中值定理与导数的应用(1-6节.ppt

1,第三章 微分中值定理与导数的应用,2,罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理统称微分学中值定理，它们在理论上和应用上都有着重大意义，尤其是拉格朗日中值定理，它刻划了函数在整个区间上的变化与导数概念的局部性之间的联系，是研究函数性质的理论依据。 学习时，可借助于几何图形来帮助理解定理的条件，结论以及证明的思路；并由此初步掌握应用微分学中值定理进行论证的思想方法。,3,第一节 中值定理 一、费马引理,第一节 微分中值定理,一、费马引理：,设函数 f (x) 在点 x0 的某邻域,U(x0) 内有定义, 并且在点 x0,可导。如果对任意的,有,定义 导数为零的点称为函数的驻点（或 稳定点、临界点）。,4,不妨设,证明：,证毕,5,二、罗尔定理,6,R-Th 的几何意义：,A,B,x,y,0,7,证：, f (x) 在 闭区间 a, b 上连续，,f (x)在 a, b 上必有最大值M及最小值m,有两种情况:,(1) M = m ;,(2) M m .,(1) 若 M = m ，,则 m = f (x) = M ,f (x) 为常数，即有,那么 ( a, b ) 内任一点都可取作 ，, M = m 时，定理必成立。,8,(2) 若 M m ，,M , m 中至少有一个不等于 f (a) 或 f (b),不妨设 M f (a) , (设 m f (a) 同样可证）,又设有 f () = M,因此，对任意, f (a) = f (b) ,有,从而由费马引理可知,证毕。,9,10,例,11,12,例,13,14,若 f (x) 在0, 1上有二阶导数，且 f (1) = 0,设 F (x) = x2 f (x)，试证在（0, 1）内至少存在一点 ，使,例,证：,F (x) 在0,1上连续,在(0, 1)内可导(由题意),则由罗尔定理，,又由罗尔定理，,15,三、拉格朗日定理,L-Th 的几何意义：,可以看作是罗尔定理的推广,16,17,18,19,20,21,22,例：,设 f (x) 在a, b上连续，在(a, b)内可导，,证明存在一点,23,由罗尔定理，存在,证明：,由条件知,F(x) 在a, b上连续，在(a, b)内可导，且,24,此类问题的关键是构造合理的辅助函数，可采用反向演绎的思维方式，多掌握一些函数的导数形式，如,25,例：,设 f (x) 在a, b上连续，在(a, b)内可导，,证明存在一点,26,27,例,证：,28,例,证明：,分析：,出现函数 arctan x 在a, b上的增量,可用 L定理证明 。,由L 定理：,令,证 ：,29,30,例 证明恒等式,证：,则,= 0,所以由前面的定理可知：,在-1 x 1内，f (x) 恒等于 C,因为,所以,31,所以有,所以,32,作业,作 业,P167页：3-1(A),2, 4, 5, 6, 7, 10,P168页：3-1(B),3, 6, 7, 9,33,四、柯西定理,34,35,36,37,38,39,例,设,在a, b上可导，又 ab0.试证,分析：,40,所以如令,对它们在a, b上应用柯西中值定理即可。,请同学们自己完成证明过程。,41,第二节洛必达法则,第二节 洛必达法则,现用C-Th来导出求这类极限的简便方法即:洛必达法则,42,43,44,45,例,注: 1,可见用洛必达法则求极限当分子分母都是次数较 高的多项式时可避免繁硕的因式分解; 2,用洛必达法则求极限时每做一步都要查看一下 是否还为不定型,若不是就不能用洛必达法则,否则 会出错,46,47,例,48,49,例,50,51,例,52,53,但若用洛必达法则:,极限不存在。此例说明洛必达法则不是万能的.,54,可见一味用洛必达法则，则永远无结果。,所以洛必达法则并不是万能的，一旦做不下去必须改用其它方法。,若用消去无穷因子法：,55,原定理只说,存在等于A或，则,显然后者极限不存在，此时洛必达法则不能用！,但当,不存在，则不能说,此时需要用其它方法求极限。,56,作业,作 业,P174页：3-2(A),1(单), 2,P175页：3-2(B),1(单), 2, 4, 6,57,可补充的例,58,59,第三节 泰勒公式,第三节 泰勒公式,60,泰勒 ( Taylor ),( 1685 1731 ),英国数学家,61,不论在近似分析或理论分析中，我们总希望能用一个简单的函数近似地表达一个比较复杂的函数，而在函数中又以多项式较为简单。若能用多项式来近似表达一个函数会给研究带来很大方便。那么又怎样从函数本身找到我们所需要的多项式呢？,62,在微分应用中知，,此式左端是一函数，而右端是 x 的一次多项式。,即用一次多项式来近似代替函数。,但这种表达式的精度不高，它所产生的误差仅,是关于x -x0 的高阶无穷小，且无法具体估计出,误差的大小。,为此，我们用满足一定要求的高次多项式,来近似表达函数，并给出误差的计算公式。,63,来近似表达 f (x).,64,首先，可定出系数：,65,为此，我们有,Taylor 中值定理：,66,展开,拉格朗日型余项。,67,余项Rn(x)又可写成：,68,这种形式的余项Rn(x)称为皮亚诺型余项。,69,称为麦克劳林公式。