向量空间及线性方程组的解结构.ppt

向量空间及 线性方程组的解结构,. 向量空间的基本概念,定义1. 设V是一个由n维向量构成的一个非空集合，若V对向量的加法运算和数字与向量的乘法运算封闭，则称V是一个向量空间。,所谓V对向量的加法运算和向量与数字的乘法运算封闭是指： 对于V中的任何元素, ，以及任何一个实数， + 和仍然属于V。,若U是V的一个非空子集，且U也是一个向量空间，则称U是V的子空间。,1). 所有的n维向量组成的集合Rn是一个向量空间.,2).设 = (a, b, c)是一个非零的三维向量,L() = (x, y, z)| (x, y, z) = (a, b, c), R,(x, y, z)| (x, y, z) = (a, b, c) + (1, 2, 3), R,3).设 = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3)是两个线性无关的三维向量,L() = (x, y, z)| (x, y, z) = + , , R,(x, y, z)| (x, y, z) = + + (1, 2, 3), , R,1. 向量空间的例子,4). 设1, 2, , m是一组n维向量,2.向量空间的基和维数,设V是一个向量空间，1, 2, , rV若满足：,1) 1, 2, , r线性无关,2) V中的任何一个向量皆可以被1, 2, , r线性表出,则称1, 2, , r是V的一个基，并称V是一个r维的向量空间，或称V的维数是r.,若V=0，则称V的维数是0,例1 设,证明：1, 2, 3是R3的基，并把1, 2用该组基线性表出,证明：,对矩阵(1, 2, 3, 1, 2)实施初等行变换,从中可以看到1, 2, 3线性无关，并且：,二. 线性方程组的解结构,1. 线性方程齐次组AX=0的解向量组成的集合V = X = (x1, x2, , xn)T| AX = 0构成Rn的一个子空间,2. 线性齐次方程组的基础解系,设,设A的秩r n，且前r个列向量是它列向量组的一个极大线性无关组。,即：,令xr+1 = c1, xr+2 = c2, , xn = cn-r,则:,简记为:,显然，J1, J2, , Jn-r是线性无关的，且方程组的任何一个解向量皆可以被它线性表出。 称X=c1J1+ c2J2 + +cn-rJn-r为该齐次线性方程组的通解。 称J1, J2, , Jn-r是该线性齐次方程组的基础解系。 该齐次线性方程组的基础解系就是向量空间V的基，故V是一个n-r维的向量空间。,例2 求齐次线性方程组,的基础解系。,解：,从而,令：,得该齐次线性方程组的通解：,由此可知：,是该齐次线性方程组的基础解系。,例3 证明,也是上面齐次线性方程组的基础解系,证明：验证向量组1, 2与1, 2相互等价便可,由R(1, 2) = R(1, 2) = R(1, 2, 1, 2), 得知向量组1, 2和1, 2等价。,即1, 2也是上面齐次线性方程组的基础解系,3. 线性非齐次方程组的解结构,1) 若X = 1和X = 2皆是非齐次线性方程组AX=B的解，则X = 1 - 2必然是齐次线性方程组AX=0的解,2) 若X = 是非齐次线性方程组AX=B的解; X = 是对应的齐次线性方程组AX=0的解，则X = + 仍然是非齐次线性方程组的解,3) 非齐次线性方程组的通解等于所对应的齐次线性方程组的通解加上非齐次线性方程组的一个特解,证明：,设1, 2, , n-r是所对应的齐次线性方程组AX=0的基础解系，是非齐次线性方程组AX=B的一个特解,一方面，由2）得知：对于任何一组数c1, c2, , cn-r, X = c11 + c22 + + cn-rn-r + 是非齐次线性方程组AX=B的解,另一方面，若X = 是非齐次线性方程组AX=B的一个解，则由1）得知X = - 是所对应的齐次线性方程组AX=0的一个解,从而存在一组数c1, c2, , cn-r使得 - = c11 + c22 + + cn-rn-r,即： = c11 + c22 + + cn-rn-r + ,综上所述，非齐次线性方程组AX=B的通解为:,X = c11 + c22 + + cn-rn-r + ,例4. 求方程