数学建模课程建设与竞赛辅导(天津)-杨启帆.ppt

数学建模课程建设 与竞赛辅导 浙江大学数学系杨启帆 2011.7.2,（一）浙江大学开展数学建模教学和组织参加各种竞赛的情况简介 1982-1995 课程开设，数学系限定性选修课，教材建设，1990年出版“数学模型” 1995-1999 扩大受教育面，开设各种必修课、选修课 ：（1）竺可桢学院混合班必修课（今年起改为荣誉课程）（2）竺可桢学院工程高级班 （3）理科基地班必修课修课 （4）全校性选修课 （5）数学系必修课（6）研究生学位课,1999-2004 创建名牌课程与数学建模实践基地 国家理科基地创建精品课程项目（1999年） 国家理科基地创建优秀课程项目（2001年） 获浙江省教学成果一等奖（2000年） 获国家级教学成果二等奖（2001年） 被浙江省教育厅授予首批省级精品课程（2003年） 被教育部授予首批国家级精品课程（2004年） 数学建模方法与实践被立项为国家级教学团队（2008）,我们的教学方法,普及教育：为新生举办讲座，激发学生的兴趣 课堂教学：为二三年级学生开课（周学时4-5不等） 课堂教学与学生建模实践活动相结合（SRTP项目，课外课题研究），荣誉课程建设（三个转变） 数学建模教育与培训组织学生参加国内外大学生数学建竞赛相结合（校内竞赛，全国竞赛、国际竞赛等） 教学内容改革与教材建设（包括教材建设、学生建模基地与建模网站建设、教改项目的执行等） 兼顾创新性人才的培养与应用型人才的培养（竺可桢学院-尖子学生的培养、全校选修-普及、独立二级学院-应用型人才培养、研究生研讨班） 开设研究生学位课，开展较高层次的课题研究,教学效果与教改收获,学生综合素质与科研能力得到了有效提高（每年有上千名学生听课、提交科研论文或研究报告数十篇，300多个队参加学校数学建模竞赛，大约25-30个队参加全国竞赛、10个队参加美国竞赛，学生参与的积极性十分高涨，这些学生的素质与能力在科研实践中迅速提高） 增强了学生学习数学知识和专业知识的兴趣（培养兴趣、提高能力、增长知识是大学教育的主要任务） 为更高层次的人才培养输送了大批尖子学生（为国内外著名高校和科研机构提供了优秀生源，其中不少原先只是中等生） 培养了学生合作研究的习惯,学生参赛获奖（1999年以来） 美国竞赛：特等奖4项（99、03、10、11）其中 INFORMS（美国运筹与管理学会）3项 ，国际一等奖 52 项 （2000、2001全部一等奖），二等奖 30 项 全国竞赛：一等奖 34项（含高教社杯），二等奖 46 项 出版教材： 除较早期和边馥萍老师合作编写的“数学模型”外还有： （1）数学建模，1999（省重点建设教材），国家十五规划教材，2006年6月出版，浙江大学出版社 （2）数学建模竞赛-浙江大学学生获奖论文点评，2005年7月出版，浙江大学出版社 （3）数学建模，教育科学十五规划研究成果，2005年5月出版，高等教育出版社 （4）数学建模案例集，2006年7月出版，高等教育出版社 另有几本正在编写中,（二）教学中注意对学生能力的培养,在介绍经典模型的同时，讲解基本技巧：经验方法、量纲分析、比例关系的利用、参数选取、房室系统、集中参数法与分布参数法、工程师原则、统计筹算率等等 基本技巧的灵活应用与经典模型的推广：从人口模型到多种群生态系统模型 从P-P模型到大鱼吃小鱼、小鱼吃虾米,将课堂教学、课外实践、SRTP（毕业设计）等项目指导、研讨班、竞赛培训及组织竞赛有机结合起来，形成系列化教学体系。（春节后开课、5月初校竞赛、暑假后举办1次研讨班、暑假自行准备竞赛、美赛前举办1次研讨） 加强学生实践环节的指导（鼓励学生研究自己感兴趣的问题，如：蝉的共鸣、紫金港校区路灯优化设计、杭州黄金周旅游接待等）,注意对学生综合素质的培养（冰冻三尺，非一日之寒，功夫在平时） （观察与发现能力），如： （例）数字的黑洞现象 任取一个能被3整除的数，如213 按如下运算： 猜测自然也有可能猜错，例如欧拉方，费马数 （3，5，17，257,65537）等被猜错-猜测须证明,（例1） 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然 然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早 了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他 的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他 比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时 间？