2019届高考数学复习第7单元立体几何作业理.docx

第七单元 立体几何课时作业(四十)第40讲空间几何体的三视图和直观图、表面积与体积基础热身1.2017衡水中学月考 一个三棱锥的正视图和俯视图如图K40-1所示,则该三棱锥的侧视图可能为()图K40-1 图K40-22.2017衡阳联考 如图K40-3所示,某空间几何体的正视图与侧视图相同,则此几何体的表面积为()A.6B.23+3C.4D.2+3图K40-33.三棱锥P - ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图K40-4所示,则PB=()图K40-4A.211B.42C.38D.1634.2017潮州四校联考 已知某多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图K40-5所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是.图K40-55.2017厦门二模 某几何体的三视图如图K40-6所示,则该几何体的体积是.图K40-6能力提升6.如图K40-7,在正方体ABCD - A1B1C1D1中,P为BD1的中点,则PAC在该正方体各个面上的射影可能是()图K40-7 图K40-8A.B.C.D.7.如图K40-9,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()图K40-9A.14蟺3B.10蟺3C.D.8.图K40-10中,小方格是边长为1的正方形,图中粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()A.8-43B.8-C.8-23D.8-13图K40-109.某几何体的三视图如图K40-11,其正视图中的曲线部分为半圆,则该几何体的体积是()A.4+32B.6+3C.6+32D.12+32图K40-1110.2017泸州四诊 某几何体的正视图和侧视图如图K40-12(1)所示,它的俯视图的直观图是ABC,如图K40-12(2)所示,其中OA=OB=2,OC=3,则该几何体的表面积为() (1)(2)图K40-12A.36+123B.24+83C.24+123D.36+8311.某几何体的三视图如图K40-13所示,则该几何体的表面积为.图K40-1312.2017蚌埠质检 已知边长为3的正三角形ABC的三个顶点都在球O的表面上,且OA与平面ABC所成的角为60,则球O的表面积为.13.2017淮北二模 我国古代数学经典名著九章算术中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马,将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑(bi no).若三棱锥P - ABC为鳖臑,且PA平面ABC,PA=AB=2,且该鳖臑的外接球的表面积为24,则该鳖臑的体积为.14.(12分)如图K40-14所示,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且ADE,BCF均为正三角形,EFAB,EF=2,求该多面体的体积.图K40-1415.(13分)某几何体按比例绘制的三视图如图K40-15所示(单位:m).(1)试画出该几何体的直观图; (2)求该几何体的表面积和体积.图K40-15难点突破16.(5分)2017石家庄二模 如图K40-16是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几何体,截面与底面所成的角为45,过圆柱的轴的平面截该几何体所得的四边形ABBA为矩形,若沿AA将其侧面剪开,则其侧面展开图的形状大致为()图K40-16图K40-1717.(5分)祖暅是我国齐梁时代的数学家,他提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异.”这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现,比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图K40-18所示,将底面直径皆为2b,高皆为a的半椭球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上.以平行于平面的平面在距平面任意高度d处可横截得到S圆及S环两截面,可以证明S圆=S环总成立.据此,短轴长为4 cm,长轴长为6 cm的椭球体的体积是cm3.图K40-18加练一课(五)空间几何体与球的切接问题一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.