《频域分析法lj》PPT课件.ppt

第5章 频域分析法,本章介绍的频域分析法是研究控制系统的一种经典方法，是在频域内应用图解分析法评价系统性能的一种工程方法。,5.1 频率特性,（5.1）,（5.2）,u(t)和y(t)虽然频率相同，但幅值和相位不同，并且随着输入信号的角频率的改变，两者之间的振幅与相位关系也随之改变。 这种基于频率的系统输入和输出之间的关系称之为系统的频率特性G(j) 。,由频率特性概念知，频率特性G(j)是传递函数的一种特例，即将传递函数中的复变量s换成纯虚数j就得到系统的频率特性。 G(j)=G(s),设线性定常系统的传递函数G(s)可以写成如下形式,G(j)还可以用直角坐标形式来表示： 的实部，它也是的函数，称为实频特性； 的虚部，同样也是的函数，称为虚频特性。,例: 已知系统的传递函数为 求系统的频率特性。 解：令s=j得系统的频率特性,幅频特性: 相频特性:,实频特性: 虚频特性:,或,频率特性曲线常采用三种表示形式: (1)幅相频率特性(奈氏图) (2)对数频率特性(伯德图) (3)对数幅相频率特性(尼柯尔斯图),5.2 频率特性的极坐标图（奈氏图） 5.2.1 基本概念,系统频率特性可表示为,用一向量表示某一频率 下的 向量的长度 ，向量极坐标角为 ， 的正方向取为逆时针方向，选极坐标与直角坐标重合，极坐标的顶点在坐标原点。,如图5.1所示。,图5.1 频率特性G(j)的图示法 （a）G(j)的极坐标图示法；（b）G(j)的直角坐标图示法,极坐标图在 时，在实轴上的投影为实频特性 ，在虚轴上的投影为虚频特性 。,当频率由0时，G(j)变化的曲线，即向量端点轨迹就称为极坐标图。,5.2.2 典型环节频率特性的极坐标图 (1)比例环节 比例环节的频率特性为：,（5.13）,图5.2 比例环节频率特性极坐标图,(2)积分环节 积分环节的频率特性为：,（5.14）,图5.3 积分环节频率特性极坐标图,(3)微分环节 微分环节的频率特性为：,（5.15）,图5.4 微分环节频率特性极坐标图,(4)一阶惯性环节 一阶惯性环节的频率特性为：,（5.16）,幅频特性：,相频特性：,实频特性：,虚频特性：,图5.5 惯性环节频率特性极坐标图,(5)二阶振荡环节 二阶振荡环节的频率特性为,（5.17）,相应的幅频特性和相频特性为：,（5.18）,图5.6 二阶振荡环节频率特性极坐标图,(1)图5.6的曲线表明，二阶振荡环节的频率特性和阻尼比有关，大时，幅值M()变化小；小时，M()变化大。 (2)对于不同的值的特性曲线都有一个最大幅值Mr存在，这个Mr被称为谐振峰值，对应的频率r称为谐振频率。,(6)延迟环节 其频率特性为： 相应的幅频特性和相频特性为：,（5.19）,图5.7 延迟环节频率特性极坐标图,5.2.3 系统的开环频率特性极坐标图的作法 反馈控制系统的开环传递函数为：G(s)H(s) 开环频率特性：G(j)H(j)。,在绘制开环幅相频率特性曲线时，可将G(j) H(j)写成直角坐标形式： 或写成极坐标形式：,给出不同的，计算出相应的R()、I()或者M()和 ，即可得出极坐标图中相应的点，当从0变化时，即可求得系统的开环幅相频率特性图(奈奎斯持图，简称奈氏图)，图中的特性曲线简称为奈氏曲线。,见书中例题1：,例：已知系统开环传递函数 绘制系统开环极坐标图。,解 系统开环频率特性 由0变化时，找几个特殊点： 起始点 终止点 与虚轴交点 极坐标图如图所示。,极坐标图,根据开环系统传递函数中积分环节的数目v的不同(v0，1，2)，控制系统可以分为0型系统、型系统、型系统、型系统等。,G(jw)H(jw),（1）0型系统的开环奈氏曲线 其频率特性为：,（5.20）,（5.21）,(2)型系统的开环奈氏曲线 其频率特性为：,（5.22）,（5.23）,图5.10 型系统的奈氏图,(3)型系统的开环奈氏曲线 其频率特性为：,（5.24）,（5.25）,图5.11 型系统的奈氏图,5.3 奈奎斯特稳定判据及稳定裕度 5.3.1 奈奎斯特稳定性判据的基本原理 奈奎斯特稳定性判据是利用系统的开环奈氏曲线，判断闭环系统稳定性的一个判别准则，简称奈氏判据。