《树与二叉树》PPT课件.ppt

1,数据结构课程的内容,2,第6章 树和二叉树（ Tree & Binary Tree ）,6.1 树的基本概念 6.2 二叉树 6.3 遍历二叉树和线索二叉树 6.4 树和森林 6.5 赫夫曼树及其应用,特点：非线性结构，一个直接前驱，但可能有多个直接后继（1：n）,3,6.1 树的基本概念,1. 树的定义 2 若干术语 3. 逻辑结构 4. 存储结构 5. 树的运算,4,1. 树的定义,注1：过去许多书籍中都定义树为n1，曾经有“空树不是树”的说法，但现在树的定义已修改。 注2：树的定义具有递归性，即树中还有树。,由一个或多个(n0)结点组成的有限集合T，有且仅有一个结点称为根（root），当n1时，其余的结点分为m(m0)个互不相交的有限集合T1,T2，Tm。每个集合本身又是棵树，被称作这个根的子树 。,5,树的表示法有几种：,图形表示法 嵌套集合表示法 广义表表示法 目录表示法 左孩子右兄弟表示法,这些表示法的示意图参见教材P120,树的抽象数据类型定义参见教材P118-119,6,图形表示法：,河南大学,叶子,根,子树,7,广义表表示法,( A ( B ( E ( K, L ), F ), C ( G ), D ( H ( M ), I, J ) ) 根作为由子树森林组成的表的名字写在表的左边,麻烦问题：应当开设多少个链域?,8,左孩子右兄弟表示法,( A ( B ( E ( K, L ), F ), C ( G ), D ( H ( M ), I, J ) ) ),9,树的抽象数据类型定义,（见教材P118-119）,ADT Tree 数据对象D: 数据关系R: 基本操作 P： ADT Tree,若D为空集，则称为空树；/允许n=0 若D中仅含一个数据元素，则R为空集； 其他情况下的R存在二元关系： root 唯一 /关于根的说明 DjDk= /关于子树不相交的说明 /关于数据元素的说明,D是具有相同特性的数据元素的集合。,/至少有15个,10,2. 若干术语,即上层的那个结点(直接前驱) 即下层结点的子树的根(直接后继) 同一双亲下的同层结点（孩子之间互称兄弟） 即双亲位于同一层的结点（但并非同一双亲） 即从根到该结点所经分支的所有结点 即该结点下层子树中的任一结点,根 叶子 森林 有序树 无序树,即根结点(没有前驱) 即终端结点(没有后继) 指m棵不相交的树的集合(例如删除A后的子树个数),双亲 孩子 兄弟 堂兄弟 祖先 子孙,结点各子树从左至右有序，不能互换（左为第一） 结点各子树可互换位置。,11,2. 若干术语（续）,即树的数据元素 结点挂接的子树数（有几个直接后继就是几度，亦称“次数”）,结点 结点的度 结点的层次 终端结点 分支结点,树的度 树的深度 (或高度),从根到该结点的层数（根结点算第一层） 即度为0的结点，即叶子 即度不为0的结点（也称为内部结点）,所有结点度中的最大值（Max各结点的度） 指所有结点中最大的层数（Max各结点的层次）,问：右上图中的结点数 ；树的度 ；树的深度,13,3,4,12,3. 树的逻辑结构,(特点)： 一对多（1:n），有多个直接后继（如家谱树、目录树等等），但只有一个根结点，且子树之间互不相交。,4. 树的存储结构,讨论1：树是非线性结构，该怎样存储？ 仍然有顺序存储、链式存储等方式。,13,讨论3：树的链式存储方案应该怎样制定？,可规定为：从上至下、从左至右将树的结点依次存入内存。 重大缺陷：复原困难（不能唯一复原就没有实用价值）。,讨论2：树的顺序存储方案应该怎样制定？,可用多重链表：一个前趋指针，n个后继指针。 细节问题：树中结点的结构类型样式该如何设计？ 即应该设计成“等长”还是“不等长”？ 缺点：等长结构太浪费（每个结点的度不一定相同）； 不等长结构太复杂（要定义好多种结构类型）。,解决思路：先研究最简单、最有规律的树，然后设法把一般的树转化为简单树。,二叉树,14,5. 树的运算,要明确： 1. 普通树（即多叉树）若不转化为二叉树，则运算很难实现。 2. 