某正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该正四棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()A.81蟺4B.16C.9D.27蟺42.一块石材表示的几何体的三视图如图L5-1所示,将石材切削、打磨、加工成球,则能得到的最大球的半径为()A.1B.2C.3D.4图L5-13.2017山西三区八校二模 在矩形ABCD中,AC=2,现将ABC沿对角线AC折起,使点B到达点B的位置,得到三棱锥B - ACD,则三棱锥B - ACD的外接球的表面积是()A.B.2C.4D.与点B的位置有关图L5-24.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图L5-3所示,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为()A.133B.173C.193D.223图L5-35.四面体A - BCD的四个顶点都在球O的球面上,AB平面BCD,BCD是边长为3的等边三角形.若AB=2,则球O的表面积为()A. 12B.16C.32蟺3D.326.2017马鞍山质检 某几何体的三视图如图L5-4所示,则该几何体的外接球的表面积为()图L5-4A.25B.26C.32D.367.空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上,E,F分别是AB,CD的中点,且EFAB,EFCD,若AB=8,CD=EF=4,则该球的半径为()A.65216B.6528C.652D.658.2017黄冈质检 某一简单几何体的三视图如图L5-5所示,则该几何体的外接球的表面积是()图L5-5A.13B.16C.25D.279.2017湛江二模 底面是边长为1的正方形,侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为()A.B.C.D.二、填空题(本大题共7小题,每小题5分,共35分.把答案填在题中横线上)10.若正方体的外接球的表面积为6,则该正方体的表面积为.11.设正三棱锥A -BCD的所有顶点都在球O的球面上, E, F分别是AB, BC的中点, EFDE,且EF=1,则球O的表面积为.12.2017洛阳三模 已知直三棱柱ABC - A1B1C1中,AB=3,AC=4,ABAC,AA1=2,则该三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和为.13.2017唐山三模 直角三角形ABC的三个顶点都在球O的球面上, AB=AC=2,若球O的表面积为12,则球心O到平面ABC的距离等于.14.球O内切于棱长为2的正方体ABCD - A1B1C1D1,以A为顶点,以平面B1CD1被球O所截的圆面为底面的圆锥的侧面积为.15.2017宁德二检 已知菱形ABCD的边长为6,A=60.沿对角线BD将该菱形折成锐二面角A - BD - C,连接AC.若三棱锥A - BCD的体积为2723,则该三棱锥的外接球的表面积为.16.2017山西大学附中二模 正三棱锥的高为1,底面边长为26,正三棱锥内有一个球与其四个面都相切,则该球的表面积是 ,体积是 .课时作业(四十一)第41讲空间点、直线、平面之间的位置关系基础热身1.2017闽南八校二联 已知直线a,b分别在两个不同的平面,内,则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.2017郑州一模 已知直线a和平面,=l,a,a,且a在,内的射影分别为直线b,c,则直线b和c的位置关系是()A.相交或平行B.相交或异面C.平行或异面D.相交、平行或异面3.下面四个说法中正确的个数为()(1)如果两个平面有四个公共点,那么这两个平面重合;(2)两条直线可以确定一个平面;(3)若M,M,=l,则Ml;(4)在空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内.A.1B.2C.3D.44.2017佛山模拟 如图K41-1所示,在正三棱柱ABC - A1B1C1中,D是AC的中点,AA1AB=21,则异面直线AB1与BD所成的角为.图K41-15.如图K41-2是某个正方体的展开图,l1,l2是两条侧面对角线,则在正方体中,下面关于l1与l2的四个结论中正确的是.(填序号)互相平行;异面垂直;异面且夹角为;相交且夹角为.图K41-2能力提升6.l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线;q:l1,l2不相交,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件7.