向量组的最大无关组与秩.ppt

3.4 向量组的最大无关组与秩,一、向量组的最大无关组与秩,二、矩阵的秩与向量组的秩的关系,三、向量组秩的一些结论,一、向量组的最大无关组与秩,定义3.5 设向量组 A(含有有限个或者无穷多个向量) , 若在A中存在 r 个向量1,2,r , 满足：,(1) 向量组 A0 : 1,2,r 线性无关,(2) 向量组 A 中任意 r+1 个向量(若存在 r+1 个向量的话)都线性相关,则称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大线性无关向量组 (简称最大无关组).,定义3.6 向量组 A的最大无关组所含向量个数称为向量组的秩,记作 RA .,向量组 1,2,m 的秩也记作 R(1,2,m ) .,几点说明:,1. 只含零向量的向量组没有最大无关组.,规定它的秩为0.,2. 含有m个非零向量的向量组的秩 R 满足 1 R m.,3. 向量组1,m 线性无关, R(1,m ) = m .,4. 向量组1,m 线性相关, R(1,m ) m .,定理3.13 矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩.,二、矩阵的秩与向量组的秩的关系,即: 利用矩阵的秩可以求向量组的秩.,列向量组的最大无关组具体求法: 将矩阵 A 用初等行变换化为行阶梯形矩阵 B, 即可找出 B 的最高阶非零子式所在的列, 其对应于A 所在的列向量就是A的列向量组的一个最大无关组.,例1 已知向量组 1=(1, 2, 3, 4)T, 2=(2, 3, 4, 5)T, 3 =(3,4, 5, 8)T, 4=(4, 5, 6, 7)T, 求1,2,3,4 的秩及一个最大无关组,解,A=(1,2,3,4),rank(1,2,3,4) = rank A= 3,且 1,2,3 为向量组的一个最大无关组.,说明: 向量组的最大无关组一般不是唯一的.,例2 设矩阵,求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组, 并把不属最大无关组的列向量用该最大无关组线性表示.,解,记 A=(1,2,3,4), 1,2,3 为列向量组的一个最大无关组,如何把4 用 1,2,3 线性表示?,只需将A再化为行最简形矩阵.,三、向量组秩的一些结论,3.2的定理3.6中矩阵的秩均可改为向量组的秩.,定理3.14 向量组 1, 2, , s 能由向量组 1, 2, , m 线性表示的充分必要条件是,R(1, 2, , m ) =R(1, 2, , m, 1, 2, , s) .,最大无关组的一个等价定义:,定理3.15 设向量组 A0 : 1,2,r 是向量组 A 的一个部分组,且满足:,(1) 向量组 A0 线性无关,(2) 向量组 A 的任一向量都能由向量组 A0线性表示,则向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组.,证明 设 1, 2, , r+1 是组A中任意r+1个向量,由(2)可知这r+1个向量能由向量组 A0线性表示,从而有: R( 1, 2, , r+1) R(1, 2, , r ) =r,所以 r+1个向量1, 2, , r+1 线性相关,故向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组.,定理3.16 向量组 A和它的最大无关组 A0 是等价的.,证明 因为向量组 A0 是组A的一个部分组 ,故 A0组总能由A组 线性表示,由最大无关组定义可知: 对于A 中任一向量 ,r+1个向量 , 1, 2, , r 线性相关,而 1, 2, , r 线性无关,可知 能由1, 2, , r 线性表示,即 A组能由A0组线性表示,所以 A组和A0组等价.,定理3.15 设向量组 A0 : 1,2,r 是向量组 A 的一个部分组,且满足:,(1) 向量组 A0 线性无关,(2) 向量组 A 的任一向量都能由向量组 A0线性表示,则向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组.,定理3.16 向量组 A和它的最大无关组 A0 是等价的.,说明 定理3.15和定理3.16中的向量组A所含有的向量个数可以是有限个也可以是无穷多个.,在3.中, 我们在限制向量组只含有限个向量的条件下得到定理3.5, 3.6, 3.7,现在我们就可以利用向量组的最大无关组作过渡去掉这个限制, 可将定理3.5, 3.6, 3.7推广到一般情形,现推广定理 3.7, 得：,定理3.17 若向量组 B 能由向量组 A 线性表