2019版高考数学总复习专题六统计与概率6.2概率统计解答题精选刷题练理.docx

6.2概率、统计解答题命题角度1离散型随机变量的分布列与期望、方差高考真题体验对方向1.(2018全国20)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0p0;当p(0.1,1)时,f(p)400,故应该对余下的产品作检验.2.(2017天津16)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为.(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.解(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.所以,随机变量X的分布列为X0123P1414124随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2+3.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)=.所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为.3.(2017山东18)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示.通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率.(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望E(X).解(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,则P(M)=.(2)由题意知X可取的值为:0,1,2,3,4,则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.因此X的分布列为X01234P142521521142X的数学期望是E(X)=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)=0+1+2+3+4=2.4.(2017全国18)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?解(1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知P(X=200)=0.2,P(X=300)=0.4,P(X=500)=0.4.因此X的分布列为X200300500P0.20.40.4(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200n500.当300n500时,若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;若最高气温位于区间20,25),则Y=6300+2(n-300)-4n=1 200-2n;若最高气温低于20,则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n.因此E(Y)=2n0.4+(1 200-2n)0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n.当200n300时,若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于20,则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n.因此E(Y)=2n(0.4+0.4)+(800-2n)0.2=160+1.2n.所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.新题演练提能刷高分1.(2018湖北黄冈、黄石等八市3月联考)2017年5月,来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”:高铁、扫码支付、共享单车和网购.为拓展市场,某调研组对甲、乙两个品牌的共享单车在5个城市的用户人数进行统计,得到如下数据:城市品牌甲品牌(百万)438612乙品牌(百万)57943(1)如果共享单车用户人数超过5百万的城市称为“优质潜力城市”,否则“非优”,能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“优质潜力城市”与共享单车品牌有关?(2)如果不考虑其他因素,为拓展市场,甲品牌要从这5个城市中选出3个城市进行大规模宣传.在城市被选中的条件下,求城市也被选中的概率;以X表示选中的城市中用户人数超过5百万的个数,求随机变量X的分布列及数学期望E(X).下面临界值表供参考:P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式:K2=,n=a+b+c+d.解(1)根据题意列出22列联表如下: 优质城市单车品牌优质城市非优质城市合计甲品牌(个)325乙品牌(个)235合计5510K2=0.40.85,而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.730.85,所以2.5x148.5元),所以推荐该超市选择乙商家长期销售.3.(2018吉林长春质量监测二)某种植园在芒果临近成熟时,随机从一些芒果树上摘下100个芒果,其质量分别在100,150),150,200),200,250),250,300),300,350),350,400)(单位:克)中,经统计得频率分布直方图如图所示.(1)现按分层抽样从质量为250,300),300,350)的芒果中随机抽取9个,再从这9个中随机抽取3个,记随机变量X表示质量在300,350)内的芒果个数,求X的分布列及数学期望.