已知正方体ABCD - A1B1C1D1中,O是BD1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论错误的是 ()A.A1,M,O三点共线B.M,O,A1,A四点共面C.A1,O,C,M四点共面D.B,B1,O,M四点共面8.2017济南模拟 设a,b,c是两两不同的三条直线,下面四个说法中正确的是()A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交C.若ab,则a,b与c所成的角相等D.若ab,bc,则ac9.已知m,n为异面直线,m平面,n平面,若直线l满足lm,ln,l,l,则()A.且lB.且lC.与相交,且交线垂直于lD.与相交,且交线平行于l10.异面直线l与m成60角,异面直线l与n成45角,则异面直线m与n所成角的取值范围是()A.15,90B.60,90C.15,90)D.15,6011.正四棱锥P - ABCD中,四条侧棱长均为2,底面ABCD是正方形,E为PC的中点,若异面直线PA与BE所成的角为45,则该四棱锥的体积是()A.4B.23C.43D.23312.已知集合A=直线,B=平面,C=AB.若aA,bB,cC,给出下列四个说法:若ab,cb,则ac;若ab,cb,则ac;若ab,cb,则ac;若ab,cb,则ac.其中正确说法的序号是.13.如图K41-3所示是正方体和正四面体,P,Q,R,S分别是其所在棱的中点,则四个点共面的图形是.图K41-314.(12分)如图K41-4,平面ABEF平面ABCD,四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形,BAD=FAB=90,BC12AD,BE12FA,G,H分别为FA,FD的中点.(1)求证:四边形BCHG是平行四边形.(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?图K41-415.(13分)2017成都七中月考 如图K41-5所示,在三棱锥P - ABC中,PA底面ABC,D是PC的中点.已知BAC=,AB=2,AC=23,PA=2.(1)求三棱锥P - ABC的体积;(2)求异面直线BC与AD所成角的余弦值.图K41-5难点突破16.(5分)2017包头十校联考 在正方体ABCD - A1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,则异面直线CP与BA1所成的角的取值范围是()图K41-6A.0B.0C.0D.017.(5分)在直三棱柱ABC - A1B1C1中,BCA=90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为.课时作业(四十二)第42讲直线、平面平行的判定与性质基础热身1.2017江西六校联考 设,是两个不同的平面,m是直线,且m,则“m”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.2017潮州三校联考 在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD上的点,且AEEB=AFFD=14,又H,G分别为BC,CD的中点,则()A.BD平面EFG,且四边形EFGH是平行四边形B.EF平面BCD,且四边形EFGH是梯形C.HG平面ABD,且四边形EFGH是平行四边形D.EH平面ADC,且四边形EFGH是梯形3.2017保定模拟 有下列四个说法:若直线l平行于平面内的无数条直线,则直线l;若直线a在平面外,则a;若直线ab,b,则a;若直线ab,b,则a平行于平面内的无数条直线.其中正确说法的个数是()A.1B.2C.3D.44.如图K42-1是正方体的平面展开图,关于这个正方体有以下判断:图K42-1ED与NF所成的角为60;CN平面AFB;BMDE;平面BDE平面NCF.其中正确判断的序号是()A.B.C.D.5.如图K42-2,四棱锥P - ABCD的底面是直角梯形,ABCD,BAAD,CD=2AB,PA底面ABCD,E为PC的中点,则BE与平面PAD的位置关系为.图K42-2能力提升6.若平面平面,点A,C,B,D,则直线AC直线BD的充要条件是()A.ABCDB.ADCBC.AB与CD相交D.A,B,C,D四点共面7.已知直线a与平面,若,a,点B,则在内过点B的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯一一条与a平行的直线8.2017长郡中学质检 在如图K42-3所示的三棱柱ABC - A1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于DE,则DE与AB的位置关系是()A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能图K42-39.已知m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,下列说法中正确的是()A.若m,n,则mnB.若,则C.