量子力学初步2011formath.ppt

第25 章 量子力学初步,25.1 波函数及其统计解释 25.2 不确定关系 25.3 薛定谔方程 25.4 一维定态问题 25.5 力学量的平均值与算符,2/55,25.1 波函数及其统计解释,一、粒子的波动性,在经典力学中，研究对象被明确地区分为粒子和波。,实物粒子：有一定的体积、质量和电荷,运动规律遵循牛顿定律。,能够集中、整体地交换能量和动量。,波动：,弥散于整个空间的扰动,其运动服从叠加原理，具有波动所特有的干涉、衍射等效应。,能够广延、连续地交换能量和动量。,（定域的）,（非定域的）,1. 介绍,在经典力学的框架下，波和粒子很难统一到一个客体上。,3/55,1905年，光量子假说 ：,1917年，光子动量假说 ：,光的波粒二象性,粒子性,波动性,（能量）,（频率）,（动量）,（波长）,两组力学通过h来联系,1923年，康普顿散射实验：证实光子粒子性,1.光(波)具有粒子性，实物粒子具有波动性吗?,问题：,2.若有，如何验证？,4/55,那么实物粒子也应具有波动性,1924年，德布罗意从自然界的对称性出发 认为:,既然光(波)具有粒子性,不仅光具有波粒二象性，而且一切实物粒子(静止质量m00的粒子）也具有波粒二象性。,2.德布罗意假设,德布罗意关系式,一个总能量为E（包括静能在内）,动量为 p 的实物粒子同时具有波动性, 且满足,粒子性,波动性,与实物粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波,德布罗意波长,5/55,质量 m = 0.001kg，速度 v = 300 m/s 的质点,电子,实验难以测量,宏观物体只表现出粒子性,玻尔的氢原子轨道,+,H,6/55,经爱因斯坦的推荐，物质波理论受到了关注，物理学家们纷纷做起了电子衍射实验。,论文答辩会上有人问: “这种波怎样用实验来证实呢？！”,德布罗意答： “用电子在晶体上的衍射实验可以证实。”,爱因斯坦对此论文高度评价为： “他揭开了自然界舞台上巨大帷幕的一角！”,实验证实了德布罗意的想法，为此他获得了1929年的诺贝尔物理学奖。,7/55,德布罗意指出：用电子在晶体上的衍射实验可以证明 物质波的存在,U=100V 时， = 0.123nm,电子的波长：,设加速电压为U （单位为伏特）,电子波波长与 X 射线相当,3.物质波的实验验证：电子衍射,8/55,当满足2d sin = k,（k = 1，2，3）时，,可观察到 I 的极大。,即当 ，2C, 3C时，,可观察到电流 I 的极大（即衍射极大）。,1) 戴维逊革末实验（1927年）,9/55,2) G.P.汤姆逊（1927年）,电子通过金多晶薄膜的衍射实验,3)琼森(Jonsson)实验（1961）,基本数据,先后验证：质子、中子和原子、分子等实物粒子都具有波动性，满足德布洛意关系。,10/55,例 m = 0.01kg，v = 300 m/s 的子弹,“宏观物体只表现出粒子性，并不是说没有波动性”,波长,波粒二象性是普遍的结论，宏观粒子也具有波动性,4.应用,电子波长比可见光波长小10-310-5数量级，可大大提高电子显微镜的分辨率。1932年，德国的鲁斯卡研制成功电子显微镜。,1) 电子显微镜,2) 扫描隧道显微镜,1981年，德国的宾尼希和瑞士的罗雷尔制成了扫描隧道显微镜，获1986年的诺贝尔物理学奖金。其横向分辨率可得0.1nm，纵向分辨率可得0.001nm。,11/55,物质波的波速 u 并不等于相应粒子的运动速度V，它们之间的关系是,而物质波,光波的波速等于光子的运动速度，两者都等于c。,光波,5.关于物质波的讨论,由粒子的动能求德布罗意波长,相对论情况,非相对论情况,12/55,二、对波粒二象性的理解,经典粒子,是某种实在物理量随时间和空间作周期性变化，满足叠加原理，可产生干涉、衍射等现象,具有确定的质量,其运动规律遵循牛顿定律。,经典波,给定初始条件，其位置、动量及运动轨迹等就具有确定的数值。,1.经典粒子和波,2.微观粒子波粒特性的错误理解, 电子看作是波包, 波是基本的,波包要扩散、消失，, 波是大量电子相互作用形成的, 粒子是基本的,单电子的双缝衍射实验：（1949前苏联 费格尔曼）,13/55,7个电子,100个电子,3000个,20000个,70000个,底片上出现一个个的点子,电子具有粒子性。,随着电子数目增多，逐渐形成衍射图样,“单个电子”的波动性，不是电子间相互作用的结果。, 来源于,14/55,粒子性：,指它与物质相互作用的“颗粒性”或“整体性”。,但不是经典的粒子！在空间以概率出现。 没有确定的轨道,应摒弃“轨道”的概念！,波动性,指它在空间传播有“可叠加性”，有“干涉”、 “衍射”、等现象。,但不是经典的波！