二叉树的运算仍然是插入、删除、修改、查找、排序等，但这些操作必须建立在对树结点能够“遍历”的基础上！ （遍历指每个结点都被访问且仅访问一次，不遗漏不重复）。,本章重点：二叉树的表示和实现,15,6.2 二叉树,为何要重点研究每结点最多只有两个 “叉” 的树？ 二叉树的结构最简单，规律性最强； 可以证明，所有树都能转为唯一对应的二叉树，不失一般性。,1. 二叉树的定义 2. 二叉树的性质 3. 二叉树的存储结构,（二叉树的运算见6.3节）,16,1. 二叉树的定义,定义：是n（n0）个结点的有限集合，由一个根结点以及两棵互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树组成 。 逻辑结构： 一对二（1：2） 基本特征: 每个结点最多只有两棵子树（不存在度大于2的结点）； 左子树和右子树次序不能颠倒（有序树）。 基本形态：,问：具有3个结点的二叉树可能有几种不同形态？普通树呢？,5种/2种,17,二叉树的抽象数据类型定义（见教材P121-122）,ADT BinaryTree 数据对象D: 数据关系R: 基本操作 P： ADT BinaryTree,若D=，则R= ； 若D，则R= H；存在二元关系： root 唯一 /关于根的说明 DjDk= /关于子树不相交的说明 /关于数据元素的说明 /关于左子树和右子树的说明,D是具有相同特性的数据元素的集合。,/至少有20个,18,2. 二叉树的性质 (3+2),讨论1：第i层的结点数至多是多少？ （利用二进制性质可轻松求出）,性质1: 在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点（i0）。,性质2: 深度为k的二叉树至多有2k-1个结点（k0）。,2i-1个,提问：第i层上至少有 个结点？,1,讨论2：深度为k的二叉树，至多有多少个结点？ （利用二进制性质可轻松求出）,2k-1,提问：深度为k时至少有 个结点？,k,19,讨论3：二叉树的叶子数和度为2的结点数之间有关系吗？,性质3: 对于任何一棵二叉树，若2度的结点数有n2个，则叶子数（n0）必定为n21 （即n0=n2+1）,证明： 二叉树中全部结点数nn0+n1+n2(叶子数1度结点数2度结点数) 又二叉树中全部结点数nB+1 ( 总分支数根结点 ) （除根结点外，每个结点必有一个直接前趋，即一个分支） 而 总分支数B= n1+2n2 (1度结点必有1个直接后继，2度结点必有2个) 三式联立可得： n0+n1+n2= n1+2n2 +1, 即n0=n2+1 实际意义：叶子数2度结点数1,20,对于两种特殊形式的二叉树（满二叉树和完全二叉树），还特别具备以下2个性质：,性质4: 具有n个结点的完全二叉树的深度必为log2n1,性质5: 对完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为i 的结点，其左孩子编号必为2i，其右孩子编号必为2i1；其双亲的编号必为i/2（i1 时为根,除外）。,证明：根据性质2，深度为k的二叉树最多只有2k-1个结点，且完全二叉树的定义是与同深度的满二叉树前面编号相同，即它的总结点数n位于k层和k-1层满二叉树容量之间，即 2k-1-1n2k-1 或2k-1n2k 三边同时取对数，于是有：k-1log2nk 因为k是整数，所以k=log2n+1,可根据归纳法证明。,21,满二叉树：一棵深度为k 且有2k -1个结点的二叉树。 （特点：每层都“充满”了结点）,完全二叉树：深度为k 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k 的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应。,为何要研究这两种特殊形式？ 因为它们在顺序存储方式下可以复原！,完全二叉树的特点就是，只有最后一层叶子不满，且全部集中在左边。 这其实是顺序二叉树的含义。在图论概念中的“完全二叉树”是指n1=0的情况。,22,3. 