若m,m,则D.若m,n,则mn10.2017浙江金丽衢十二校联考 已知平面平面,P是,外一点,过点P的直线m与,分别交于点A,C,过点P的直线n与,分别交于点B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD=()A.16B.24或245C.14D.2011.如图K42-4是某长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为.图K42-412.已知a,b为两条不同的直线,为三个不同的平面,给出以下三个说法:若ab,b,则a;若ab,a,则b;若=a,b,且b,a,则ab.其中正确说法的序号是.13.在正四棱柱ABCD - A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,则点Q满足条件时,有平面D1BQ平面PAO.14.(10分)2017宜春二模 在四棱锥P - ABCD中,PA平面ABCD,ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC的中点,又PA=AB=4,CDA=120,点N在PB上,且PN=2.求证:MN平面PDC.图K42-515.(13分)2017石家庄二模 如图K42-6,在三棱柱ABC - DEF中,侧面ABED是边长为2的菱形,且ABE=,BC=212.点F在平面ABED内的正投影为G,且G在AE上,FG=3,点M在CF上,且CM=14CF.(1)证明:直线GM平面DEF;(2)求三棱锥M - DEF的体积.图K42-6难点突破16.(12分)2018南昌模拟 如图K42-7所示,在四棱锥P -ABCD中, ABC=ACD=90, BAC =CAD=60,PA平面ABCD,PA=2,AB=1.设M,N分别为PD,AD的中点.(1)求证:平面CMN平面PAB;(2)求三棱锥P -ABM的体积. 图K42-7课时作业(四十三)第43讲直线、平面垂直的判定与性质基础热身1.2017湖南六校联考 已知m和n是两条不同的直线,和是两个不重合的平面,下面给出的条件中一定能推出m的是()A.且mB.且mC.mn且n D.mn且2.2017唐山三模 已知平面平面,则“直线m平面”是“直线m平面”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.2017深圳四校联考 若平面,满足,=l,P,Pl,则下列说法中不正确的是()A.过点P垂直于平面的直线平行于平面B.过点P垂直于直线l的直线在平面内C.过点P垂直于平面的直线在平面内D.过点P且在平面内垂直于l的直线必垂直于平面4.2017龙岩二模 已知三个不同的平面,满足,则与的关系是.5.在三棱锥P - ABC中,点P在平面ABC内的射影为点O,若PAPB,PBPC,PCPA,则点O是ABC的心.能力提升6.2017南昌二模 已知直线m,n与平面,满足,=m,n,n,则下列判断一定正确的是()A.m,B.n,C.,D.mn,7.将图K43-1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起,得到空间四面体ABCD(如图),则在空间四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是()图K43-1A.相交且垂直 B.相交但不垂直C.异面且垂直D.异面但不垂直8.2017临汾三模 已知为平面,a,b为两条不同的直线,则下列说法中正确的是()A.若直线a,b与平面所成角都是30,则直线a,b平行B.若直线a,b与平面所成角都是30,则直线a,b不可能垂直C.若直线a,b平行,则直线a,b中至少有一条与平面平行D.若直线a,b垂直,则直线a,b与平面不可能都垂直9.如图K43-2所示,在三棱锥P-ABC中,已知PA底面ABC,ABBC,E,F分别是线段PB,PC上的动点,则下列说法错误的是()A.当AEPB时,AEF一定为直角三角形B.当AFPC时,AEF一定为直角三角形C.当EF平面ABC时,AEF一定为直角三角形D.当PC平面AEF时,AEF一定为直角三角形图K43-210.2017肇庆三模 在棱长为1的正方体ABCD - A1B1C1D1中,ACBD=O,E是线段B1C(含端点)上的动点,给出下列说法:OEBD1;OE平面A1C1D;三棱锥A1 - BDE的体积为定值;OE与A1C1所成的最大角为90.其中说法正确的个数是()A.1B.2C.3D.411.2017邯郸二模 如图K43-3,在矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点,将ADE沿直线DE翻折到A1DE(A1平面ABCD)的位置.若M,O分别为线段A1C,DE的中点,则在ADE的翻折过程中,下列说法错误的是()A.与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直B.