数理统计汪荣鑫版.ppt

第一章,抽样和抽样分布,1.1 母体(总体）和子样,母体研究对象全体元素集合,记为X .,个体组成母体的每个元素,记为 .,样本,用,表示, n 为样本容量.,称,为母体X 的一个容量为,n 的子样值,或称子样的一个实现. 例见p1,子样从母体中抽取的部分个体,称,若母体 X 的子样 满足:,(1) 与X 有相同的分布；,(2) 相互独立，,则称 为简单随机子样.,随机 抽样,简单随机子样,重复抽样,非重复抽样,独立同分布,近似独立同分布,条件：,设母体X的分布函数为F (x),则子样,若母体X 的密度函数为f( x),则子样,的概率密度函数为,的概率分布函数为,若母体X为离散情形,则子样,的联合概率分布为,例如 设某批产品共有N 个,其中的次品数为M, 其次品率为,若 p 是未知的,则可用抽样方法估计.,其概率分布,从这批产品中任取一个产品,用随机 变量 X 来描述它是否是次品:,设有放回地抽取一个容量为n的子样,的联合分布为,其子样值为,样本空间为,若抽样是无放回的,则前次抽取的结果会影响后面抽取的结果.例如,所以, 当子样容量 n 与母体中个体数目N 相比很小时, 可将无放回抽样近似地看作放回抽样.,子样,中不含未知参数,则称,为统计量.,定义,统计量,的连续函数,例,是统计量,不是统计量.,是未知参数,则,顺序统计量,将子样值,由小到大,排列得,定义 r.v.,则称统计量,为顺序统计量.,三种形式,子样分布(刻画子样数据分布情况),频数分布 频率分布,经验分布函数,直方图,一 子样频数分布和频率分布,设从母体中抽得的子样为,按由小到大顺序排列为,相同数合并后排列为,其中,频数,相应的频数为,且,子样频 数分布,子样频率分布,频率,于是有,例1 从织布车间抽取12匹布检查每匹,布的疵点数，得子样,( 1,0,0,2,1,3,2,0,1,1,2,1 ),求子样频数分布和子样频率分布.,将12个数从小到大排列,相同的合并，,0,0,0,1,1,1,1,1,2,2,2,3,得子样频数表(子样频数分布),0 1 2 3,3 5 3 1,得子样频率表(子样频率数分布),0 1 2 3,1/4 5/12 1/4 1/12,频数,频率,经验分布函数,为子样的为经验分布函数.,设子样为,对任意实数,子样值中小于或等于,的个数为,则称,同分布函数,一样具有性质：,非降、右连续、,由子样频数分布得子样经验分布函数：,子样经验分布函数图形,1,o,x,o,o,o,例1的子样经验分布函数：,例1的子样经验分布函数图形,1,x,由Chebyshev 大数定律, 对任意,即,子样经验分布函数,总 体分布函数,依概率收敛于,格利汶科(W.Glivenko)定理,当 时, 经验分布函数依概率,关于x均匀地收敛于母体分布函数,即,对固定x成立,(1)频数直方图,样本数据,频率直方图,经验分布函数,某班50名学生概率考试成绩如下：,75 65 80 81 92 63 77 79 54 98,85 72 66 84 83 60 82 78 64 90,81 78 76 86 68 76 73 71 88 87,直方图,65 57 46 89 78 66 87 79 84 78,96 88 67 38 67 75 83 82 68 85,例2,由于,故分 9 组, 每组组距为7, 于是可得 #先确定组距，在确定组数(512),平均分,频 数分布表,频数直方图,继而画出,3844,4551,5258,5965,6672,7379,8086,8793,9499,组 限,组中值,41,48,55,62,69,76,83,90,97,组频数,1,1,2,5,8,12,12,7,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,组 号,合 计,50,组总分,41,48,110,310,552,912,996,630,194,3793,频 数 分 布 表,频数直方图,近似正态分布,结论:,38 45 52 59 66 73 80 87 94,12 10 8 6 4 2,(2)频率直方图与累积频率直方图,在频数分布表中去掉“组总分”一,列, 添上“组频率”(%)“累积频率”(%),频率分布表,频率直方图,继而画出,两列, 得,累积频率图,合 计,50,频率,直方图纵坐标,频率直方图,近似正态 密度函数,38 45 52 59 66 73 80 87 94,分数,.034 .028 .023 .019 .013 .006,矩形面积=此区间上的频率,频率直方图,y,总体数量指标落在第k 组的概率p,x,合 计,50,频率,累积频率,累积频率直方图,近似正态 分布函数,累积频率(%),直方图3,1,0.2,0.4,0.6,0.8,38 45 52 59 66 73 80 87 94,分数,子样数字特征,子样矩,阶 原点矩,子样均值,子样方差,阶 中心矩,当子样以频数分布给出时,子样均值,子样方差,中位数,子样中位数,子样极差,例3 从一批机器零件毛坯中随机地抽取10件, 测得其重量为(单位: 公斤): 210, 243, 185, 240, 215, 228, 196, 235, 200, 199 求这组子样的均值、方差、中位数与极差.,解,将子样由小到大重排,则,例4 求例1(12匹