材料力学12能量法.ppt

1,12 能量法,2,12 能量法,12.1 应变能与余能,12.2 卡氏定理,12.3 最小势能原理,12.4 瑞利-里兹法,3,12.1 应变能与余能,一、应变能,(a) 轴向拉（压）杆,1. 线弹性体,（1） 基本变形形式,利用应变能 在数值上等于外力功W，可得,4,(b) 扭转,12.1 应变能与余能,5,(c) 弯曲,纯弯曲,横力弯曲,12.1 应变能与余能,6,可以把应变能统一写成,式中，P为广义力，可以代表一个力,一个力偶,一对力或一 对力偶等。D为广义位移，可以代表一个线位移,一个角位移,一对线位移或一对角位移等。,12.1 应变能与余能,7,（2） 组合变形（用内力形式表示的应变能）,M(x) 只产生弯曲转角,小变形时不计FQ 产生的应变能，,N (x) 只产生轴向线位移,M t(x) 只产生扭转角,12.1 应变能与余能,8,对于dx 微段， N(x) , Mt(x) , M(x) 均为外力。略去高阶微量后，dx段的应变能为,杆的应变能为,12.1 应变能与余能,9,因为是弹性体，所以应变能在数值上仍等于外力功，即 ，但必须注意 以及 的非线性关系，不能再用线弹性体的公式计算外力功。,（1） 轴向拉伸与压缩,2. 非线性弹性体,应变能为,应变能密度为,12.1 应变能与余能,10, 以上两式中，分别是以D和e 为自变量， ， 。所以 为位移状态的函数。, 因为 ， 为非线性关系，上两式积分后得不 到1/2的系数，只能根据 或 的函数关系进行积分。,应变能密度,式中， 为扭转力偶矩， 为扭转角， 为扭转切应力， 为 切应变。,注意：,（2） 扭转,应变能,12.1 应变能与余能,11,式中， 为外力偶矩， 为弯曲转角， 为正应力， 为线应变。,应变能密度,应变能和应变能密度之间的关系为,式中，V 为体积。,（3） 梁,应变能,12.1 应变能与余能,12,二、余能,图 a为非线性体弹性体的受拉杆，其P D和se关系如图b,c 所示。,（1）余功的定义为,12.1 应变能与余能,13,其大小为曲面OP1a的面积如图d所示。Wc 和外力功W 具有相同的量纲，且Wc 为矩形OP1aD1 的面积与曲面OaD1 的面积（W）之差（图d）,故称Wc 为余功。Wc只有几何图形上的意义，无物理概念，即没有什么力作的功为Wc 。,12.1 应变能与余能,14,由上述，D= f (P ),e =f (s )。所以Vc= f (P ) 为受力状态的函数。,（3）线弹性体（图e）,U和 Uc 数值相等，但概念和计算方法不同，即 U= f (D) , Uc = f (P )。,（2）余能,12.1 应变能与余能,15,B,D,例1 已知两杆的长度均为l、横截面面积均为A、材料单轴拉伸时的 -曲线如图所示。 求：荷载 P1作用下的余能 Uc,12.1 应变能与余能,16,B,D,1,P,解：本题已知材料应力应变间的关系，故先求单位体积的余能。,12.1 应变能与余能,17,由于轴向拉伸杆内各点的应力状态相同，因此,B,D,1,P,12.1 应变能与余能,18,12.2 卡氏定理,图示梁的材料为非线性弹性体，Pi 为广义力，di为广义位移。各力同时作用在梁上，并按同一比例由零逐渐增加到最终值（简单加载）。,各力在其相应的位移上做功,并注意到材料为非线性弹性体，梁的应变能为,为位移状态函数。,1. 卡氏第一定理,19,假设与第 i个荷载Pi相应的位移di有一微小位移增量ddi， 而与其余荷载相应的位移,以及各荷载均保持不变。外力功和 应变能的增量分别为,（ ddi不是由Pi产生的， Pi ddi为常力做的功 ）,（a）,(b),式中， 为应变能对位移 的变化率。,12.2 卡氏定理,20,上式为卡氏第一定理。