过E作EGBM,G平面A1DC,则A1EG为定值C.一定存在某个位置,使DEMOD.三棱锥A1 - ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值图K43-312.已知a,b,l表示三条不同的直线,表示三个不同的平面,有下列四个说法:若=a,=b,且ab,则;若a,b相交,且都在,外,a,a,b,b,则;若,=a,b,ab,则b;若a,b,la,lb,l,则l.其中正确说法的序号是.13.2017厦门二模 正方体ABCD - A1B1C1D1的棱和六个面的对角线共有24条,其中与体对角线AC1垂直的有条.14.(10分)2017徐州、宿迁、连云港、淮安四市三模 如图K43-4,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是矩形,点E在棱PC上(异于点P,C),平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证:ABEF;(2)若平面PAD平面ABCD,求证:AFEF.图K43-415.(13分)如图K43-5,在正三棱柱A1B1C1 -ABC中,点D,E分别是A1C,AB的中点.(1)求证:ED平面BB1C1C;(2)若AB=2BB1,求证:A1B平面B1CE.图K43-5难点突破16.(12分)2018昆明检测 如图K43-6,在三棱柱ABC -A1B1C1中,侧棱CC1底面ABC,M为BC的中点, AC=AB=3,BC=2,CC1=2.(1)证明:B1C平面AMC1;(2)求点A1到平面AMC1的距离.图K43-6课时作业(四十四)第44讲空间向量及其运算和空间位置关系基础热身1.2017上饶期中 如图K44-1所示,三棱锥O - ABC中,M,N分别是AB,OC的中点,设=a,=b,=c,用a,b,c表示,则=()图K44-1A.12(-a+b+c)B.12(a+b-c)C.12(a-b+c)D.12(-a-b+c)2.2017唐山统考 已知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上,且=,N为B1B的中点,则|为()A.216aB.66aC.156aD.153a3.2018黑龙江齐齐哈尔实验中学期中 设ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,则有()A.=a2B.=2a2C.=a2D.=a24.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,),若a,b,c三个向量共面,则实数=.5.在空间直角坐标系中,以点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3)为顶点的ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,则实数x的值为.能力提升6.2017台州统考 已知向量a=(2m+1,3,m-1),b=(2,m,-m),且ab,则实数m的值等于()A.32 B.-2C.0D.32或-27.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则的值为()A.a2B.12a2C.14a2D.34a28.如图K44-2所示,在平行六面体ABCD - A1B1C1D1中,AM=12MC,A1N=2ND.设=a,=b,=c,=xa+yb+zc,则x+y+z=()A.34B.14C.23D.13图K44-29.如图K44-3所示,已知PA平面ABC,ABC=120,PA=AB=BC=6,则|等于()A.62B.6C.12D.144图K44-310.已知空间向量a,b满足|a|=|b|=1,且a,b的夹角为,O为空间直角坐标系的原点,点A,B满足=2a+b,=3a-b,则OAB的面积为()A.52 3B.543C.74 3D.11411.2017泉州四校联考 O为空间中任意一点,A,B,C三点不共线,且=+t,若P,A,B,C四点共面,则实数t=.12.设A1,A2,A3,A4,A5是空间中给定的5个不同的点,则使=0成立的点M的个数为.13.2017北京西城区模拟 如图K44-4所示,正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1,若动点P在线段BD1上运动,则的取值范围是.图K44-414.(10分)如图K44-5所示,在棱长为a的正方体OABC - O1A1B1C1中,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF=x,其中0xa,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.(1)写出点E,F的坐标;(2)求证:A1FC1E;(3)若A1,E,F,C1四点共面,求证:=+.