,发散性思维能力的培养,似乎条件不够哦 。,请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设 ？,设砖块是均质的，长度与重量均 为1，其 重心在中点1/2砖长处，现用归纳法推导。,由第 n块砖受到的两个力的力矩相等，有： 1/2-Zn= (n1) Zn 故Zn =1/(2n)，从而上面 n块砖向右推出的总距离为 ，,故砖块向右可叠至 任意远 ，这一结果多少 有点出人意料。,发散性思维要有意义，科研要有目的，要尽量应用已有的学科知识 ，但学科知识的应用有时是意想不到的。 （例）循环图的连通性与gcd(a,n)=1之间的关系）。举例gcd(2,7)=1，gcd(2,6)=2 希尔密码设计 古典密码不能改变字母出现的频率 利用矩阵与向量相乘运算 困难：逆矩阵不能用于解密 想办法克服困难。,用矩阵A左乘各向量加密（关 于26取余）得,得到密文 JXCPI WEK,观察猜测证明，科学研究的重要途径之一,（例1）设有一个半径为 r 的圆形湖，圆心为 O。 A、B 位于湖的两侧，AB连线过O，见图。 现拟从A点步行到B点，在不得进入湖中的限 制下，问怎样的路径最近。,逻辑推理与证明能力,猜测证明如下：,（例2）（交换座位奇偶数校验）,（问题的提出）一位老师正在上英语课，教室里共有九排座位，每排有7把椅子，座位上坐满了学生。为了增加口语练习机会，老师要求学生变换一下座位，但该老师要求每位同学在交换以后必须坐在原先座位的前后左右4个座位之一上，问学生应当怎样交换座位？ （解答）这一问题是无解的，教室里共有63个座位，如果你给座位编一下号（要连续编号），你会发现原先坐在奇数号上的学生交换以后必定坐在偶数位上，反之，原先坐在偶数位的同学交换后必定坐在奇数位上，但奇数位椅子和偶数位椅子数量不一样，所以无法交换。,（例3） 拟将一批尺寸为124的的商品装入尺寸为666的正方体包装箱中，问是否存在一种装法，使装入的该商品正好充满包装箱。,解 将正方体剖分成27个222的小正方体，并 按下图所示黑白相间地染色。,再将每一222的小正方体剖分成111的小正方体。 易见，27个222的正方体中，有14个是黑的，13个是白的（或13黑14白），故经两次剖分，共计有112个111的黑色小正方体和104个111的白色小正方体。 虽然包装箱的体积恰好是商品体积的27倍，但容易看到，不论将商品放置在何处，它都将占据4个黑色和4个白色的111小正方体的位置，故商品不可能充满包装箱。,例如圆周率的计算（可以有多种方法：古典方法、分析方法、其他方法算法设计、计算速度，有效数字的概念等等，具体从略）,（计算能力 ）,要求学生会建模必须让他们掌握建模基本技巧 在介绍经典模型的同时，讲解基本技巧：经验方法（数据处理）、量纲分析、比例关系的利用、参数选取、房室系统、集中参数法与分布参数法、工程师原则、统计筹算率等 基本技巧的灵活应用与经典模型的推广： 从人口模型到多种群生态系统模型,建模基本技巧的掌握,（三种基本的双种群模型说明） 从P-P模型到大鱼吃小鱼、小鱼吃虾米,（三）竞赛准备及注意事项（供参考）,组队应体现取长补短，准备应有分工 （数学、算法、编程、软件使用等）。 做题不在多而在精（我校一般要求每类至少各做2题）。 不同基础的学生应当用不同方法培训 在做题过程中培养快速掌握未学过的知识的能力 （MCM99C) 分析对比获奖论文的各种做法： （1）找出每一篇的闪光点 （2）学习论文写作方法（各队可养成自己的写作习惯） 善于随时总结，找出出本队弱点，及时弥补盲点。,（四）指导竞赛的几点经验教训,1. 认真选题 （例1）CMCM97(零件参数设计与截断切割） （例2）MCM2004（quick pass与校园网) （例3）MCM2010（A棒球杆、B系列犯罪预测、C太平洋污染） *有时题目本身有一定的局限性：登机问题，SARS的预防等，基础较好的队应尽量避免做这种题目。,2. 充分查阅资料 （例1） MCM2000A题（自行车竞赛资料、自行车资料及赛场资料等） （例2） MCM2004A题（指纹鉴定与DNA鉴定)指纹鉴定的原理、指纹的收集等 （例3）小行星撞击地球 陨石坑形状、南极的地貌与环境、地震与海啸、南极附近海域的生态状况等，在此基础上找出解决问题的主攻方向,3. 