以L的一阶变分为： (17),代入(16)式，并将等式的左端进行积分后得： (18) 根据题设，在t1和t2时刻，系统的真实运动 曲线与可能运动曲线都分别通过A点和B点， 即： ，因此,所以(18)式成为了： (19) 改变积分和变分的次序，有： (20) 令积分： ，并称S为哈密顿作用量， 即： (21) (20)和(21)式称为哈密顿原理的数学表达式。,哈密顿原理可表叙述为： 具有完整的理想约束保守系统，在该时间 间隔内具有相同的始终位置的可能运动相比， 对于真实运动哈密顿作用量有极值。 即：对于真实运动，哈密顿作用量的变分 等于0。,式 (20) 和(21) 仅仅适用于保守系统，将 L=T-V 代入该式则得： 对于非保守系统：式(20)或(21)中还应包括 作用于体系上的非保守力( 包括阻尼力及任一外 荷)所作的功，即： ( 为由非保守力决定的广义力), 该方法与虚功方法的(不同)区别 应用哈密顿原理推导体系的运动方程， 不明显使用惯性力和弹性力，而分别被动 能和位能的变分项所代替。 优点：它只与纯粹的标量能量有关 虚功法中：功本身