图K44-515.(13分)如图K44-6所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点.计算:(1);(2)EG的长;(3)异面直线AG与CE所成角的余弦值.图K44-6难点突破16.(12分)如图K44-7所示,正三角形ABC的边长为4,CD是AB边上的高,E,F分别是AC和BC的中点,现将ABC沿CD翻折成直二面角A - DC - B.(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由.(2)在线段BC上是否存在一点P,使APDE?如果存在,求出BPBC的值;如果不存在,请说明理由.图K44-7课时作业(四十五)第45讲第1课时空间角的求法基础热身1.如图K45-1所示,已知正方体ABCD - A1B1C1D1,E,F分别是A1C1和AD1的中点,则EF和CD所成的角是()A.30B.45C.60D.90图K45-12.2018河北枣强中学月考 已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面的法向量,若cos=-12,则l与所成的角为()A.30B.60C.120D.1503.2017郑州模拟 过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD,若AB=PA,则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角为()A.30B.45C.60D.904.已知直三棱柱ABC - A1B1C1,ACB=90,CA=CB=CC1,D为B1C1的中点,则异面直线BD和A1C所成角的余弦值为.5.在长方体ABCD - A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.能力提升6.2017东营质检 已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O为坐标原点,+与的夹角为120,则的值为()A.66B.66C.-66D.67.如图K45-2所示,在三棱柱ABC - A1B1C1中,AA1底面ABC,AB=BC=AA1,ABC=90,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是()A.30B.45C.60D.90图K45-28.2017邯郸一模 如图K45-3,在直三棱柱ABC - A1B1C1中,ABAC,AB=AA1=2,AC=2,过BC的中点D作平面ACB1的垂线,交平面ACC1A1于点E,则BE与平面ABB1A1所成角的正切值为()A.55B.510C.1010D.105图K45-39.2017浙江五校联考 如图K45-4所示,在四棱锥P - ABCD中,侧面PAB底面ABCD,底面ABCD为矩形,PA=PB,O为AB的中点,ODPC,若PD与平面PAB所成的角为30,则二面角D - PC - B的余弦值是()图K45-4A.33B.-33C.13D.-1310.2017珠海模拟 在正方体ABCD - A1B1C1D1中,O是BD的中点,点P在线段B1D1上,直线OP与平面A1BD所成的角为,则sin 的取值范围是()A.23,33B.13,12C.34,33D.14,1311.2017衡阳二联 如图K45-5所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1C1B1D1=E,直线AC与直线DE所成的角为,直线DE与平面BCC1B1所成的角为,则cos(-)=.图K45-512.如图K45-6所示,四棱锥P - ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.设二面角D - AE - C为60,AP=1,AD=3,则三棱锥E - ACD的体积为.图K45-613.如图K45-7,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为,则cos 的最大值为.图K45-714.(10分)2017南通一模 如图K45-8所示,在棱长为2的正方体ABCD - A1B1C1D1中,P为棱C1D1的中点,Q为棱BB1上的点,且BQ=BB1(0).(1)若=12,求AP与AQ所成角的余弦值;(2)若直线AA1与平面APQ所成的角为45,求实数的值.图K45-815.(13分)2017泉州质检 如图K45-9所示,在三棱锥A - BCD中,平面ABD平面BCD,AB=AD,CBD=60,BD=2BC=4,点E在CD上,DE=2EC.(1)求证:ACBE;(2)若二面角E - BA - D的余弦值为155,求三棱锥A - BCD的体积.图K45-9难点突破16.