因为它不代表实在物理量的 波动。,3.正确理解微观粒子的波粒二象性,15/55,你能看到的是老人还是情侣？,16/55,即电子既不是经典意义下的粒子， 也不是经典意义下的波。,但它既具有经典粒子的某种属性， 又具有经典波的某种属性。,波粒二象性只是对这两种属性的比喻， 电子就是电子本身！,电子到底是什么？,波和粒子都是宏观概念，当我们进入亚微观状态领域时，它们就变得不那么贴切了！,“电子既不是粒子，也不是波”,费曼：,17/55,三、波函数,怎样理解物质波? 到底谁在波动？,1.玻恩的统计诠释,1926年6月，玻恩（Born )认为：,量子力学基本原理之一：一个微观客体在时刻t的状态, 用波函数 (一般是复函数)完全描述。,代表 t时刻，在 点处单位体积中发现一个粒子的概率，称为概率密度。,18/55,2.自由粒子的波函数,自由粒子波函数,类比，沿+x传播的平面波：,可得, 沿+x方向运动的自由粒子波函数为：,通常写成：,在三维空间中运动的自由粒子波函数：, 空间波函数,19/55,3. 波函数遵从态叠加原理,如果 1，2 n 等，都是微观粒子体系的可能的状态，那么他们的线性叠加状态,也是体系的一个可能的状态。量子力学基本原理之二。,1）子弹穿过双缝,只开上缝 1，屏上概率分布 P1,只开下缝 2，屏上概率分布 P2,双缝 齐开，屏上概率分布 P12=P1+P2,20/55,2）电子双缝衍射,只开下缝,只开上缝,双缝齐开, 电子可通过上缝也可通过下缝,根据态叠加原理，其波函数为,电子波函数 ，在屏上概率分布为,电子波函数 ，在屏上概率分布为,电子在屏上出现的概率为,出现了干涉图样！,微观粒子是波函数的叠加，而不是概率的叠加。,21/55,3. 波函数的标准条件,2) 波函数的有限性,粒子在空间某处出现的概率不能无限大,1) 波函数的单值性,任意时刻粒子在空间出现的概率只可能是一个值,概率不能在某处发生突变,3) 波函数的连续性,波函数的归一性：,由波函数统计解释，在全空间各点的概率总和必须为1, 归一化条件,注意,波函数可以允许包含一个任意的常数因子,因为对于概率分布来讲，重要的是相对概率分布。,22/55,例：作一维运动的粒子被束缚在0xa的范围内，已知其波函数为,求：(1)常数A；(2)粒子在0到a/2区域内出现的概率； (3)粒子在何处出现的概率最大？,解：(1)由归一化条件,解得,(2)粒子的概率密度为,在0到a/2区域内出现的概率,(3)概率最大的位置应该满足,23/55,25.2 不确定关系,经典力学中，粒子所在力场的性质确定后，物体以后的运动位置就可确定。因此可用轨道来描述粒子的运动。 微观粒子，具有显著的波动性，我们不能用经典的方法来描述它的粒子性。,以电子束单缝衍射为例,只计中央明纹区, 角宽度,一、位置和动量的不确定关系,24/55,位置不确定量：,电子如何进入中央明纹区的？,考虑次级极大：,1927年, 海森伯提出位置和动量的不确定关系,一个微观粒子不能同时具有确定的坐标和动量,1932年 Nobel Prize,h 经典和量子的分水岭,25/55,说明：,1） 微观粒子运动过程中，其坐标的确定程度与该方向上动量分量的确定程度相互制约,26/55,设有一个速度为V，质量为m的粒子，其能量,考虑到E的增量：,能量与时间不确定关系式,即：,光谱研究证实了这一点,宽度越小的能级越稳定,二、能量与时间不确定关系,注意：不确定关系不是实验误差，不是由于理论不完善或仪器不准确引起的。,27/55,解 ： 子弹的动量,例 1 一颗质量为10 g 的子弹，具有 的速率 . 若其动量的不确定范围为动量的 则该子弹位置的不确定量范围为多大?,动量的不确定范围,位置的不确定量范围,例：氦氖激光器发光的波长632.8nm, 谱线宽度 , 求光子沿运动方向的位置不确定量 .,解：,28/55,24.3 薛定谔方程,一、问题的引入,量子力学基本原理之三：微观粒子体系的波函数满足薛定谔方程。,宏观物体：轨道(运动状态)，牛顿运动方 程，基于实验事实 微观粒子：波函数，状态随时间的变化 遵循的规律？ 1926年，薛定谔提出了薛定谔方程做为量子力学的又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律。,对于波，应该有一个波方程！,29/55,建立薛定谔方程的主要依据和思路：,要研究的微观客体具有波粒二象性，应该满足德布罗意关系式,对于一个能量为E，质量为m，动量为p的粒子非相对论能量为,若1是方程的解，则C1也是它的解；若波函数1与2是某粒子的可能态，则C11+C22也是该粒子的可能态。,波函数应遵从 线性方程,30/55,动量为p 、质量为m、能量为E的自由粒子， 沿 x 轴运动的波函数,二、含时薛定谔方程,31/55,讨论: 1 薛定谔方程是量子力学中的一项基本假设；,2 薛定谔方程是线性齐次微分方程，保证了态的线性叠加性在时间进程中保持不变。