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3.1.3空间向量的 数量积运算,一、复习引入,1.共线向量定理：,2.共线向量定理的推论： (1)若直线l过点A且与向量 平行，则 (2)三点P、A、B共线的充要条件有：,3.共面向量定理：,4.P、A、B、C四点共面充要条件：,平面向量的夹角：,平面向量的数量积的定义：,即,你能类比平面向量的数量积的有关概念、计算方法和运算律推导出空间向量的数量积的有关概念、计算方法和运算律？,一、两个向量的夹角,两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是(0,90,而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是0,180,二、两个向量的数量积,注:两个向量的数量积是数量，而不是向量. 规定:零向量与任意向量的数量积等于零.,B,A,1.数量积的几何意义,数量积ab等于a的模与b在a方向上的投影bcos的乘积，或等于 b的模与a在b方向上的投影acos的乘积，,不一定为锐角,不一定为钝角,(1)空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相同的性质. (2)性质(2)是用来判断两个向量是否垂直，性质(5)是用来求两个向量的夹角 (3)性质(3)是实数与向量之间转化的依据,四、空间向量数量积的运算律,与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律：,向量数量积的运算适合乘法结合律吗? 即(ab)c一定等于a(bc)吗?,例1 已知空间向量a，b满足|a|=4，|b|=8，a与b的夹角是150，计算：(1)(a+2b)(2a-b)；(2)|4a一2b|,例4 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。,已知：如图，PO,PA分别是平面的垂线，斜线,AO是PA在平面内的射影，,A,A,已知：如图，PO,PA分别是平面的垂线，斜线,AO是PA在平面内的射影，,分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析.,例5 如图，m,n是平面内的两条相交直线。如果lm,ln,求证：l,B,解：,2.已知在平行六面体 中， , , 求对角线 的长。,3 如图，已知线段 在平面 内，线段 ，线段 ，线段 ， ，如 果 ，求 、 之间的距离。,解：由 ，可知 . 由 知 .,在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，ACD=90，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求B，D间的距离,练习4,已知空间四边形OA
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