(12分)2017河南六市二联 如图K45-10所示,AB是半圆O的直径,C是半圆O上除A,B外的一个动点,DC垂直于半圆O所在的平面,DCEB,DC=EB,AB=4,tanEAB=14.(1)证明:平面ADE平面ACD;(2)当三棱锥C - ADE的体积最大时,求二面角D - AE - B的余弦值的绝对值.图K45-10课时作业(四十五)第45讲第2课时空间向量的应用基础热身1.(12分)2017郴州三模 如图K45-11所示,C是以AB为直径的圆上异于A,B的点,平面PAC平面ABC,PA=PC=AC=2,BC=4,E,F 分别是PC,PB的中点,记平面AEF与平面ABC的交线为直线l. (1)求证:直线l平面PAC.(2)直线l上是否存在点Q,使直线PQ分别与平面AEF,直线EF所成的角互余?若存在,求出AQ的值;若不存在,请说明理由.图K45-112.(12分)2017北京丰台区一模 如图K45-12所示,平面五边形ABCDE中,ABCD,BAD=90,AB=2,CD=1,ADE是边长为2的正三角形.现将ADE沿AD折起,得到四棱锥E - ABCD(如图),且DEAB.(1)求证:平面ADE平面ABCD.(2)求平面BCE和平面ADE所成锐二面角的大小.(3)在棱AE上是否存在点F,使得DF平面BCE?若存在,求EFEA的值;若不存在,请说明理由.图K45-12能力提升3.(12分)2017濮阳一模 如图K45-13所示,四边形ABCD为梯形,ABCD,PD平面ABCD,BAD=ADC=90,DC=2AB=2,DA=3.(1)线段BC上是否存在一点E,使平面PBC平面PDE?若存在,请求出BECE的值,并进行证明;若不存在,请说明理由.(2)若PD=3,线段PC上有一点F,且PC=3PF,求直线AF与平面PBC所成角的正弦值.图K45-134.(12分)2017天津河西区一模 如图K45-14所示,在四棱锥P - ABCD中,PA平面ABCD,PA=AB=AD=2,四边形ABCD满足ABAD,BCAD,BC=4,点M为PC的中点,点E为BC边上的动点,且BEEC=. (1)求证:DM平面PAB.(2)求证:平面ADM平面PBC.(3)是否存在实数,使得二面角P - DE - B的余弦值为23?若存在,试求出实数的值;若不存在,说明理由.图K45-145.(12分)2017玉溪民族中学模拟 直三棱柱ABC -A1B1C1中, AA1=AB=AC=1, E,F分别是CC1,BC的中点, 且AEA1B1,(1)证明: AB平面A1ACC1.(2)棱A1B1上是否存在一点D,使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为1414?若存在,说明点D的位置;若不存在,说明理由.图K45-15难点突破6.(12分)2017北京昌平区二模 如图K45-16所示,三棱柱ABC - A1B1C1中,BC垂直于正方形A1ACC1所在平面,AC=2,BC=1,D为AC中点,E为线段BC1上的一点(端点除外),平面AB1E与BD交于点F.(1)若E不是BC1的中点,求证:AB1EF.(2)若E是BC1的中点,求AE与平面BC1D所成角的正弦值.(3)在线段BC1上是否存在点E,使得A1ECE?若存在,求出BEEC1的值;若不存在,请说明理由.图K45-16 课时作业(四十)1.D解析 由题图可知,该几何体为如图所示的三棱锥,其中平面ACD平面BCD,该三棱锥的侧视图可能为等腰三角形,故选D.2.C解析 此几何体为一个组合体,上面部分为一个圆锥,下面部分为一个半球.故此几何体的表面积为S=12+12221=4,故选C.3.B解析 由正视图和侧视图可知,AC=4,PC=4,AB=BC=22+(23)2=4,则PB=PC2+BC2=42+42=42,故选B.4.12解析 由三视图知,该组合体为正方体内接于球,正方体的棱长为2,设球的半径为R,则2R=23,即R=3,则该球的表面积S=4R2=43=12.5.113解析 由三视图可知该几何体是三棱柱割去一个三棱锥后剩下的部分(如图),则该几何体的体积为12222-1312112=4-13=113.6.A解析 由所给的正方体的直观图知,PAC在该正方体上、下底面上的射影是中图形,PAC在该正方体前、后、左、右侧面上的射影是中图形,故选A.7.C解析 由题意知,该几何体是由一个半圆柱与一个半球组成的组合体,其中半圆柱的底面半径为1,高为4,半球的半径为1,则该几何体的体积为124313+12124=83,故选C.8.D解析 由三视图得,该几何体是正方体挖去一个半圆锥后剩余的部分,故该几何体的体积V=23-1213122=8-,故选D.9.C解析 由三视图可知,该几何体是由半圆柱与三棱柱组成的,则该几何体的体积V=12123+12223=6+32.10.C解析 由俯视图的直观图可得该几何体的底面是边长为4的等边三角形,由正视图与侧视图可得该几何体是高为6的三棱锥(如图所示的三棱锥P - ABC),其中PC底面ABC,该几何体的表面积S=3442+21246+12462+(23)2=24+123,故选C.11.11+22解析 由三视图知,该几何体是一个直四棱柱,上、下底面为直角梯形,直角梯形斜腰长为12+12=2,则底面周长为4+2,故侧面积为2(4+2)=8+22,又两底面的面积和为2121(1+2)=3,所以该几何体的表面积为8+22+3=11+22.12.16解析 边长为3的正三角形ABC的外接圆的半径r=1,则球O的半径R=2,则球O的表面积S=4R2=16.13.83解析 根据题意,三棱锥P-ABC为鳖臑,且PA平面ABC,PA=AB=2,如图所示,可得PAB=PAC=ABC=PBC=90.