深度为9的二叉树中至少有 个结点。 )9 )8 ) )91,2.深度为k 的二叉树的结点总数，最多为 个。 )k-1 ) log2k ) k )k,课堂练习： 1. 树中各结点的度的最大值称为树的 。 ) 高度 ) 层次 ) 深度 ) 度,23,课堂讨论：,Q1：满二叉树和完全二叉树有什么区别？ A1：满二叉树是叶子一个也不少的树，而完全二叉树虽然前n-1层是满的，但最底层却允许在右边缺少连续若干个结点。 满二叉树是完全二叉树的一个特例。,Q3: 设一棵完全二叉树具有1000个结点，则它有 个叶子结点，有 个度为2的结点，有 个结点只有非空左子树，有 个结点只有非空右子树。,489,488,1,0,Q2：为什么要研究满二叉树和完全二叉树这两种特殊形式？ A1：因为只有这两种形式可以实现顺序存储！,由于最后一层叶子数为489个，是奇数，说明有1个结点只有非空左子树；而完全二叉树中不可能出现非空右子树(0个)。,A3：易求出总层数和末层叶子数。总层数k=log2n1 =10; 且前9层总结点数为29-1=511 (完全二叉树的前k-1层肯定是满的) 所以末层叶子数为1000-511=489个。,24,请注意叶子结点总数末层叶子数！ 还应当加上第k-1层（靠右边）的0度结点个数。 分析：末层的489个叶子只占据了上层的245个结点（489/2 ) 上层（k=9)右边的0度结点数还有29-1-245=11个！,另一法：可先求2度结点数,再由此得到叶子总数。 首先，k-2层的28-1（255）个结点肯定都是2度的（完全二叉） 另外，末层叶子（刚才已求出为489）所对应的双亲也是度2， （共有489/2244个）。 所以，全部2度结点数为255(k-2层)244(k-1层)=499个； 总叶子数2度结点数1=500个。,第i层上的满结点数为2i-1,所以， 全部叶子数489(末层)11(k-1层)=500个。 度为2的结点叶子总数1=499个。,25,3. 二叉树的存储结构,一、顺序存储结构 按二叉树的结点“自上而下、从左至右”编号，用一组连续的存储单元存储。,A B C D E F G H I,问：顺序存储后能否复原成唯一对应的二叉树形状？ 答：若是完全/满二叉树则可以做到唯一复原。 而且有规律：下标值为i的双亲，其左孩子的下标值必为2i，其右孩子的下标值必为2i1（即性质5） 例如，对应2的两个孩子必为4和5,即B的左孩子必是D,右孩子必为E。,T0一般不用,26,讨论：不是完全二叉树怎么办？,答：一律转为完全二叉树！ 方法很简单，将各层空缺处统统补上“虚结点”，其内容为空。,A B C D E,缺点：浪费空间；插入、删除不便,27,二、链式存储结构 用二叉链表即可方便表示。,二叉树结点数据类型定义： typedef struct node *tree_pointer; typedef struct node int data; tree_pointer left_child, right_child; node;,一般从根结点开始存储。 （相应地，访问树中结点时也只能从根开始） 注：如果需要倒查某结点的双亲，可以再增加一个双亲域（直接前趋）指针，将二叉链表变成三叉链表。,28,例：,29,6.3 遍历二叉树和线索二叉树,一、遍历二叉树（Traversing Binary Tree）,遍历定义指按某条搜索路线遍访每个结点且不重复（又称周游）。 遍历用途它是树结构插入、删除、修改、查找和排序运算的前提，是二叉树一切运算的基础和核心。 遍历方法牢记一种约定，对每个结点的查看都是“先左后右” 。,30,遍历规则,二叉树由根、左子树、右子树构成，定义为D、 L、R D、 L、R的组合定义了六种可能的遍历方案： LDR, LRD, DLR, DRL, RDL, RLD 若限定先左后右，则有三种实现方案： DLR LDR LRD 先 (根)序遍历 中 (根)序遍历 后(根)序遍历 注：“先、中、后”的意思是指访问的结点D是先于子树出现还是后于子树出现。