南师大附属扬子中学期初解答题答案.doc

二、解答题：本大题共6分，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，BC=6，CD=2，ABCDP(1)求四边形ABCD的面积; (2)求三角形ABC的外接圆半径R; (3)若，求PA+PC的取值范围.解析（1）由， 得， .2分 , 故.4分 .6分 （2）由（1）知， .8分（3） 由（1）和（2）知,点P在三角形ABC的外接圆上，故PA=2RsinACP，PC=2RsinCAP，.10分设ACP=，则CAP=，.12分 .14分16.在四棱锥PABCD中，ABCACD90，BACCAD60，PA平面ABCD，E为PD的中点，PA2AB2（）求四棱锥PABCD的体积V；（）若F为PC的中点，求证PC平面AEF；（）求证CE平面PAB解：（）在RtABC中，AB1，BAC60，BC，AC2.2分在RtACD中，AC2，CAD60，CD2，AD4SABCD则V .6分（）PACA，F为PC的中点，AFPC PA平面ABCD，PACDACCD，PAACA，CD平面PACCDPC E为PD中点，F为PC中点，EFCD则EFPC AFEFF，PC平面AEF.10分（）证法一：取AD中点M，连EM，CM则EMPAEM 平面PAB，PA平面PAB，EM平面PAB 在RtACD中，CAD60，ACAM2，ACM60而BAC60，MCABMC 平面PAB，AB平面PAB，MC平面PAB EMMCM，平面EMC平面PABEC平面EMC，EC平面PAB .14分证法二：延长DC、AB，设它们交于点N，连PNNACDAC60，ACCD，C为ND的中点 E为PD中点，ECPNEC 平面PAB，PN 平面PAB，EC平面PAB 17.如图，一列载着重危病人的火车，从O地出发沿射线OA行驶，其中，在距离O地15公里北偏东角的处（其中）有一位医学专家，现有110指挥部紧急调离O地正东p公里的处的救护车，赶往N处载上该专家，全速追赶到那列火车，并在C处相遇，经测算当两车行驶的路线与OB围城的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时，ACO北东BN求S关于p的函数关系式；p为何值时，抢救最及时？解法一：以o为原点，正北方向为y轴建立直角坐标系，则，设.2分ACO北东BN.4分又直线的方程为： .6分由 得的纵坐标， .8分.10分当且仅当即时取“=”号，此时最小，抢救最及时.14分 ACO北东BNmp解法二：设则则两边平方整理得：最小时，当且仅当即为的中点，此时则，易知18.椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点A，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.(I) 求椭圆的方程及离心率；(II)若求直线PQ的方程；(III)设，过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分.(I)解：由题意，可设椭圆的方程为 由已知得 解得 所以椭圆的方程为，离心率 .4分(II)解： 由(I)可得设直线PQ的方程为由方程组 得依题意 得设 则 由直线PQ的方程得 于是 .8分 由得从而所以直线PQ的方程为 或 .10分(III)证明：由已知得方程组 注意解得 .12分因故而所以 .16分19.设函数f(x)ln x，mR.(1)当me(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数零点的个数；(3)若对任意ba0，恒成立，求m的取值范围解析(1)由题设，当me时，f(x)ln x，则f(x)，当x(0，e)，f(x)0，f(x)在(0，e)上单调递减，当x(e，)，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增，xe时，f(x)取得极小值f(e)ln e2，f(x)的极小值为2.4分(2)由题设g(x)f(x)(x0)，令g(x)0，得mx3x(x0)设(x)x3x(x0)，则(x)x21(x1)(x1)，当x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上单调递增；当x(1，)时，(x)0，(x)在(1，)上单调递减x1是(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x1也是(x)的最大值点(x)的最大值为(1).又(0)0，结合y(x)的图象(如图)，可知当m时，函数g(x)无零点；当m时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)有两个零点；当m0时，函数g(x)有且只有一个零点综上所述，当m时，函数g(x)无零点；当m或m0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)有两个零点.10分(3)对任意的ba0，恒成立，等价于f(b)bf(a)a恒成立(*)设h(x)f(x)xln xx(x0)，(*)等价于h(x)在(0，)上单调递减由h(x)10在(0，)上恒成立，得mx2x(x)2(x0)恒成立，m(对m，h(x)0仅在x时成立)，m的取值范围是，).16分20.从数列中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列的一个子数列 设数列是一个首项为、公差为的无穷等差数列（即项数有无限项） （1）若，成等比数列，求其公比 （2）若，从数列中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为的无穷等比子数列，请说明理由 （3）若，从数列中取出第1项、第项（设）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当为何值时，该数列为的无穷等比子数列，请说明理由解：（1）由题设，得，即，得，又，于是，故其公比 .4分 （2）设等比数列为，其公比， 由题设 假设数列为的无穷等比子数列，则对任意自然数，都存在，使，即，得， 当时，与假设矛盾， 故该数列不为的无穷等比子数列 .9分 （3）设的无穷等比子数列为，其公比（），得， 由题设，在等差数列中，因为数列为的无穷等比子数列，所以对任意自然数，都存在，使，即，得， 由于上式对任意大于等于的正整数都成立，且，均为正整数，可知必为正整数，又，故是大于1的正整数 再证明：若是大于1的正整数，则数列