筒体结构连续化模型的弹性动力时程分析

第1 3卷第2期 1996年5月 工 程力学 EN G环正E侧 NGMECH A 观C S V ol . 13N oZ Ma y 1 996 筒体结构连续化模型的弹性动力时程分析 易升创包世华张铜生 (清华大学 , 北京 10 0 0 84) 提要本文用连续化模型对高层筒体结构在地震作用下的动力时程反应进行分析 . 关键词高层筒体结构 , 弹性动力时程分析 , 连续化模型 月U 看 地震反应时程分析的通常做法是将高层建筑结构简化 为离散体系 , 主要有层模型 , 杆系 模型和杆系 一层 模型 。 其中 , 层模型将结构的质量集 中于楼层处 , 用每层 的刚度(层刚度)表示 结构的刚度 , 这种模型虽计算量小 , 但过于粗糙;杆系模型则将结构视为杆件体系 , 将结构的 质量集中于各结点 , 动力自由度数等于结构结点线位移自由度 , 刚度矩阵由杆件的刚度矩阵 集成而得 , 这种模型优点为模型较细 , 但显然自由度太多 , 计算量太大;而杆系 一层 模型则结合 二者之优点 , 按杆件体系确定其变形和刚度 , 但结构质量集中于各楼层处 , 现已成为弹塑性动 力分析中经常使用的一种模型 . 高层筒体结构是近年来普遍采用的一种高层建筑结构型式 , 该结构具有很大的抗侧移 刚度 , 在结构型式上 , 其横截面沿高度方向通常不变或阶形变化 . 针对高层筒体结构的这一 特点 , 本文首次采用 了一种不同于以往各离散模型的新振动模型 , 即沿结构横向离散化 , 沿高 度方 向取为连续函数的板条模型 , 应用有限元线法川这种半解析半离散方法 , 对高层筒体结 构进行理论推导和分析计算 。 基本假设如下: (l )楼板平面内刚度无限大 , 平面外刚度为零 . ( 2 ) 结构梁 、 柱尺寸和结构的整体几何尺寸(如长 、 宽和筒壁厚)沿高度方向不变或 阶 形变化 。 国家和北京市自然科学基金资助项目 本文收稿日期 : 19 ,4 年4月 简体结构连续化模型的弹性动力时程分析 ( 3 )对板条单元同时考虑其平面内刚度和平面外刚度 , 力学特点是平面应力与板弯曲的 叠加 . ( 4 )结构的弹性常数在动力反应过程中保持不变 . 本文理论推导的基本步骤是先求出每一个板条单元的应变势能和惯性力势能 , 经集成相 加得整体势能泛函n , 然后对n变分 , 得表为微分方程组的动力方程 , 最后利用动力方程进行 地震反应时程分析 . 本文由于采用连续的板条单元作为振动模型 , 结构的 自由度数与结构的层数和高度无关 , 与以往的离散模型相比 , 计算量大为减小 , 可以在微机上实现其运算 。 二 、 公式推导 1 . 结构模型的建立 本文分析时 , 先将筒体结构沿横向离散划分 为多个板条单元 , 图1即为一板条单元及所建立 的坐标系 。 其中 , 2 b为结构(或等截面段)的总 高度 , Za 为单元宽度; 0 习) z为整体坐标系 , J 万歹牙 为局部坐标系 , 由于所选取的板条单元沿结构 的竖向 , 故歹与笋总是重合的 ;(l ) , ( 2 ) 为单元结线 码 , l j ( i , j = 1 ,2 )为单元结 点码 , 即第i条 结线 的第j个端点 . 另外 古 二 二 取无量纲坐标系 口咨 刁奋 (l) 一 y一b 一一 叮 其中 , 杏 一l , 11 , 刁任卜l , l . 板条单元的 自由度由结线( l ) , ( 2 )上的 自由 图l 度组成 。 本文分析时 , 对平面内位移汀 、 订取线性插值 , 对平面外位移证取三次H e幻住ute插值: 、 .2 ,声、 产 , 内 4 扮 了. 、了.、了.、 汀二 玩N 1 + 又从 订= 讯N l + 砚从 证 二 不从 + 只凡 式中N l 一 戈为 通常的 形 函数 . 玩 , 环 , 不( i 二 = 夕不 移;0 、二 气于( i 二 1 ,2)为结线i绕夕轴的转角 。 考 、 + 矶从 + 乓戈 1 , 2 )分别 为结线 i 沿 至 , 歹 , 牙方 向 的位 每个单元 的结线位移向量为 注意 ,式 中的玩 、 蔽 、 不 、 俘 2 . 应变势能的推导 z “ = 【玩讯不及风几砚 砌 r 二1 , 2 )均为竖 向坐标刀的函数 。 (5) 3 6工程力学 当筒体结构为框筒结构或有开洞时 , 必须对框筒结构或结构中开洞部分进行等效连续化 处理 , 按照刚度等效原则将其等效为一正交各向异性板 , 等效弹性常数取法见文献2 。 正交各向异性板单元的应变势能为 穿 ) + 昏 2 ld d , (6) 占一 剔 塑 扩 。一 合 J J、 : r 、 : d d少= 合 J J: D l( 寥 ) ,D l产 + D : ( 4D , (亚、 2 + D , (鱼) 2 + D J (鱼)2 、 及鱼鱼 + 。(鱼 魔砂 ”欣 ” 妙 敌 妙 妙 式中几 一 几为刚度常数阎 . 由式(2) 一( 4)有 汀= 凡风+从风 = 【 入男1U B 订二 从讯+从几二【 入万】 姗 证 = 从不 + 凡叹 十 从矶 + 戈乓= N 牙1D 哪 式中 ( 乃 【 刀万】 = 凡从 【N牙 二 l丛N 4丛从 毛 沼 = V B = 毛D 哪 = 玩风 r (8) 认讯 不及矶及 r 将式( 7 )中的汀 , 订 , 订对x , 少求导后代人式(6 ) 中 , 经整理后叽得用结线位移向量表示的单元 应变能为 : 。 = 粤 f , ( I 了 r 万3 J + J , I万Zr 王了) + J r x万l J “ + 艺 口一几 夕 T 万4 , J + J r 万5 征 )d 叮 (9) 如图2所示 , 整体坐标 系下的结线位移u i , v i , 哟 , 乓与局部坐标下的结线位移乓 , 讯 , 该 , 乓有如下 关系 : l .t 了 l 一 u i 一 兰 w i 一 没 r . . . . .J I .t 划 一一 1 1 了 e s . J 一 u i 一 兰 哄 一 役 矛 l 、 l w e 一 J 日 n n ,且 COS仪S】1 1以 0 1 1 0 一日 一S】 11a 0 COS仪 0 r .l s e L 一一 I L 了 I J u i v i 哄以 l 产l e e s e w e e s 飞 单元板整体坐标下的d 与局部坐标下的侧 有如下关 系: d = 【 T 夏d (10) 式 中 J = 气v l w , 只帐 vZwZ 风 T 图2 l 0 l L 1l n l 0 尸 l J 一一 ,.J T l .L 由此得用整体坐标结线位移向量表示的单元应变能为 筒体结构连续化模型的弹性动力时程分析 U 一 合 f l (d r ;A, d ” + d, r 【 A Z, d ” + 似” 丁 【 A,“J” + d T A51 d + d T AI d )d 刁 将每个单元的应变势能U 相加 得总应变能 : U = 艺U一 合 工 1(d r :A, d ” + d, r A , d . , + d ” r 汇A,夕 , + d r ASd + 侧 r A Id)d 叮 . (11) 式 中 , d df d百 d二 r , N为 , 总的结线数;系数阵, 1一A S是由单元系数 矩阵集成而得 , 方法同一般的集成法 . 当采用刚性楼板假设时 , 同一楼层处的所有结点在刚性楼板平面内均有三个共同的 自由 度 , 也就是说同一楼层处任一点(乓 , 外 , 乓)的位移均可用某一点(x 0 , y 0 , z 0)的位移来表示 (竖 向位移除外) . 这样 ,设结构 共有N条结线 ,考虑 刚性楼板后的总结线 自由度为 d = 气 w。0 0 v l 咋与I T (12) 3 . 质量矩阵和惯性力势能的推导 在图1所示的板条单元中 , 令体密度为P , 板厚为t , 则板条单元的动能为: 、 . 产、 .产 飞 4 1.,.1了.、 了 . 、 : 二 犷 . 咨浏护 + 护 + 们 d;d, J一。J一。 2 用向量表示为 r 二J - a o奋“ “。可d ;d, 将式(7 ) 合成一个式 汀订万 T= I万J 式中 0 0 戈 0 从 00 00 从 0 0 U 0 从 0 从从 O 0 丛 凡 0 0 r .e e . .I .e e .L 一一 N 将式(14)对时间求导后代人式(1 3)中有: : 一二 J : a合 对面N, 了 N, “ , d万夕 、 ./、, 产 .