,5.3.2 奈奎斯特稳定性判据 (1)奈奎斯特稳定性判据1 应用奈奎斯特稳定性判据判别闭环系统稳定性的一般步骤如下：,绘制开环频率特性G (j) H (j)的奈氏图，作图时可先绘出对应于从0+的一段曲线，然后以实轴为对称轴，画出对应于-0的另外一半。 计算奈氏曲线G (j) H (j)对点(-1，j0)的包围次数N。 由给定的开环传递函数G(s) H(s)确定位于s平面右半部分的开环极点数P。 应用奈奎斯特判据判别闭环系统的稳定性。,(2)奈奎斯特稳定性判据2 位于无限小半圆上的变点s可表示为,（5.45）,（5.46）,（5.47）,图5.23 绕过位于原点上的极点的奈氏轨迹 (a)修改后的奈氏轨迹； (b)无限小半圆的放大图,现对不同类型的系统(型系统、型系统 )分别讨论如下：,图5.24 型系统的奈氏曲线,2)型系统 型系统的v2，与上述分析类似，不同的是这时的奈氏曲线的增补段，是从 按顺时针方向到 的无限大半径的圆弧，如图5.25所示。,图5.25 型系统的奈氏曲线,(3)系统开环传递函数的极点都在S平面左半部分的稳定性判别 这种情况下，系统是称为开环稳定的，又称为最小相位系统，即P 0。 图5.28描述了开环稳定(即最小相位系统)的0型、型和型系统的奈氏曲线图。,图5.28 简化奈氏图作图与稳定性判别示例 (a)0型系统；(b)型系统；(c)型系统,(4)利用奈氏判据确定稳定系统可变参数的取值范围 如果系统中有某一个参数(或某几个参数)可以在一定范围内取值，其取值范围可以根据奈氏判据的要求来选择，即为了使闭环系统稳定，可以根据奈氏曲线通过(-1，j0)点的这一条件来选定参数。,图5.29 闭环控制系统,例7 设有如图5.29的闭环控制系统，为使闭环系统稳定，试用奈氏判据求出比例控制器的Kp的取值范围(Kp0)，设受控对象的传递函数为：,解 系统的开环传递函数为： 开环频率特性为： 实频特性和虚频特性为：,假设奈氏曲线G (j) H(j)曲线通过(-1，j0)点，则得到临界稳定的情况，如图5.30所示，这时： 解上面两式，可得,图5.30 例7的奈氏曲线,(5)系统具有迟延环节的稳定性分析 对于具有迟延环节的控制系统，其开环传递函数包含有迟延环节的传递函数e-s，因此开环传递函数一般由下式描述：,为不含迟延环节的传递函数。系统的开环频率特性可表示为：,（5.48）,（5.51）,（5.52）,5.3.3 频域法分析系统的相对稳定性 根据奈氏判据已知，如果系统的开环传递函数没有极点在右半S平面上，则闭环系统稳定的充分必要条件是系统的开环幅相频率特性G (j) H (j)不包围 (-1，j0)点。 稳定裕量通常用下面定义的相位裕量和增益裕量来度量。,（1）相位裕量(PhaseMagin常简写为PM) 设一稳定系统的奈氏曲线G (j) H(j)曲线与负实轴相交于G点，与单位圆相交于C点，如图5.34所示。C点处的频率c称为增益穿越频率，又称为剪切频率。c处的相角 与-180(负实轴)的相角差称为相位裕量PM，即,图5.34 稳定系统的奈氏曲线,图5.35 不稳定系统的奈氏曲线,（2）增益裕量(GainMargin常简写为GM) 当奈氏曲线与负实轴相交于G点时，如图5.34所示，G点的频率g称为相位穿越频率，又称为相位交界频率。这时g处的相角 幅值为|G(jg) H(jg)|。定义|G(jg) H(jg)| 的倒数为增益裕量GM，并用Kg表示，即：,（5.53）,（5.54）,5.4 频率特性的对数坐标图（Bode图） 5.4.1 基本概念 频率特性的对数坐标图是频率特性的另一种重要图示方式。 频率特性对数坐标图是将开环幅相频率特性G(j) H(j)写成,（5.56）,将幅频特性M()取以10为底的对数，并乘以20得L()，单位为分贝(dB)，即,（5.57）,图5.36 对数频率特性图(伯德图) (a)对数幅频特性；(b)对数相频特性,在对数相频特性图中，以 为纵坐标，以为横坐标，横坐标也是以对数分度，纵坐标用等刻度分度。这样，与对数幅频特性一样，也形成一个半对数坐标系。如图5.36(b)所示，将对数幅频特性 L() -和对数相频特性 -合称为对数频率特性图，又称为伯德图(Bode图)。