解答要符合题意，要有清晰的思路，要有总体安排 （例1）MCM2004B(quick pass) （例2）上海世博会的影响力（1. 如何采集数据，2.如何通过对比加强说服力）,4. 要找准突破口，使研究步步深入 例1：MCM99C题（污染物传播方式地下水水平面方程数值解，关于打井方法的建议） 例2：小行星撞击地球：陨石坑形状、南极的地貌与环境、地震与海啸、南极附近海域的生态状况等，在此基础上找出解决问题的主攻方向 例3：蝉的共鸣,怎样步步深入 （一个简单实例）崖高的估算,假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。,方法一,我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。,令k=K/m，解得,代入初始条件 v(0)=0，得c=g/k，故有,再积分一次，得：,若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h73.6米。,听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间,进一步深入考虑,不妨设平均反应时间 为0.1秒 ，假如仍 设t=4秒，扣除反应时间后应 为3.9秒，代入 式，求得h69.9米。,多测几次，取平均值,再一步深入考虑,所谓的魔方是指由1n2这n2个正整数按一定规则排列成的一个n行n列的正方形 。n称为此魔方的阶 。,Drer魔方：4阶，每一行之和为34，每一列之和为34，对角线（或反对角线）之和是34，每个小方块中的数字之和是34，四个角上的数字加起来也是34,一个数学游戏的研究 （一）Drer魔方,多么奇妙的魔方！,铜币铸造时间：1514年,构造魔方是一个古老的数学游戏，起初它还和神灵联系在一起，带有深厚的迷信色彩。传说四千二百多年前（公元前2200年），因治水出名皇帝大禹就构造了三阶魔方（被人们称“洛书”），至今还有人把它当作符咒用于某些迷信活动，大约在十五世纪时，魔方传到了西方，著名的科尼利厄斯阿格里帕（1486-1535）先后构造出了39阶的魔方 。,如何构造魔方,奇数（不妨n=5）阶的情况,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,魔方数量随阶数n增长的速度实在是太惊人了！,同阶魔方的个数,允许构成魔方的数取任意实数,允许取实数,n阶魔方A、B，任意实数、,A+B是n阶魔方,具有指定性质的魔方全体构成一个线性空间,问题已发生了实质性变化,注：刻画一个线性空间只需指出它的维数并求出此线性空间的一组基底,松驰问题的讨论,显然， Drer空间（简称D空间）中任何一个元素都可以用Q1，Q2，Q8来线性表示，但它们能否构成D空间的一组基呢？,5. 要区分问题与实例 （例）灾情巡视（Multi-TSP近似算法？） 6. 算法要好 例（整理问题）给定n个实数a1, a2, an，要求将它整理成由小到大排列（或由大到小排列）的顺序：b1, b2，bn，b1 b2 bn。 （算法比较）多项式算法与指数算法，P问题与NP难题，（计算量的估计）。,7. 算法思想的叙述应注意简单清晰 （例）CMCM99A（自动化机床管理） 8. 论文是研究成果，要反复修改 写论文要早开始 论文要写得像论文 论文的各部分都要注意到 9. 赛后要反思，认真总结本队参赛的经验教训。,（阅卷中常见的一些问题） （1）假设提得不好（CMCM96B洗衣机节水的阅卷，餐馆洗碗） （2）论文摘要未包含主要研究结果； 有头无尾 （3）问题重述变成重抄题目 （4）建模部分变成模型罗列（Malthus等模型各有各的用处） （5）算法叙述混乱、不精炼（对比TSP） （6）文章杂乱无章、错字连篇，一看就知道未好好组织，未留有充分时间仔细修改,据不完全统计，每年都有五六十名我们指导的学生进入欧美名校深造，更多的学生被保研或考取研究生，其中已涌现出一批出色人才，开始显示出该课程教学的人才培养效益。 （附）学生能力提高的一些实例 （例1）2003年毕业的混合班学生吴嘉之担任世界顶尖级编程竞赛裁判，2002年成为Top Coder兼职雇员，2007年被聘为Top Coder 中国部技术副总裁，被公司评为“有史以来最多产而最成功的成员之一”。 （例2）2004年参赛学生刘若鹏，毕业后到杜克大学留学，26岁任美国某研究院院长，率队成功研制出“隐形衣”，被“科学”杂志刊登，