麦克斯韦气体分子速率分布律(1).ppt

1,如果在一容器内有N个理想气体分子，其平均平动动能为,实际情况是，气体速率不完全相同。可以认为是从 0 之间的任意值。,问题1：是否说明容器内的气体具有相同的速率？,问题2：各个速率区间的气体分子数相等吗？,实验证明，容器内气体在各个速率区间的分子数是不同的，有的速率区间的分子数多些，有的少些。,问题3：容器内N个分子的速率分布有什么规律？,2,对某一分子，其任一时刻的速度具有偶然性，但大量分子从整体上会出现一些统计规律。,按统计假设，各种速率下的分子都存在，用某一速率区间内分子数占总分子数的百分比，表示分子按速率的分布规律。,一、速率分布函数,1.将速率从 0 分割成很多相等的速率区间。,1859年，麦克斯韦用概率论证明了在平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个规律叫麦克斯韦速度分布律，若不考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。,3,2.总分子数为N，在 vvv区间内的分子数为Nv,例如速率间隔取100m/s ，,101200m/s的分子数为Nv2出现的概率为,任一速率区间内分子出现的概率为,所取速率区间越小，对分布情况的描述也越精确。,1.将速率从 0 分割成很多相等的速率区间。,一、速率分布函数,0100m/s的分子数为Nv1出现的概率为,4,若要将气体分子按速率分布准确描述，则需要将速率区间尽可能取小，当v0时，即取dv为分子速率区间，其相应分子数为dNv。,这概率在各速率区间是不同的，它应是速率 v 的函数，并且与区间的大小dv成正比,其中 f(v) 称为分子的速率分布函数。,则任一速率区间（vvdv）间内的分子出现的概率为,5,分子的速率分布函数:,速率在 v 附近的单位速率区间内的分子数占分子总数的百分比。,或：在某一速率区间（vvdv）间内的分子出现的概率（概率密度）。,6,分子速率分布图,：分子总数,dNv 为速率在 v vdv 区间的分子数.,表示速率在v vdv 区间的分子数占总数的百分比 .,速率分布函数,7,T：气体热力学温度；,二、麦克斯韦速率分布规律,对于不同气体有不同的分布函数。1860麦克斯韦首先从理论上推导出理想气体的麦克斯韦速率分布函数。,m：一个气体分子的质量；,k：玻尔兹曼常量.,8,2.曲线下宽度为 dv 的小窄条面积就等于在该速率区间内分子出现的概率,3.在vvv速率区间内分子出现的概率,1. f(v)v曲线,讨论:,v0时， f(v)0,v时，f(v)0,9,4.在整个曲线下的面积为 1（ 归一化条件）。,分子在整个速率区间内出现的概率为 1(100%) 。,5.可以看出，按麦克斯韦速率分布函数确定的速率很小和速率很大的分子数都很少，且有一个速率分布概率极大值。,10,利用麦克斯韦速率分布率可计算最概然速率、方均根速率、平均速率等物理量。,1.最概然速率 vP,最概然速率也称最可几速率，表示在该速率下分子出现的概率最大。,将 f(v ) 对 v 求导，令一次导数为 0,三、三种统计速率,11,最概然速率,12,讨论：, vp与温度T 的关系,曲线的峰值右移，由于曲线下面积为1不变，所以峰值降低。,最概然速率,参考课本P197图7-9（N2气体的速率分布曲线）。,13,曲线的峰值左移,由于曲线下面积为1不变，所以峰值升高。, vp与分子质量m的关系,讨论：,最概然速率,14,由,和,最概然速率,有,即,讨论：,15,假设：速度为v1的分子有N1个，,速度为v2的分子有N2 个，,则平均速率为：,2.平均速率,三、三种统计速率,N0,16,代入麦克斯韦理想气体的速率分布函数：,设,则,2.平均速率,17,利用积分公式,得：,由,和,平均速率,18,3.方均根速率,三、三种统计速率,由,和,得：,19,4.三种速率的比较：,气体的三种速率都与 成正比，与 （或 ）成反比。,数值上， 最大； 次之； 最小。,20,4.三种速率的比较：,应用：最概然速率 表征了气体分子按速率分布的特征；平均速率 运用于气体分子的碰撞；方均根速率 用于计算分子的平均平动动能。,21,表示在速率v1v2速率区间内，分子出现的概率。,表示在速率v1 v2速率区间内，分子出现的个数。,表示在速率v附近，dv 速率区间内分子出现的概率。,表示在速率v附近，dv速率区间内分子的个数。,补充例题：试说明下列各式的物理意义。,22,麦克斯韦在 1860 年从理论上预言了理想气体的速率分布律。60 年后，也就是 1920 年斯特恩通过实验验证了这一规律，后来密勒和库将实验进一步完善。,麦克斯韦速率分布律的实验验证,23,通常，实际气体速率的分布与麦氏速率分布律相符，但密度大的情况不符合。,24,根据实验数据列表分布表,在0时氧气分子速率的分布情况,可以看出：低速和高速运动的分子较少，多数分子以中等速率运动。,对于任何温度下的任一气体，大体上都是如此。,本节结束,25,26,麦克斯韦是19世纪英国伟大的物理学家、数学家。1831年11月13日生于苏格兰的爱丁堡，自幼聪颖，父亲是个知识渊博的律师，使麦克斯韦从小受到良好的教育。10岁时进入爱丁堡中学学习，14岁就在爱丁堡皇家学会会刊上发表了一篇关于二次曲线作图问题的论文，已显露出出众的才华。1847年进入爱丁堡大学学习数学和物理。1850年转入剑桥大学三一学院数学系学习。1856年在苏格兰阿伯丁的马里沙耳任自然哲学教授。1860年到伦敦国王学院任自然哲学和天文学教授。1861年选为伦敦皇家学会会员。,27,1865年春辞去教职回到家乡系统地总结他的关于电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的经典巨著论电和磁，并于1873年出版。1871年受聘为剑桥大学新设立的卡文迪什实验物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实验室，1874年建成后担任这个实验室的