,图5.37 半对数坐标,图5.37 半对数坐标,每个10倍频程中，与lg的对应关系如表5.1所列。,对数幅频特性的“斜率”是指频率改变倍频或十倍频时L()分贝数的改变量，单位是dBoctave (分贝/倍频)或dBdec (分贝/十倍频)，一般dBoctave较少采用，常用的是dBdec。图5.37中纵坐标L()= 20lgM()，称为增益。 M()每变化10倍，L()就变化20分贝（dB）。“斜率”的概念在具体绘制伯德图时很有用。 使用对数频率特性表示法的第2个优点是可以大大简化绘制系统频率特性的工作。,5.4.2 典型环节频率特性的伯德图 (1)比例环节(K) 比例环节的伯德图如图5.38所示。,（5.58）,图5.38 比例环节的伯德图,（2）积分环节 和微分环节(s),（5.59）,（5.60）,图5.39 积分环节(1/s)和微分环节(s)的伯德图,(3)一阶惯性环节 和比例微分环节(1+Ts),其一：一阶惯性环节,对数幅频特性,对数相频特性,（5.61）,Bode图如图5.40所示。 首先分析对数幅频特性曲线的大致形状（渐近线）。 （1）当 (低频)时，对数幅频特性可近似为 dB （2）当 (高频)时，对数幅频特性可近似为,图5.40 惯性环节 的伯德图,惯性环节的对数幅频特性曲线近似为两段直线。两直线相交，交点处频率 ，称为转折频率。 两直线实际上是对数幅频特性曲线的渐近线，故又称为对数幅频特性渐近线。 用渐近线代替对数幅频曲线，最大误差发生在转折频率处，即 处。 作一阶惯性环节的对数相频曲线没有近似的方法，但是可以定出特殊点，用曲线把各点连接起来。 它是对 的点斜对称的一条曲线。,其二：比例微分环节(1+Ts) 对数幅频特性和相频特性为：,（5.64）,Bode图如图5.42所示。,(3)一阶惯性环节 和比例微分环节(1+Ts),图5.42 比例微分环节(1+Ts)的伯德图,其一：二阶振荡环节,(4)二阶振荡环节和二阶微分环节,二阶振荡环节的对数幅频特性和相频特性,（5.65）,Bode图如图5.43所示。 首先分析对数幅频特性曲线的大致形状（渐近线）。 （1）当n (高频)时，对数幅频特性可近似为,图5.43 二阶振荡环节的Bode图,(4)二阶振荡环节和二阶微分环节,其二：二阶微分环节,延迟环节的传递函数： 式中 滞后时间 频率特性： 对数幅频特性： 对数相频特性: Bode图如图5.45所示。,(5)延迟环节,5.4.3 系统开环伯德图的绘制,例9 设系统的开环传递函数为：,试绘制开环对数频率特性图(伯德图)。,解：,系统由5个典型环节串联组成：,1. 比例环节(4),2. 积分环节,对数幅频特性渐近线在 时穿越0dB线，其斜率为-20dB/dec。,3.惯性环节,转折频率 ，对数幅频特性渐近线曲线在转折频率前为0dB线，转折频率后为一条斜率为-20dB/dec的直线。 对称于点 。,4.比例微分环节,(0.5s+1),转折频率 ，对数幅频特性渐近线曲线在转折频率前为0dB线，转折频率后为一条斜率为+20dB/dec的直线。 对称于点 。,5.二阶振荡环节,转折频率 ，对数幅频特性渐近线曲线在转折频率前为0dB线，转折频率后为一条斜率为-40dB/dec的直线。,二阶振荡环节的参数为=0.2,n8,图5.46(a) 例9的伯德图,将L1()L5()叠加，即可求得开环对数幅频特性曲线，如图5.46(a)所示的实线L()。,图5.46(b) 例9的伯德图,绘制开环对数相频特性曲线时，先作出各环节的相频特性曲线 , 然后进行同一频率下代数相加，如图5.46(b)所示 的 。,分析系统是由哪些典型环节串联组成的，将这些典型环节的传递函数都化成标准形式。即各典型环节传递函数的常数项为1。 根据比例环节的K值，计算20lgK。 在半对数坐标纸上，找到横坐标为1、纵坐标为 的点，过该点作斜率为-20VdBdec的斜线，其中V为积分环节的数目。,计算各典型环节的转角频率，将各转角频率按由低到高的顺序进行排列，并按下列原则依次改变L()的斜率： 若过一阶惯性环节的转角频率，斜率减去20dBdec； 若过比例微分环节的转角频率，斜率增加20dBdec； 若过二阶振荡环节的转角频率，斜率减去40dBdec。 