,3 薛定谔方程是关于时间的一阶偏微分方程； 由初始时刻波函数，可以确定以后任何时刻波函数,4 波动形式解要求在方程中必须有虚数因子 i，波函数是复函数.,5 只有动量确定的自由粒子才能用平面波描写,32/55,即U=U(x,y,z)，可以用分离变量法求解,定态：势函数不显含时间，几率分布不随时间变化,两边除以 ，可得：,三、定态薛定谔方程,定态薛定谔方程,解得,33/55,薛定谔方程的特解为,E 具有能量的量纲。与自由粒子波函数类比它代表粒子的能量。,讨论:,定义能量算符或哈密顿算符,3.讨论定态问题,就是要找,哈密顿算符的本征值方程,本征值(只有某些E值对应的解才是物理上可接受的), 本征函数。,2.当粒子处于本征函数 所描述的状态时，粒子的能量有确定值, 即本征函数的本征值.,4.含时间的薛定谔方程的一般解可以写成这些定态波函数的线性叠加,34/55,小结: 微观领域 进入一个崭新的世界 思想方法 不要企图用经典的概念、理论去解释 寻找与经典的差别,波粒二象性 波、粒子 矛盾 不确定关系 可同时精确测量,概率幅,概率幅遵从叠加原理 概率遵从叠加原理,量子力学基本原理 1. 2. 态叠加原理 3. 薛定谔方程,定态,四、薛定谔方程总结,35/55,25.4 一维定态问题,应用薛定谔方程的步骤 （1）确定势函数U 的形式,建立相应的S方程,（2）求解薛定谔方程 （3）根据问题的边界条件，波函数的归一化 条件和标准条件确定积分常数。 （4）计算密度分布、能级分布，讨论其物理 意义。,定态,36/55,一、一维无限深势阱,定态S方程,在阱内,通解,在阱外,波函数在x=0,a处连续,37/55,归一化条件,讨论：1)能量量子化,能量量子化是一切束缚粒子状态的特征,2)粒子所具有最小能量不为0,物质世界不可能有绝对静止状态,38/55,3),能级分布不均匀,E,0,4) 概率,驻波,随着能级增高概率相等,经典理论,与经典不同,39/55,二、线性谐振子,1. 何为谐振子,在经典力学中，当质量为 m 的粒子，受弹性力F = - kx作用，由牛顿第二定律写出运动方程为,其解为 x = Asin( t + )。这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子叫谐振子。,量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动的粒子。,若取U0 = 0，即平衡位置处于势 U = 0 点，则,40/55,2. 方程的建立,先看波函数 在 的渐进行为,很大时，,2,取,当 时，应有限,3. 求解,41/55,通解可写成,将()表达式代 入方程得u() 所满足的方程,u() 必须中断为有限项多项式，必要条件 =2n+1, n=0,1,2,-,- 厄米多项式,42/55,零点能(基态能量)为:,线性谐振子定态波函数为,4. 能量本征值,5. 能量本征函数,线性谐振子的波函数,位置概率密度分布,43/55,三、一维方势垒 隧道效应,问题：研究能量为E的粒子沿x 轴正向射向方垒,考虑EU情况,U0 0 ,经典：不能穿透势垒 量子：概率波 穿透？,44/55,各方程的解为,入射波+反射波,衰减,入射波 无反射波,定义粒子穿过势垒的贯穿系数：透射波的概率密度与入射波概率密度的比值。,粒子在总能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。,45/55,(2) 从经典力学的观点看,在势垒区，动能为负值，动量将为虚数,经典理论不允许，称隧道效应佯缪。,佯缪不存在：能量不能分离成动能和势能，(不确定原理) 经典理论不适用于微观现象。,(3)当EU 经典粒子一定越过势垒，量子力学有透射与反射,讨论(1),势垒穿透是一种微观现象,是粒子波动性的表现。,对电子U-E=1ev,对质子U-E=1ev,对电子U-E=1ev,46/55,四、隧道效应的应用,扫描隧道显微镜STM,Scanning tunneling microscopy,针尖非常尖锐,接近原子尺寸.针尖为一电极，固体表面为另一电极。当它们的距离小到纳米量级时，电子可以从一个电极通过隧道效应穿过势垒到到另一电极形成电流，电流大小取决针尖与表面的间距及表面的电子状态。,横向分辨率达到 0.1 nm, 纵向分辨率达到 0.001 nm 可以分辨出表面单个原子和原子台阶,原子结构,超晶格结构,表面缺陷细节,观测活体 DNA 基因,病毒.,神经细胞的STM扫描图,硅表面的STM扫描图,47/55,原子钟的频率标准是利用氨分子( N H3 ) 基态势垒贯穿的振荡频率。,氨分子是一个棱锥体，N原子在 其顶点上，H 原