(2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均值,将频率视为概率,某经销商来收购芒果,该种植园中还未摘下的芒果大约还有10 000个,经销商提出如下两种收购方案:A:所有芒果以10元/千克收购;B:对质量低于250克的芒果以2元/个收购,高于或等于250克的以3元/个收购.通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多?解(1)9个芒果中,质量在250,300)和300,350)内的分别有6个和3个.则X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.所以X的分布列为X0123P184X的数学期望E(X)=0+1+2+3=1.(2)方案A:(1250.002+1750.002+2250.003+2750.008+3250.004+3750.001)5010 000100.001=25 750(元).方案B:低于250克:(0.002+0.002+0.003)5010 0002=7 000(元),高于或等于250克:(0.008+0.004+0.001)5010 0003=19 500(元),总计:7 000+19 500=26 500(元).由25 75026 500,故B方案获利更多,应选B方案.4.(2018河北石家庄一模)小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作,该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案:底薪100元,每派送一单奖励1元;乙方案:底薪140元,每日前55单没有奖励,超过55单的部分每单奖励12元.(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y(单位:元)与送货单数n的函数关系式;(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录,发现派送员的日平均派送单数满足以下条件:在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图,其中当某天的派送量指标在(n=1,2,3,4,5)时,日平均派送量为50+2n单.若将频率视为概率,回答下列问题:根据以上数据,设每名派送员的日薪为X(单位:元),试分别求出甲、乙两种方案的日薪X的分布列,数学期望及方差;结合中的数据,根据统计学的思想,帮助小明分析,他选择哪种薪酬方案比较合适,并说明你的理由.(参考数据:0.62=0.36,1.42=1.96,2.62=6.76,3.42=11.56,3.62=12.96,4.62=21.16,15.62=243.36,20.42=416.16,44.42=1 971.36)解(1)甲方案中派送员日薪y(单位:元)与送单数n的函数关系式为:y=100+n,nN,乙方案中派送员日薪y(单位:元)与送单数n的函数关系式为:y=(2)由已知,在这100天中,该公司派送员日平均派送单数满足如下表格:单数5254565860频率0.20.30.20.20.1所以X甲的分布列为:X甲152154156158160P0.20.30.20.20.1所以E(X甲)=1520.2+1540.3+1560.2+1580.2+1600.1=155.4,=0.2(152-155.4)2+0.3(154-155.4)2+0.2(156-155.4)2+0.2(158-155.4)2+0.1(160-155.4)2=6.44,同样,X乙的分布列为:X乙140152176200P0.50.20.20.1所以E(X乙)=1400.5+1520.2+1760.2+2000.1=155.6,=0.5(140-155.6)2+0.2(152-155.6)2+0.2(176-155.6)2+0.1(200-155.6)2=404.64.答案一:由以上的计算可知,虽然E(X甲)E(X乙),但两者相差不大,且远小于,即甲方案日工资收入波动相对较小,所以小明应选择甲方案.答案二:由以上的计算结果可以看出,E(X甲)E(X3)E(X1),因此企业应选方案二.6.(2018山西考前适应性测试)某快递公司收取快递费用的标准是:重量不超过1 kg的包裹收费10元;重量超过1 kg的包裹,除1 kg收费10元之外,超过1 kg的部分,每超出1 kg(不足1 kg的按1 kg计算)需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下:包裹重量(单位:kg)12345包裹件数43301584公司对近60天,每天揽件数量统计如下表:包裹件数范围0100101200201300301400401500包裹件数(近似处理)50150250350450天数6630126以上数据已做近似处理,并将频率视为概率.(1)计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101400之间的概率;(2)估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值;公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润,剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人,每人每天揽件不超过150件,工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人,试计算裁员前后公司每日利润的数学期望,并判断裁员是否对提高公司利润更有利?解(1)样本包裹件数在101400之间的天数为48,频率f=,故可估计概率为,显然未来3天中,包裹件数在101400之间的天数X服从二项分布,即XB3,故所求概率为2.(2)样本中快递费用及包裹件数如下表:包裹重量(单位:kg)12345快递费(单位:元)1015202530包裹件数43301584故样本中每件快递收取的费用的平均值为=15(元),故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.