如果需要，可对渐近线进行修正，以获得较精确的对数幅频特性曲线。,5.4.4 最小相位系统和非最小相位系统 如果系统的开环传递函数在右半S平面上没有极点和零点，则称为最小相位传递函数。具有最小相位传递函数的系统，称为最小相位系统。例如，具有下列开环传递函数的系统是最小相位系统：,开环传递函数在右半S平面上有一个(或多个)极点和零点，称为非最小相位传递函数。例如，具有下列开环传递函数的系统为非最小相位系统：,5.5 用开环频率特性分析系统的 性能 5.5.1 系统开环对数频率特性与闭环 稳定性的关系 (1)用伯德图确定稳定裕量,图5.48 稳定系统的伯德图,图5.49 不稳定系统的伯德图,在伯德图中，增益裕量通常用分贝数来表示，即： 对于稳定系统， (见图5.34)，所以 为负，由式(5.68)可知，增益裕量 是正的，我们称增益裕量是正的，用 来表示。,（5.68）,对于不稳定系统，在伯德图上表示相位裕量和增益裕量Kg(dB)，可用上述同样的方法参照图5.35的奈氏图来对应确定，如图5.49所示。 增益裕量和相位裕量通常作为设计控制系统的频域性能指标。,实践表明，当GM和PM在下列范围内取值时，控制系统一般可以得到较为满意的动态性能。 (2)伯德定理简介 线性最小相位系统的幅频特性是一一对应的。,在某一频率(例如剪切频率c)上的相位移，主要决定于同一频率上的对数幅频特性的斜率；离该频率越远，斜率对相位移的影响越小。 5.5.2 系统开环对数频率特性与闭环 稳态误差的关系 对于一定的输入信号，控制系统的稳态误差与系统的类型及开环放大系数K有关。 (1)0型系统,图5.50 使幅频渐近线以-20dBdec斜率通过剪切 点的例子,其对数幅频特性为 从图中可以看出，0型系统的对数幅频特性在低频段有如下特征： 低频段渐近线斜率为0(dBdec)，高度为20lgKP；,（5.69）,图5.51 0型系统的对数幅频特性,如果已知幅频特性曲线低频段的高度，就可由式(5.69)求出位置误差系数KP，从而可求出系统的稳态误差ess。 (2)型系统 其对数幅频特性为：,（5.70）,图5.52 型系统的对数幅频特性,型系统的对数幅频特性曲线在低频段有以下特征： 渐近线斜率为-20(dBdec)； 渐近线(或其延长线)与0(dB)线(即轴)的交点为KV，由此可以求出系统的稳态速度误差系数KV，从而进一步可求出系统的稳态误差ess；,渐近线(或其延长线)，在1时的幅值为20lgKV，由此也可以求得速度误差系数KV，从而可求出稳态误差ess。 (3)型系统 其对数幅频特性为：,（5.71）,图5.53 型系统的对数幅频特性,由此可以求出系统的稳态加速度误差系数Ka， 从而可以求出系统的稳态误差ess。 渐近线(或其延长线)在1时的幅值为 20lgKa，由此也可以求出系统的稳态加速度误差系数Ka及稳态误差ess。 5.5.3 开环对数频率特性与系统时域性 能之间的关系,图5.54 对数幅频特性曲线的3个频段的划分,(1)伯德图的对数幅频特性曲线中频段(剪切频率c附近的频段)与系统动态性能的关系 所谓中频段宽度h定义为 设一系统的开环频率特性为：,（5.72）,（5.73）,图5.56给出了典型二阶系统的结构图,对数幅频特性图和时域的阶跃响应曲线。由图5.56 (a)可知，二阶系统的开环传递函数为：,（5.74）,（5.75）,(2)频域性能指标相位裕量与时域性能指标超调量P和调整时间ts的定量关系 1)相位裕量(c)与超调量P之间的定量关系。,图5.57 二阶系统开环对数幅频特性,（5.76）,（5.77）,（5.78）,（5.79）,图5.58 二阶系统相位裕量和阻尼比的关系,(3)相位裕量(c)与调整时间ts之间的定量关系 调整时间ts的近似表达式为：,（5.80）,（5.81）,将式(5.82)的函数关系绘成曲线，如图5.60所示。 (4)高阶系统,（5.82）,（5.83）,（5.84）,将式(5.83)和(5.84)表示的关系，绘成曲线，如图5.61所示。可以看出，超调量P随相角裕度的减小而增大；调节时间ts随的减小而增大，但随c的增大而减小。,（5.85）,式中：,5.5.4 开环频率特性的高频段对系