、 曰 尹 O ,.二,1 了.、Z甩、 f l 戒 r :网 J “ l 一2 一一 泞 d 口 rl , 份 、., 川1 . _,_ _ _ _ 份 _ ! . td (! . 二洲口b刀j l刀Jd雪) td 一 止 一 1 乙 由此 , 可得板条单元在局部坐标下的质量矩阵 、 = f , 。b NrxN】d古 坐标变换后 , 可得整体坐标下的单元质量矩阵 : IM e = 月【 M T - (17 ) 将单元质量矩阵集成 , 即可得整个结构的质量矩阵【M . 对于楼板质量 , 可以将其沿高度方向连续化 , 并将其转换到四周的墙体中 , 与墙体质量一 3 8工程力学 同推导即可 . 已知结构的质量矩阵后 , 即可求惯性力q , 和惯性力势能 心 . 令 d , 表示地震加速 度 , d表示结构相对于地面的加速度 , 则结构的绝对加速度为 d + d : , 故惯性力务 可表示 为: 叮 , =一M( d + 似 g ) 惯性力势能 玲 为: 心 =一f; 似 r 匆 , 。= f ; 似 了M ( “ + “ : )d 。 (18) 4 . 动力方程的推导 在求得应变势能U和惯性力势能玲后 , 将二者相加 , 得势能泛函n : 二 = 二 + 玲 = 鲁 f 1 (似 :, 3】 似 , + 。 了, 21、 . 2 + 似 :, 11似z+ 似 , 4,、 + .一 d r A,似 )d 。+ f , 似 r 川(夕 + 、“ : )d 。 (19) 对势能泛函n , 一种处理方法是直接对其变分 , 得常微分方程组 , 然后按有限元线法的处 理方法求解 . 本文 为了简单起见 , 采用另一种方法 , 即将【d 中每一分量心均展开为位移形 状函数的级数形式 : 心 二 艺孺( t )几(功 (2 0) 式 中 , 孺 (功为位移变量心的第i个位移形状函数, t = 1一n , n 为所取级数项数;孺(O为心中 关于时间t的分量 , 为待求量;m 二1一几 , I L为总自由度数 . 位移向量d可表示为: d = = 艺B f l夏不 ( ) (2 1) 式中【 B f ,= 苗吧(厂 : (功人 (功 几 (功) 将式(2 1)对叮或时间t求导后 , 代人式(19 ) , 经整理后 l ,得 _ 1 , _ 、,_ _ _ _ _ _ _ _ _ 二 _ _ . _ 、, _ 、, _ 、 , _ _ _ _ 二 _ “ 二 百 t了全 (11A lj十11Azj+ 了 A 3)+11A 4)+ 11A ,J )戈1 + tl 全 11材Jll 圣 + 乃 r B Z五少 J . = 乃 r T K 乃 + 乃 r 7 M九+乃 r BZy夕 g (22) 式中 , 乃 r= 式 r 伍 r 兀r , 。 为所取级数项数 . 将式(22)对T变分 。 一 圈 r 粤(周 + 周 r )乃 + 啊夏 九 + 。绷夕 , Z 令犯 = 0 , 由娜 r 的任意性得: 粤 (:二 + 【 二 r )。 + 【 训 , + 【 , 训 砰 : o ( 2 3) 筒体结构连续化模型的弹性动力时程分析 令幻 一 喜 ( 二+二l r ) , 、一* 艺 F( t)= 一B Z五了1d : 、.、产、 了月呀J , 了 .、了 .、 则式(2 3)变成 : MT( t)+ 幻T( t)= F(t) 上式 中不包含阻尼项 , 加上阻尼项【C T ( t ) , 则上式变为: MllT( r)+ CT(t)+幻T( t)= F(t) 式 中 , 阻尼矩阵【C 可取为【Ml和l幻的线性叠加 : C = 试M+八K (26) 其中 , 线性组合系数 a , 刀与各频率下的阻尼比有关1 2 . 动力方程组(2 5)取增量形式可表示为: MAT + Cr + 幻乃 = 厂(t) (27 ) 对式( 27 ) 运用线性加速度法或附l so n 一 e法 , 可求得每一个时间间隔点气的乃 , 再由式 ( 2 0 )可求得相应时刻的位移d . 三 、 算例分 析 例题图3为一个正方形的等截面筒体结构 ,结构 尺寸见图 。 弹性模量E为2 . 