,70,71,例(1),72,73,74,75,观察这三条曲线在 x = 0 附近的弥合程度：,误差不超过,则有,76,同理可求得：,77,78,我们已求得了一些函数的麦克劳林公式, 我们还可以类似得到以下函数麦克劳林公式：,79,利用已知的带有皮亚诺余项的麦克劳林公式，可以计算一些极限：,80,作 业,P184页：3-3,1, 3, 5, 8(1)(3),81,第四节 函数的单调性和曲线的凸性,第四节 函数的单调性与凸性的判别法,由于中值定理建立了函数在一个区间上的增量与 函数在这区间内某点的导数之间的联系，因此就为我 们提供了一种可能性：利用导数来研究函数值的变化 情况，并由此对函数及其图形的某些性态作出判断。,82,一,函数的单调性判定,(上升),（下降）,a,b,a,b,83,从几何上看, y = f(x) 在 a, b 上单增(或单减)，,其图形是一条沿 x 轴正向上升(或下降)的曲线。,上升的曲线每点处的切线斜率均为正，,下降的曲线每点处的切线斜率均为负，,84,定理1 （单调性判定）,85,86,87,例,88,89,利用单调性证明不等式,利用单调性证明不等式,90,91,例,92,93,例,94,95,作业,作 业,P194页：3-4(A),1, 4(2)(4),P195页：3-4(B),1(2), 2, 4(1)(3), 5,96,二,曲线的凸性与拐点 1,曲线的凸性,曲线的凸性,同样单增的函数，有时弯曲的方向不一样。,弦上弧下,则曲线为下凸；,弦下弧上,则曲线为上凸 。,97,98,99,P,Q,(I),(II),特别地,若取弦的中点 Q,与曲线弧上的相应点 P,定义1*,设f(x)在区间I上连续,对I上任意两点x1,x2,恒有,则称f(x)在I上的图形是下凸,如(I),P,Q,则称f(x)在I上的图形是上凸,如(II),100,曲线的凹凸性亦可用曲线和切线的位置来描述:,下凸,上凸,直接用定义判别函数的凸性较困难，下面给出利用函数的 一阶及二阶导数的性质来判别函数的凸性的方法：,101,凸性判别定理,定理 2（凸性的第一判别法）,定理2的证明可见教材P191页。,102,（凸性的第二判别法）,103,104,105,例,106,例,107,函数的凸性可以用来证明不等式:,108,109,2,曲线的拐点, 曲线的拐点,定义 2,连续函数下凸弧与上凸弧的分界点,称为这曲线的 拐点（或扭转点）。,说明：,(2),拐点在曲线上，而不在x轴上，,其坐标为(x0,y0)。,110,拐点的判别,设具有二阶连续导数的曲线 y = f(x),在 x = x0 处有,则 (x0,f(x0) 是 y = f(x) 的拐点。,则 (x0,f(x0) 不是 y = f(x) 的拐点。,拐点的判别,111, 设y=f(x)在x0处三阶可导，,则 (x0,f(x0) 是y = f(x) 的拐点。,112,例,113,114,例,115,此例强调虽然函数的二阶导数不存在,但若函数在x0点的二阶 导数异号且在x0点连续,则(x0,f(x0)为拐点.,例,116,例,117,例: 利用函数图形的凸性证明不等式：,故函数图形是下凸的，,118,作业,作 业,P194页：3-4(A),7(双), 8(单), 9,P195页：3-4(B),10(1), 11,119,第五节 函数的极值和最大最小值 一,函数的极值,第五节 函数的极值与最大、最小值,一,函数的极值及其求法,若f(x) f(x0),则称f(x0)为f(x)的一个,定义,极大值,x0称为极大值点；,若f(x) f(x0),则称f(x0)为f(x)的一个,极小值,x0称为极小值点。,极大值(点)与极小值(点)统称极值(点)。,120,注: 极大(小)值都是局部性态,可能出现极大值小于极小值 的情况 极大值不一定是最大值,极小值也不一定是最小值, 从图中可见曲线在函数的极值点所对应的那些点处具 有水平切线,反之不真,如 y = x3 在x = 0 处有水平切线, 但 x = 0 不是极值点.,121,下面给出函数取得极值的必要条件和充分条件:,Th1 函数取得极值的必要条件,122,由上可见求出函数的驻点后还需判别其是否为 极值点,若是极值点还需判别其是 极大值还是极小值点.,123,Th2 判别极值的第一种充分条件,124,求极值的步骤,125,126,例,127,例,128,Th3 判别极值的第二种充分条件,定理3 (判别极值的第二种充分条件 ),则,f(x)在x0处取到极大值；,f(x)在x0处取到极小值。,（证略）,说明：,则本定理失效。用第一充分条件判定。,129,不能判定，,只能利用第一充分条件判定。,130,131,二,函数的最大最小值,二, 函数的最大最小值,132,133,134,例,135,例,136,137,138,作业,作 业,P205页：3-5(A),1(1)(4)(9), 2(1), 7,P206页：3-5(B),1, 5, 7,139,第六节 函数图形的描绘,第六节 函数图形的描绘,140,一、曲线的渐近线,定义 如果曲线 C 上的点 M 沿曲线 C 离原点无限远离时, M 与某一直线 L 的距离越来越近，趋近于零，则称 L 为 C 的一条渐近线。,k,x0,则 x = x0为 f (x)的垂直渐近线.,则y = k为 f (x)的水平渐近线.,141,例：,解：,= 0 ，, y = 0 为水平渐近线；, ,0, x = 0 为垂直渐近线 。,142,斜渐近线 L: y = ax + b,143,二、函数图像的描绘,144,例,列表,曲线过点(0,0),1,2,(1, 2),0,0,+,x,y,y,+,驻点：x =1,x =2,例:,极大值,(拐点),故 y = 0为水平渐近线,因,145,的图形：,1,2,146,列表,.,例 对函数进行全面讨论并画图：,解,所以，曲线有垂直渐近线 x