它说明，弹性结构的应变能，对 于结构上与某一荷载相应的位移之变化率，等于该荷载的值。以上推导中并没有涉及到梁的具体性质，故卡氏第一定理适用于一切受力状态的弹性体。对于线弹性体也必须把U写成给定位移的函数形式。,令,12.2 卡氏定理,则,21,2. 卡氏第二定理,图示为非线性弹性杆，Pi为广义力，di为广义位移。各力按简单加载方式作用在梁上。,梁的余能为,表明,(1) 余能定理,12.2 卡氏定理,22,令,上式称为余能定理。可用于求解非线性弹性结构与Pi相应的位移。,设第 i个力Pi有一个增量dPi，其余各力均保持不变，各位移均不变。余功和余能的改变量分别是,12.2 卡氏定理,23,(2) 卡氏第一定理和余能定理的比较,didi+ddi，其他位移均不变，所有的力均不变。,PiPi+dPi，其他力均不变，所有的位移均不变。,12.2 卡氏定理,24,续表,(平衡方程),（变形的几何关系）,12.2 卡氏定理,25,(3) 卡氏第二定理,当结构为线弹性体时，由于力P和位移d成正比，Uc在数值上等于应变能U（如图）。若把 用力表示，即,余能定理可以写成,上式称为卡氏第二定理，它是余能定理在线弹性情况下的特殊情况。仅适用于线弹性体，它将是研究的重点。,12.2 卡氏定理,26,它表明，线弹性结构的应变能，对于作用其上的某一荷载的变化率，等于与该荷载相应的位移。,注意:,组合变形（不计剪力的影响）时,也可以写成,用该式计算时，可减少计算工作量。,12.2 卡氏定理,27,例2 图a所示为一等截面开口圆环，弯曲刚度为EI，材料为线弹性。用卡氏第二定理求圆环开口处的张开量d。不计剪力和轴力的影响。,12.2 卡氏定理,28,圆环开口处的张量就是和两个F力相对应的相对线位移，即,（）,用 角表示圆环横截面的位置，并规定使圆环内侧受拉时弯矩为正，则弯矩方程及其对P 的偏导数分别为,解：,，,12.2 卡氏定理,29,结果为正，表示广义位移方向和广义力的指向一致。,利用对称性，由卡氏第二定理，得,12.2 卡氏定理,30,例3 三杆的材料相同，s = Ke1/n( n 1) ，横截面面积均为A，1, 2两杆长度为 l。用余能定理求各杆的轴力。,12.2 卡氏定理,31,解：以铰链 D 的支反力X 为多余未知力，基本静定系如图b 所示，F，X 看作基本静定系上独立的外力，,所以 Uc = Uc (P,X ) （不能含有其它未知力）,因为铰链 D 处沿铅垂方向的位移为零，应有,由该式求出X 后，再利用平衡方程求各杆的轴力。,12.2 卡氏定理,32,(1),（轴力均用P和 X 表示）,由平衡方程得各杆的轴力分别为,各杆的应力分别为,(2),(3),由 得,12.2 卡氏定理,33,结构的余能为,(4),三杆的余能密度分别为,12.2 卡氏定理,34,（4）式包含了平衡方程和物理方程，而 ，表示变形的几何关系。,由 ，得,将X 值代入（1），得,以力为基本未知量解超静定问题的方法，称为力法。,12.2 卡氏定理,35,例4 刚架各杆的弯曲刚度均为EI，不计剪力和轴力对位移的影响，用卡氏第二定理求支反力。,12.2 卡氏定理,36,解：该题为一次超静定。以铰链C的铅垂支反力X 为多 余未知力，基本静定系如图b 所示。由于 ,但是在 中，出现 (U也将出现 )，必须把,用 q , X 表示。,由 ，得,12.2 卡氏定理,37,CB, AB段的弯矩方程及其对X 的偏导数分别为,，,由 ，得,12.2 卡氏定理,38,解得 （）和图示方向相反。,（）,（）,（）,由平衡条件得,12.2 卡氏定理,39,例5 半圆环的弯曲刚度为EI，不计剪力和轴力对位移的影响，用卡氏第二定理求对称截面上的内力。,12.2 卡氏定理,40,解：沿半圆环的对称截面处截开，取两个1/4圆环为基本静定系（图b)，多余未知力为轴力X1, 弯矩X2, 剪力X3。