4 、 10 1 ” 牛咪 2 , 泊松比产为0 . 3 3; 结构的材料密度取 为2 . 5 、 1护千克咪3 , 取层高h为3米 ,楼板厚 为0 . 1 2 米 , 地震波沿x方向作用于结构 . 求:( a )取E I . Ce n t r 。波作用于结构 , 位移形状函数n分别取4 项或5项时的位移反应比较;伪) 分别取E l . Ce nt r o波和M 如c o 波作用于结构时的位移反应比 较 . 计算时如图3所示将结构划分为4个单元, 4条结线 . 对水平位移 u , w 和转角0 , 位移形状 函数关(力取 为悬臂 梁的振型;对竖向位移v , 位移形状函数取为悬臂杆纵向振动的振型函 数 . 阻尼矩阵【Cl的计算与结构的频率有关 , 该筒体结构的各阶平动频率列于表1; a , 刀值见 表2 4 。 l l l l l I I I I I I I I I I I I I I I l l l l l I I I I I l l l “, ! ! ! ( ( ( ( (!) ! ! ! 卜卜卜一 l l l! ! ! / / / / / ! ! ! ! ! / / / / / 声 , ,扭 扭 . . . . . . . . . 卜卜卜卜 - - - . . . . . . . . . 卜卜卜卜 - 一一 著 溉 L L L l门门 田田田田田田 O O O O O, , , , , , , “ 厂厂 曰曰 三 心 协 r, 图 3 4 0工程力学 表1筒体结构的各阶平动频率 表2 【C中线性组合系数a和刀 地震波加速度峰值均取城 1以 二14 9 . 9伽 , 时间步长左取为0 .0 1秒 , 共计算了8秒 . 对情形( a) , 结构的位移反应见图4 、 图5和图6 . .,n甘.、 O 月 、乙 , - l 1 1 . : 0 八U 0 00 t (秒) 图4结构顶点劣方向的位移时程曲线 麟 即 7 0 6 0 : 5 0 4 0 , 3 0 2 0, l 0 层数 (米) 。一。 . 4,7。 “ , , , , 一应 、 ,。一、 h 图s x 方向的最大楼层位移图6 x 方向的最大层间位移 ( h为层高) 由图4 一图 6的位移反应曲线可知 , 当位移形状函数分别取4项和5项时 , 结构的位移反应结 果很接近 。 说明高层筒体结构在地震反应 中起主要作用的是结构 的前几阶振型 , 高阶振型 影响较小 . 同时也说明 , 本文将位移量展开为位移形状函数的级数形式 , 并取有限项数的这 筒体结构连续化模型 的弹性动力时程分析 种方法是可取的 . 对于情形伪) , 结构的位移反应见图7 、 图8和图9 . 顶点位移 1 . 107 0 . 16 6 图7结构顶点x方向的位移时程曲线 层数 tE I Ce nt ro 波 图s x 方向的最大楼层位移 图g x方向的最大层间位移 ( h为层高) 由图7 一图9可 以看到尽管所取地震加速度峰值A 相 同 , 地震波作用时间也相同 ,但结 构在Moc o波作用下的地震反应要远远大于在E I . Ce nt ro 波作用下的地震反应 . 这是因为 , 本题所求结构的基本自振周期很大 , 达3秒多 , 属于柔性结构 , 而Moc o波的特征周期也很大 , 达2秒 , 二者比较接近 , 容易形成主周期的大幅度振动 , 因此位移反应很大 , 而对于E I . Cent r O波 , 它的特征周期只有约0 . 3 一0 . 4秒 , 与结构的基本自振周期相差较大 , 不容易形成主周期的大幅 度振动 , 只产生反复高频振动 , 因而位移反应较小 . 4 2工程力学 四 、 结论 本文的时程分析方法具有以下一些特点 : l 、 在本文的时程分析中 , 首次采用了连续的板条单元模型作为结构的振动模型 . 该模 型不同于以往的各种 离散模型 ,采用的假设较少, 能较好地反映结构的实际情形 . 2 、 本文的动力时程分析方法是空间分析方法 , 不仅可以处理地震波沿水平方 向作用时 的地震反应情形 , 而且可以处理地震波沿竖直方向作用时的地震反应情形 . 由本文的算例分析 , 可以得到如下一些结论: 1 、 对于高层建筑结构特别是形状比较规则 、 对称的结构 , 结