,31,例1：,先序遍历的结果是： 中序遍历的结果是： 后序遍历的结果是：,A B D E C D B E A C D E B C A,口诀： DLR先序遍历，即先根再左再右 LDR中序遍历，即先左再根再右 LRD后序遍历，即先左再右再根,32,先序遍历 + * * / A B C D E 前缀表示 中序遍历 A / B * C * D + E 中缀表示 后序遍历 A B / C * D * E + 后缀表示 层序遍历 + * E * D / C A B,例2：用二叉树表示算术表达式,33,遍历的算法实现：用递归形式格外简单！,回忆1：二叉树结点的数据类型定义： typedef struct node *tree_pointer; typedef struct node int data; tree_pointer left_child, right_child; node;,则三种遍历算法可写出:,回忆2：第1章自测卷4.2题：,long int fact(n) /求n! int n; long f; if(n1)f=n*fact(n-1); else f=1; return(f); ,34,先序遍历算法 DLR( liuyu *root ) if (root !=NULL) /非空二叉树 printf(“%d”,root-data); /访问D DLR(root-lchild); /递归遍历左子树 DLR(root-rchild); /递归遍历右子树 return(0); ,中序遍历算法 LDR(x*root) if(root !=NULL) LDR(root-lchild); printf(“%d”,root-data); LDR(root-rchild); return(0);,后序遍历算法 LRD (x*root) if(root !=NULL) LRD(root-lchild); LRD(root-rchild); printf(“%d”,root-data); return(0);,结点数据类型自定义 typedef struct liuyu int data; struct liuyu *lchild,*rchild； liuyu; liuyu *root;,35,对遍历的分析：,1. 从前面的三种遍历算法可以知道：如果将print语句抹去，从递归的角度看，这三种算法是完全相同的，或者说这三种遍历算法的访问路径是相同的，只是访问结点的时机不同。,从虚线的出发点到终点的路径 上，每个结点经过3次。,第1次经过时访问先序遍历 第2次经过时访问中序遍历 第3次经过时访问后序遍历,2. 二叉树遍历的时间效率和空间效率 时间效率:O(n) /每个结点只访问一次 空间效率:O(n) /栈占用的最大辅助空间 （精确值：树深为k的递归遍历需要k+1个辅助单元！）,36,例：【严题集6.42】编写递归算法，计算二叉树中叶子结点的数目。,思路：输出叶子结点比较简单，用任何一种遍历算法，凡是左右指针均空者，则为叶子，将其统计并打印出来。,DLR(liuyu *root) /采用中序遍历的递归算法 if ( root!=NULL ) /非空二叉树条件，还可写成if(root) if(!root-lchild ,37,注：要实现遍历运算必须先把二叉树存入机内。,思路：利用前序遍历来建树 （结点值陆续从键盘输入，用DLR为宜） Bintree createBTpre( ) Bintree T; char ch; scanf(“%c”,怎样建树？见教材P131程序。,38,习题讨论：,1. 求二叉树深度，或从x结点开始的子树深度。 算法思路：只查各结点后继链表指针，若左(右)孩子的左(右)指针非空，则层次数加1；否则函数返回。 技巧：递归时应当从叶子开始向上计数，层深者保留。否则不易确定层数。 2. 按层次输出二叉树中所有结点。 算法思路：既然要求从上到下，从左到右，则利用队列存放各子树结点的指针是个好办法，而不必拘泥于递归算法。 技巧：当根结点入队后，令其左、右孩子结点入队，而左孩子出队时又令它的左右孩子结点入队，由此便可产生按层次输出的效果。