该题为三次超静定。,(a),但由于结构与荷载均是对称的，内力也应该是对称的，但X3是反对称的，故X30，问题简化为二次超静定。半圆环的应变能只能为P，X1，X2的函数，即,12.2 卡氏定理,41,与X1，X2 相应的位移条件分别为两截面的相对线位移和相对角位移为零，即,(b),弯矩方程及其对X1，X2的偏导数分别为,12.2 卡氏定理,42,注意到基本静定系为两个1/4圆环，(b)式成为,(d),(e),将 (c) 式代入 (d) 和 (e) 式，可解得,12.2 卡氏定理,43,12.3 最小势能原理,1.势能,取结构在未受力时的状态作为参考状态，势能为,U拉杆变形过程中所积蓄的应变能；,拉杆受力后的变形。,势能的一般表达式：,这一表达式适用于任何弹性结构， 为广义力， 为相应的广义位移。,44,2.最小势能原理,当任一位移有一个微小增量时，忽略高阶微量，势能的改变量为,由卡氏第一定理 得，,上式是表示结构平衡的充分必要条件，且适用于一切弹性结构。,驻值原理,12.3 最小势能原理,45,结构平衡形态的稳定性可由下述规则判断：,取最小值，稳定的平衡；,取最大值，中稳定的平衡；,取恒定值，中性的或临界的平衡。,对于稳定平衡的弹性结构，,最小势能原理,等价于平衡条件，适用于一切弹性结构。,12.3 最小势能原理,46,12.3 最小势能原理,例6 如图所示超静定杆系中，三杆材料相同且横截面面积均为A，材料为线弹性，弹性模量为E，试求各杆应力。,解：由于对称性，E点只有铅垂位移，设为D。,3杆的应变为,其比能为,3杆的应变能为,47,12.3 最小势能原理,1、2杆的应变为,其比能为,其应变能为,该杆系结构的总应变能为,48,结构的势能为,由最小势能原理,三杆应力分别为,12.3 最小势能原理,49,12.4 瑞利-里兹法,瑞利-里兹法主要思路：,（1）用假设的变形形状近似表示变形的真实形状；,（2）用形状函数表示假设的变形形状，形状函数含有一个或多个不定的位移参数；,（3）将势能表示成上述位移参数的函数；,（4）根据势能驻值原理，令势能对每一位移参数的偏导数为零，得到一组以未知的位移参数表示的联立方程组；,（5）求解方程组，得出各个位移参数，所假设的变形形状即可得到；,（6）求出内力。,50,例7 试确定如图所示阶梯状梁中央处挠度的近似值。,解：取形状函数为,由边界条件：,于是,由对称性条件：,12.4 瑞利-里兹法,51,全梁的弯曲应变能为,将 代入：,该梁总势能为,12.4 瑞利-里兹法,52,应用最小势能原理，得,求得,12.4 瑞利-里兹法,53,例8 试用瑞利-里兹法计算如图所示两端简支阶梯状压杆的临界压力。已知材料的弹性模量为E。,解：在临界压力Pcr作用下，压杆可在微弯状态下维持中性平衡或临界平衡。根据边界条件，可用下式的单参数函数作为其挠曲线近似方程,为杆中点的挠度。,由边界条件：,由对称性条件：,12.4 瑞利-里兹法,54,由于杆的微弯，在其上端有竖向位移 。 为了求 ，在挠曲线上取一微段ds，它与 其在x轴上投影dx之差为,又,12.4 瑞利-里兹法,55,从而荷载所做的功为,压杆的应变能为,12.4 瑞利-里兹法,56,压杆的总势能为,压杆在临界压力作用下，处于中性平衡状态，由势能驻值原理有,解得,12.4 瑞利-里兹法,57,小结,1. 卡氏第一定理、最小势能原理（势能驻值原理）从原理上讲代表结构的静力学平衡条件，卡氏第一定理要求将应变能表示成位移的函数，最小势能原理（势能驻值原理）要求将势能中的应变能表示成位移的函数，而总势能则表示成为位移和荷载的函数。该两原理适用于一切弹性结构（在线弹性和非线弹性结构中应变能的计算不同）。瑞利-里兹法则是应用最小势能原理的近似方法。,58,2.卡