材料力学弯曲变形.ppt

第五章 弯曲变形,5.1 挠度和转角 梁变形基本方程,弯曲变形基本公式,挠度： 横截面的形心在垂直于轴线（x轴）方向的线位移，用 y 表示,转角： 横截面在 xy 平面内的角位移,用表示,梁变形后的轴线，称为挠曲线,挠曲线方程,在小变形下：,梁变形基本方程（微分方程）,5.1 挠度和转角 梁变形基本方程,由基本方程两次积分:,式中积分常数 C1 、C2 可由梁约束处的已知位移确定，这些已知位移条件称为约束条件,铰支座处挠度为零 ( y =0 ),固定端处挠度和转角均为零( y = 0 = 0 ),挠度方程和转角方程,分段描述的挠曲线在交接处应满足的位移条件称为连续条件,约束条件和连续条件统称为边界条件,利用微分方程和边界条件，直接积分求得挠曲线方程而计算梁位移的方法称为积分法，积分法可得到完整的位移分布，但有时较麻烦。,例:求图示悬臂梁的挠曲线方程及转角方程，并求自由端的挠度和转角。,解：列出梁的弯矩方程,由基本方程,约束条件：,可求得：,代入上式，整理得：,例:求图示简支梁的挠曲线方程及转角方程。,解：求弯矩方程较麻烦，可直接用四阶微分方程积分求解,连续积分四次,位移边界条件：,可求得：,力边界条件：,则有：,例:求图示简支梁的挠曲线方程及转角方程，并求最大挠度| y |max、最大转角|max和跨中挠度y (l /2)。设 a b 。,解：分段列出梁的弯矩方程,分段对基本方程积分,由连续条件：,可求得：,由约束条件：,例:求图示简支梁的挠曲线方程及转角方程，并求最大挠度| y |max、最大转角|max和跨中挠度y (l /2)。设 a b 。,转角为单调函数，最大值在两端,将积分常数代入，整理得：,当 a b 时，有,例:求图示简支梁的挠曲线方程及转角方程，并求最大挠度| y |max、最大转角|max和跨中挠度y (l /2)。设 a b 。,相差不到 3%,令,可求得：,则：,当,当,当简支梁挠曲线无拐点时，可用跨中挠度代替最大挠度。,例:求图示简支梁的挠曲线方程及转角方程，并求最大挠度| y |max、最大转角|max和跨中挠度y (l /2)。设 a b 。,用奇异函数描述的弯矩方程,则：,由,由奇异函数的定义，有,得,挠曲线方程,5.2 叠加法求梁的变形,对于小变形条件下的线弹性梁，可应用叠加法求变形，常用于指定位移的计算,例:求图示简支梁的挠曲线方程。,q,解：利用集中力挠曲线方程，采用叠加法求解,b,当 a = 0 ，有：,例:图示简支梁的转角A 、B 和跨中挠度 yC 。,解：所求位移等于两个力单独作用时相应位移的叠加,查表,例:图示简支梁的转角A 、B 和跨中挠度 yC 。,例:图示简支梁的转角A 、B 和跨中挠度 yC 。,记跨中作用集中力 F 时，跨中挠度(最大挠度)为 yC0 ：,例:求图示变截面悬臂梁自由端的挠度 yC 。,A,B,C,2EI,EI,解：先不考虑 AB 段变形(刚化)，计算 C 对 B 的相对挠度,解除 AB 段刚化，并令 BC 段刚化，计算 C 由于 AB 段变形而产生的牵连位移,例:求图示变截面悬臂梁自由端的挠度 yC 。,A,B,C,2EI,EI,类似，若要求自由端转角，有：,这种分析方法称为梁的逐段刚化法,5.3 简单超静定梁,A,B,q,例：作图示梁的内力图,解：一次超静定,多余约束处的位移条件,基本方程(补充方程),3ql/8,5ql/8,9ql2/128,ql2/8,令,令,简支梁:,悬臂梁:,例：求图示组合结构中杆1(EC 杆)和杆2(FD 杆)的内力,解：一次超静定，取静定基,位移协调条件：,其中：,用叠加法求AB 梁上 D 处的挠度 yD,位移协调条件：,其中：,位移协调条件：,其中：,位移协调条件：,其中：,求杆1和杆2的内力,当 EI E1A1E2A2 ，AB视为刚性梁,当E1A10 ，为静定结构,同理，当E2A20 ，为静定结构,当 E1A1 和 E2A2 趋于无穷，为连续梁,例：已知长度为 l 的等直单跨梁的挠度方程为,(1)求梁内绝对值最大的剪力和弯矩 (2)分析梁的支承和受载情况,解：由梁的近似微分方程及梁的微分关系，可知梁内无集中载荷，且有,(1)令,边界处，有,剪力方程在梁内为单调函数,边界处，有,经比较，梁内绝对值最大的剪力和弯矩分别为,例：已知长度为 l 的等直单跨梁的挠度方程为,(1)求梁内绝对值最大的剪力和弯矩 (2)分析梁的支承和受载情况,梁内有线性分布的载荷,边界处，有,x = 0 处，可能为铰支或集中力作用处,(2)边界处，有,解：,x = l 处，可能为铰支或固定,例：已知长度为 l 的等直单跨梁的挠度方程为,(1)求梁内绝对值最大的剪力和弯矩 (2)分析梁的支承和受载情况,边界处，有,梁内有线性分布的载荷,x = 0 处，可能为铰支或集中力作用处,(2)边界处，有,解：,x = l 处，可能为铰支或固定,5.4 梁的刚度条件 合理刚度设计,梁的刚度条件:,对一般工程构件，如果满足强度要求，通常刚度条件也能满足。但在某些情况下，刚度条件有时也可能起控制作用。,合理刚度设计的措施：,选择合适的截面形状,合理选择材料,梁的有效加强,尽量减小跨度,合理安排梁的约束和加载方式,例：一工字钢简支梁，跨中受横力F