,39,3 中序遍历的非递归(迭代)算法,算法思路：若不用递归，则要实现二叉树遍历的“嵌套”规则，必用堆栈。可直接用while语句和push/pop操作。参见教材P130-131程序。 4.判别给定二叉树是否为完全二叉树（即顺序二叉树）。 算法思路：完全二叉树的特点是：没有左子树空而右子树单独存在的情况(前k-1层都是满的，且第k层左边也满）。 技巧:按层序遍历方式，先把所有结点（不管当前结点是否有左右孩子）都入队列.若为完全二叉树,则层序遍历时得到的肯定是一个连续的不包含空指针的序列.如果序列中出现了空指针，则说明不是完全二叉树。,40,特别讨论：若已知先序/后序遍历结果和中序遍历结果，能否“恢复”出二叉树？,【严题集6.31】 证明：由一棵二叉树的先序序列和中序序列可唯一确定这棵二叉树。,例：已知一棵二叉树的中序序列和后序序列分别是BDCEAFHG 和 DECBHGFA，请画出这棵二叉树。 分析： 由后序遍历特征，根结点必在后序序列尾部（即A）； 由中序遍历特征，根结点必在其中间，而且其左部必全部是左子树子孙（即BDCE），其右部必全部是右子树子孙（即FHG）； 继而，根据后序中的DECB子树可确定B为A的左孩子，根据HGF子串可确定F为A的右孩子；以此类推。,41,中序遍历：B D C E A F H G 后序遍历：D E C B H G F A,（B D C E）,（ F H G）,A,B,F,（D C E）,（ H G）,C,D E,G,H,A,B,B,F,F,42,问：用二叉链表法（l_child, r_child）存储包含n个结点的二叉树，结点的指针区域中会有多少个空指针？,分析：用二叉链表存储包含n个结点的二叉树，结点必有2n个链域（见二叉链表数据类型说明）。 除根结点外，二叉树中每一个结点有且仅有一个双亲（直接前驱），所以只会有n1个结点的链域存放指针，指向非空子女结点（即直接后继）。,思考：二叉链表空间效率这么低，能否利用这些空闲区存放有用的信息或线索？ 我们可以用它来存放当前结点的直接前驱和后继等线索，以加快查找速度。,所以， 空指针数目2n(n-1)=n+1个。,n+1,43,二、线索二叉树（Threaded Binary Tree）,普通二叉树只能找到结点的左右孩子信息，而该结点的直接前驱和直接后继只能在遍历过程中获得。 若将遍历后对应的有关前驱和后继预存起来，则从第一个结点开始就能很快“顺藤摸瓜”而遍历整个树了。,存放前驱指针,存放后继指针,如何预存这类信息？,例如中序遍历结果：B D C E A F H G，实际上已将二叉树转为线性排列，显然具有唯一前驱和唯一后继。,1. 定义 2. 生成 3. 遍历,利用空链域（n+1个空链域）,44,规定：,1）若结点有左子树，则lchild指向其左孩子； 否则， lchild指向其直接前驱(即线索)；,2）若结点有右子树，则rchild指向其右孩子； 否则， rchild指向其直接后继(即线索) 。,为区别两种不同情况，特增加两个标志域（各1bit),约定:,当Tag域为0时,表示正常情况;,当Tag域为1时,表示线索情况.,右孩子或后继,左孩子或前驱,LTag,RTag,45,附：有关线索二叉树的几个术语：,线索链表：用含Tag的结点样式所构成的二叉链表 线 索：指向结点前驱和后继的指针 线索二叉树：加上线索的二叉树 线 索 化：对二叉树以某种次序遍历使其变为线索二叉树的过程,讨论：增加了前驱和后继等线索有什么好处？ 能方便找出当前结点的前驱和后继，不用堆栈也能遍历整个树。,46,A,G,E,I,D,J,H,C,F,B,例：某先序遍历结果如下表所示，请画出对应的二叉树。,（多带了两个标志！）,47,2. 线索二叉树的生成,线索化过程就是在遍历过程中修改空指针的过程： 将空的lchild改为结点的直接前驱； 将空的rchild改为结点的直接后继。,非空指针呢？仍然指向孩子结点（称为“正常情况”）,48,悬空？,悬空？,解：该二叉树中序遍历结果为: H, D, I, B, E, A, F, C, G 所以添加线索应当按如下路径进行：,为避免悬空态，应增设一个头结点,例1：画出以下二叉树对应的中序线索二叉树。