易知PC为外接球的直径,设外接球的半径为R.又该鳖臑的外接球的表面积为24,则R2=6,则BC=(26)2-(22)2=4,则该鳖臑的体积为1312242=83.14.解:分别过A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连接DG,CH,则原几何体被分割为两个三棱锥和一个直三棱柱.易知三棱锥的高为12,直三棱柱的高为1,AG= 12-122=32,取AD的中点M,连接MG,则MG=22,SAGD=12122=24,V多面体ABCDEF=241+2132412=23.15.解:(1)直观图如图所示.(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个三棱柱后剩余的部分,且该几何体的体积是以A1A,A1D1,A1B1为棱的长方体的体积的34,该几何体的体积V=34121=32(m3).在直角梯形AA1B1B中,作BEA1B1于E,则四边形AA1EB是正方形,AA1=BE=1.在RtBEB1中,BE=1,EB1=1,BB1=2, 该几何体的表面积S=S正方形ABCD+2S姊舰AA1B1B+S鐭舰BB1C1C+=1+21+212(1+2)1+12+1=7+2(m2),该几何体的表面积为(7+2)m2,体积为32 m3.16.A解析 用排除法.首先截线不可能是直线,排除B中图形;又圆柱被平面截开所得的截面是椭圆,而侧面展开图为平面图,不可能是圆或椭圆,排除C,D中的图形.故选A.17.16解析 因为总有S圆=S环,所以半椭球体的体积为V圆柱-V圆锥=b2a-13b2a=23b2a.又2a=6,2b=4,即a=3,b=2,所以椭球体的体积V=43b2a=43223=16.加练一课(五)1.A解析 由题意易知,球心在正四棱锥的高上,设球的半径为R,则(4-R)2+(2)2=R2,解得R=94,所以该球的表面积为4942=814,故选A.2.B解析 由三视图可得该几何体为三棱柱,能得到的最大球为三棱柱的内切球,球的半径为正视图中直角三角形内切圆的半径r.由切线长的性质,得(8-r)+(6-r)=62+82,得r=2,故选B.3.C解析 三棱锥B - ACD中,ABC和ACD是有公共斜边AC的直角三角形,取AC的中点O,则有OB=OA=OC=OD,O为三棱锥B - ACD的外接球的球心,外接球半径R=OA=1,则三棱锥B - ACD的外接球的表面积是4R2=4,故选C.4.C解析 由正视图知,三棱柱的底面边长为2,高为1.易知外接球的球心O在上、下底面两个三角形中心连线的中点上,连接球心和任意一个顶点的线段长即为球O的半径,则R2=122+2332=1912(其中R为球O的半径),则球O的表面积S=4R2=41912=193,故选C.5.B解析 将四面体A - BCD补形成正三棱柱,则其外接球的球心为上、下底面的中心连线的中点.易得BCD的外接圆半径为3,所以外接球球O的半径R=(3)2+AB22=2,所以球O的表面积S=4R2=16,故选B.6.C解析 由三视图可知,该几何体是以俯视图为底面,一条侧棱与底面垂直的三棱锥,如图中三棱锥A - BCD所示,设该几何体外接球的球心为O.由勾股定理可得CD=12+(3)2=2,tanCBD=33,即CBD=30.由正弦定理可得BCD的外接圆直径2r=2sin30掳=4.设球O的半径为R,易知O为AD的中点,则由勾股定理得4R2=AB2+4r2=32,所以该几何体的外接球的表面积S=4R2=32,故选C.7.C解析 由已知条件可得球心O在EF上,设球O的半径为R,OF=x,则OE=4-x,得x2+22=R2,(4-x)2+42=R2,解得x=72,R=652,故选C.8.C解析 由三视图可知该几何体为一个正四棱柱,底面正方形边长为22,侧棱长为3,外接球球心为上、下底面中心连线的中点,外接球半径R=22+322=52,则该几何体的外接球的表面积S=4522=25,故选C.9.A解析 如图所示,四棱锥P-ABCD为正四棱锥,底面ABCD是边长为1的正方形.设正方形ABCD的中心为O,连接OP,OA,易知底面正方形ABCD外接圆的半径是22,即AO=22,则PO=1-12=22,四棱锥的外接球半径为22,四棱锥的外接球的体积为43223=,故选A.10.12解析 设正方体的棱长为a,外接球的半径为R.因为正方体的体对角线长就是正方体的外接球的直径,所以2R=