根据题意及,揽件数每增加1,可使前台工资和公司利润增加15=5(元),将题目中的天数转化为频率,得包裹件数范围0100101200201300301400401500包裹件数(近似处理)50150250350450天数6630126频率0.10.10.50.20.1若不裁员,则每天可揽件的上限为450件,公司每日揽件数情况如下:包裹件数(近似处理)50150250350450实际揽件数Y50150250350450频率0.10.10.50.20.1E(Y)500.1+1500.1+2500.5+3500.2+4500.1=260故公司平均每日利润的期望值为2605-3100=1 000(元);若裁员1人,则每天可揽件的上限为300件,公司每日揽件数情况如下:包裹件数(近似处理)50150250350450实际揽件数Z50150250300300频率0.10.10.50.20.1E(Z)500.1+1500.1+2500.5+3000.2+3000.1=235故公司平均每日利润的期望值为2355-2100=975(元).因9751 000,故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.命题角度3统计图表与概率分布列的综合高考真题体验对方向(2016全国18)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.解(1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(2)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=.因此所求概率为.(3)记续保人本年度的保费为X,则X的分布列为X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05E(X)=0.85a0.30+a0.15+1.25a0.20+1.5a0.20+1.75a0.10+2a0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.新题演练提能刷高分1.(2018湖北重点高中联考协作体期中)从某校高中男生中随机选取100名学生,将他们的体重(单位:kg)数据绘制成频率分布直方图,如图所示.(1)估计该校的100名同学的平均体重(同一组数据以该组区间的中点值作代表);(2)若要从体重在60,70),70,80)内的两组男生中,用分层抽样的方法选取5人,再从这5人中随机抽取3人,记体重在60,70)内的人数为,求其分布列和数学期望E().解(1)依频率分布直方图得各组的频率依次为:0.05,0.35,0.30,0.20,0.10,故估计100名学生的平均体重约为:450.05+550.35+650.30+750.20+850.10=64.5.(2)由(1)及已知可得:体重在60,70)及70,80)的男生分别为0.30100=30(人),0.20100=20(人).从中用分层抽样的方法选5人,则体重在60,70)内的应选3人,体重在70,80)内的应选2人,从而的可能取值为1,2,3,且P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=.其分布列为:P12331035110故得E()=1+2+3=1.8.2.(2018河南濮阳一模)为创建国家级文明城市,某城市号召出租车司机在高考期间至少参加一次“爱心送考”,该城市某出租车公司共200名司机,他们参加“爱心送考”的次数统计如图所示.(1)求该出租车公司的司机参加“爱心送考”的人均次数;(2)从这200名司机中任选两人,设这两人参加送考次数之差的绝对值为随机变量X,求X的分布列及数学期望.解由题图可知,参加送考次数为1次,2次,3次的司机人数分别为20,100,80.(1)该出租车公司司机参加送考的人均次数为:=2.3.(2)从该公司任选两名司机,记“这两人中一人参加1次,另一人参加2次送考”为事件A,“这两人中一人参加2次,另一人参加3次送考”为事件B,“这两人中一人参加1次,另一人参加3次送考”为事件C,“这两人参加次数相同”为事件D.则P(X=1)=P(A)+P(B)=,P(X=2)=P(C)=,P(X=0)=P(D)=.X的分布列:X012P100199X的数学期望E(X)=0+1+2.3.(2018广东揭阳学业水平考试)从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位:mm),得到如图所示的茎叶图,整数位为茎,小数位为叶,如27.1 mm的茎为27,叶为1.(1)试比较甲、乙两种棉花的纤维长度的平均值的大小及方差的大小;(只需写出估计的结论,不需说明理由)(2)将棉花按纤维长度的长短分成七个等级,分级标准如表:等级七六五四三二一长度(mm)小于26.026.0,27.0)27.0,28.0)28.0,29.0)29.0,30.0)30.0,31.0)不小于31.0试分别估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率;(3)为进一步检验甲种棉花的其他质量指标,现从甲种棉花中随机抽取4根,记为抽取的棉花纤维长度为二级的根数,求的分布列和数学期望.解(1)乙品种棉花的纤维长度的平均值较甲品种的大;乙品种棉花的纤维长度的方差较甲品种的小.(2)由所给的茎叶图知,甲、乙两种棉花纤维长度在30.0,30.9(即二级)比率分别为:=0.12,故估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率分别为(或0.2)和(或0.12).(3)由(2)知,从甲种棉花中任取1根,其纤维长度为二级的概率为,不是二级的概率为1-,依题意知的可能取值为:0,1,2,3,4.又P(=0)=4=,P(=1)=3=,P(=2)=22=,P(=3)=,P(=4)=.故的分布列为:01234P()2566252566251625E()=4.4.(2018河北衡水模拟)为了解学生寒假期间学习情况,学校对某班男、女学生学习时间进行调查,学习时间按整小时统计,调查结果