,49,注：此图中序遍历结果为: H, D, I, B, E, A, F, C, G,对应的中序线索二叉树存储结构如图所示：,50,例2：【 2000年计算机系考研题】给定如图所示二叉树T，请画出与其对应的中序线索二叉树。,解:因为中序遍历序列是：55 40 25 60 28 08 33 54 对应线索树应当按此规律连线，即在原二叉树中添加虚线。,51,线索二叉树的生成算法（算法6.6, 见教材P134）,目的：在依某种顺序遍历二叉树时修改空指针，添加前驱或后 继。,注解：为方便添加结点的前驱或后继，需要设置两个指针： p指针当前结点之指针； pre指针前驱结点之指针。,技巧：当结点p的左/右域为空时，只改写它的左域（装入前驱pre），而其右域（后继）留给下一结点来填写。 或者说，当前结点的指针p应当送到前驱结点的空右域中。,若p-lchildNULL,则p-Ltag=1;p-lchildpre; /p的前驱结点指针pre存入左空域 若pre-rchildNULL, 则pre-Rtag1;pre-rchild=p; /p存入其前驱结点pre的右空域,52,3. 线索二叉树的遍历,理论上，只要找到序列中的第一个结点，然后依次访问结点的后继直到后继为空时结束。,但是，在线索化二叉树中，并不是每个结点都能直接找到其后继的，当标志为0时，R_child=右孩子地址指针，并非后继！需要通过一定运算才能找到它的后继。,以中序线索二叉树为例： 对叶子结点（RTag=1），直接后继指针就在其rchild域内； 对其他结点（RTag=0），直接后继是其右子树最左下的结点； （因为中序遍历规则是LDR，先左再根再右）,53,程序注解 (非递归，且不用栈）： P=T-lchild; /从头结点进入到根结点； while( p!=T) while(p-LTag=link)p=p-lchild; /先找到中序遍历起点 if(!visit(p-data) return ERROR; /若起点值为空则出错告警 while(p-RTag=Thread ) p=p-rchild; Visit(p-data); /若有后继标志，则直接提取p-rchild中线索并访问后继结点； p=p-rchild; /当前结点右域不空或已经找好了后继，则一律从结点的右子树开始重复 的全部过程。 Return OK;,线索二叉树的中序遍历算法（算法6.5, 参见教材P134）,LTag=0,RTag=1,54,算法流程：,演 示 程 序,55,提前介绍：二叉树的应用,平衡树 排序树 字典树 判定树 带权树 最优树,特点：左右子树深度差 1 特点：“左小右大”（见实验二的方案1） 由字符串构成的二叉树排序树 例如，12个球只称3次分出轻重 特点：路径长度带权值 带权路径长度最短的树，又称 Huffman树，用途之一是通信中的压缩编码。,56,6.4 树和森林,1. 树和森林与二叉树的转换 2. 树和森林的存储方式 3. 树和森林的遍历,57,1. 树和森林与二叉树的转换,转换步骤： step1: 将树中同一结点的兄弟相连; step2: 保留结点的最左孩子连线，删除其它孩子连线； step3: 将同一孩子的连线绕左孩子旋转45度角。,加线,抹线,旋转,讨论1：树如何转为二叉树？,58,方法：加线抹线旋转,树转二叉树举例：,兄弟相连,长兄为父,孩子靠左,根结点肯定没有右孩子！,59,讨论2：二叉树怎样还原为树？,要点：把所有右孩子变为兄弟！,60,法一： 各森林先各自转为二叉树； 依次连到前一个二叉树的右子树上。,讨论3：森林如何转为二叉树？,法二：森林直接变兄弟，再转为二叉树,（参见教材P138图6.17，两种方法都有转换示意图）,61,森林转二叉树举例：（法二）,兄弟相连 长兄为父 孩子靠左 头根为根,A,62,讨论4：二叉树如何还原为森林？,要点：把最右边的子树变为森林，其余右子树变为兄弟,63,2. 树和森林的存储方式,树有三种常用存储方式： 双亲表示法 孩子表示法 孩子兄弟表示法,1、用双亲表示法来存储,思路：用一组连续空间来存储树的结点，同时在每个结点中附设一个指示器，指示其双亲结点在链表中的位置。