《高数上31中值定理》PPT课件.ppt

人的思维可以分为：逻辑思维、 形象思维和灵感思维。迄今为止， 对逻辑思维的研究比较充分；对形 象思维的研究取得了一定成果；而 对灵感思维的研究几乎是零。,1、引理 若函数 y = f ( x ) 在区间 I 内的 x0 处可导且取得最值，则 f ( x0 ) = 0,证：,因为，区间 I 内 f ( x0 ) 最大,第三章 中值定理 导数应用,3.1 微分中值定理,直观上看，就是函数曲线在最高处有水平切线,函数在区间内取得最小值的情况， 也可以类似证明。,2、罗尔定理,条件： 函数 f ( x ) 满足 1、在闭区间 a , b 上连续； 2、在开区间 ( a , b ) 内可导； 3、f ( a ) = f ( b ),结论：,在 ( a , b ) 内至少存在一点 ，使得 f ( ) = 0,注意：条件缺一不可； 证明的关键是： 存在，并且是区间的内点； 罗尔定理的条件充分而非必要。,证明思路,仅供参考， 不作要求,这类问题容易发生逻辑性错误：“由(定理)，得(结论)” 应该验证： 1、满足定理的条件； 2、（不依赖定理）可以独立得出结论。,3、关于“对函数验证定理”,验证：,所以，函数在给定区间上满足罗尔定理的条件,例1,根据罗尔定理，在区间（1，2）（2，3）内，各至少有一 点 1，2 使 f ( 1 ) = 0 和 f ( 2 ) = 0,4、利用罗尔定理讨论某些方程根的情况,罗尔定理表明：如果闭区间连续，开区间可导的函数 y = f ( x )有两个点 x1 , x2,其函数值相等， 则，方程 f ( x ) = 0 在 x1 , x2 之间必有至少一个实根。,例2 不求函数 f ( x ) = ( x 1 ) ( x 2 ) ( x 3 )的导数， 说明方程 f ( x ) = 0 有几个实根。,解：函数 f ( x ) 在整个实数轴上连续、可导，,且 f ( 1 ) = f ( 2 ) = f ( 3 ) = 0 , 满足罗尔定理的条件，,但是，f ( x ) = 0 是二次方程，至多有两个实数根，,所以，f ( x ) = 0 有且仅有两个实根 x = 1 和 x = 2,二、拉格朗日中值定理,条件：1、函数 f ( x ) 在 a , b 上连续； 2、函数 f ( x ) 在 ( a , b ) 内可导。 结论：在 ( a , b ) 内至少存在一点 ， 使 f ( b ) f ( a ) = f ( ) ( b a ),1、拉格朗日中值定理,分析：,2、拉格朗日中值定理的几何意义,3、拉格朗日中值公式的其它形式,注意：,函数的微分是增量的近似值，有公式,其中，x 在区间的端点取值，d x 则要很小。且 f ( x ) 不为零。,而拉格朗日增量公式则是一个精确公式,因此，拉格朗日中值公式又叫做有限增量公式,4、拉格朗日定理的重要推论（P94推论）,证：,另外，容易证明：,课本例3,证：,利用中值定理可以证明某些不等式。,证：,利用中值定理证明不等式一般可以分两步：,1、选择适当的函数和区间，用中值定理得到含 的等式，,2、放大或缩小含 的式子，去掉含 的项,补充例题：,解：,三、柯西中值定理,条件：,结论：,1、定理,2、几何意义：,仅供参考， 不作要求,3、注意： （1）定理中的 f ( ) ，F ( ) 是在同一点 处的 导数值，所以下面的证明是错误的：,因为不能保证，两个函数由拉格朗日定理得到的是同一个点 .,（2）若F ( x ) = x ，则成为柯西定理的特殊情况，与拉格朗日定 理的形式相同。所以拉格朗日定理是柯西定理的特例。柯西定理 则是拉格朗日定理的推广 。,（3）柯西定理的一个重要应用就是洛必达法则。,仅供参考， 不作要求,证：,引入辅助函数：,容易验证： 满足