,64,缺点：求结点的孩子时需要遍历整个结构。,-1,0,0,1,例1: 双亲表示法,65,思路：将每个结点的孩子排列起来，形成一个带表头（装父结点）的线性表（n个结点要设立n个链表）； 再将n个表头用数组存放起来，这样就形成一个混合结构。,例如：,2、用孩子表示法来存储,66,思路：用二叉链表来表示树，但链表中的两个指针域含义不同。 左指针指向该结点的第一个孩子； 右指针指向该结点的下一个兄弟结点。,3、用孩子兄弟表示法来存储,指向左孩子,指向右兄弟,67,问：树转二叉树的“连线抹线旋转” 如何由计算机自动实现？ 答：用“左孩子右兄弟”表示法来存储即可。 存储的过程就是转换的过程！,例如：,68,先序遍历 若森林为空，返回； 访问森林中第一棵树的根结点； 先序遍历第一棵树中根结点的子树森林； 先序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。 中序遍历 若森林为空，返回； 中序遍历森林中第一棵树的根结点的子树森林； 访问第一棵树的根结点； 中序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。,森林的遍历,69,路 径： 路径长度： 树的路径长度： 带权路径长度： 树的带权路径长度： 霍 夫 曼 树：,6.5 Huffman树及其应用,一、最优二叉树（霍夫曼树）,由一结点到另一结点间的分支所构成,路径上的分支数目,从树根到每一结点的路径长度之和。,结点到根的路径长度与结点上权的乘积,预备知识：若干术语,树中所有叶子结点的带权路径长度之和,带权路径长度最小的树。,ae的路径长度,树长度,2,10,70,Huffman树简介：,树的带权路径长度如何计算？,经典之例：,WPL=36,WPL=46,WPL= 35,哈夫曼树则是：WPL 最小的树。,Huffman树,Weighted Path Length,71,(1) 由给定的 n 个权值w0, w1, w2, , wn-1，构造具有 n 棵扩充二叉树的森林F = T0, T1, T2, , Tn-1 ，其中每一棵扩充二叉树 Ti 只有一个带有权值 wi 的根结点，其左、右子树均为空。 (2) 重复以下步骤, 直到 F 中仅剩下一棵树为止： 在 F 中选取两棵根结点的权值最小的扩充二叉树, 做为左、右子树构造一棵新的二叉树。置新的二叉树的根结点的权值为其左、右子树上根结点的权值之和。 在 F 中删去这两棵二叉树。 把新的二叉树加入 F。,构造霍夫曼树的基本思想：,构造Huffman树的步骤（即Huffman算法）：,权值大的结点用短路径，权值小的结点用长路径。,先举例！,72,例1：设有4个字符d,i,a,n，出现的频度分别为7,5,2, 4，怎样编码才能使它们组成的报文在网络中传得最快？,法1：等长编码。例如用二进制编码来实现。 取 d=00，i=01，a=10，n=11,怎样实现Huffman编码？,法2：不等长编码，例如用哈夫曼编码来实现。 取 d=0; i=10, a=110, n=111,最快的编码是哪个？,是非等长的Huffman码！,先要构造Huffman树！,73,操作要点1：对权值的合并、删除与替换 在权值集合7,5,2,4中，总是合并当前值最小的两个权,构造Huffman树的步骤：,注：方框表示外结点（叶子，字符对应的权值）， 圆框表示内结点（合并后的权值）。,74,操作要点2：按左0右1对Huffman树的所有分支编号！,Huffman编码结果：d=0, i=10, a=110, n=111 WPL=1bit72bit5+3bit(2+4)=35,特点：每一码都不是另一码的前缀，绝不会错译! 称为前缀码,将 Huffman树 与 Huffman编码 挂钩,75,例2（严题集6.26）：假设用于通信的电文仅由8个字母 a, b, c, d, e, f, g, h 构成，它们在电文中出现的概率分别为 0.07, 0.19, 0.02, 0.06,