计算机中数据的表示及其运算.ppt

计算机中数据的表示及其运算,计算机进行数据处理时，首先要将相应的数据输入到计算机中，并以一定的形式存储在计算机中。计算机内部是一个二进制数字世界，所以，不管是数值数据还是非数值数据，都必须转换成二进制数的形式，才能存入计算机中。 数值数据 有确定的值并在数轴上有对应的点。 是非数值数据 非数值数据没有确定的值，如字符、文字、图像、声音、逻辑数据等。,3）计算机中采用二进制的原因,（1）物理实现容易，（2）二进制运算简单，（3）机器可靠性高，（4）通用性强,图4.25 各种数据在计算机中的转换过程,431 进位计数制,1） 进位计数制 任何一种计数制，都具有以下三个要点： （1） 数制使用的数码。十进制含10个数码：；二进制含个数码：，等。 （2） 进位规则。十进制为逢十进一；二进制为逢二进一等。 （3） 每一个数位上数码所具有的权。十进制数码各位的权是以10为底的幂，二进制数码各位的权是以为底的幂。,例如，数828.8的值为 8102+2101+8100+810-1 其中，102、101、100、10-1称为权。 对于任何一个十进数N，都可以表示成按权展开的多项式： N=dn10n+dn-110n-1+d1101+d0100+d-110-1+d-m10-m = di10i 其中，di是09十个数字中的任意一个，m、n是正整数，10被称为十进制数的基数，它是相邻数位的权之比。,一般而言，对于用R进制表示的数N（R为任意正整数），可以按权展开为： N=KnRn+Kn-1Rn-1+K1R1+K0R0+K-1R-1+K-mR-m = KiRi 其中，Ki是0,1,(R-1)个数字中的任意一个，m、n是正整数，R是基数。,表4.1列出了计算机中常用的四种进位计数制。其中十六进制中的A,B,C,D,E,F分别相当于十进制中10,11,12,13,14,15的值。,在十进制中，如将某数的各位向左移动1位，则其值增大到原来的十倍；如将某数的各位向右移动1位，则其值减少到原来的十分之一。同样，在二进制中，如将数的各位向左移动1位，则其值增大到原来的二倍；反之将数的各位向右移动1位，则其值减少到原来的二分之一。例如，二进数101011.1在左移1位或右移1位后，其值的变化如下： 二进数 值 101011.1 43.5 向左移1位 1010111.0 87 向右移1位 10101.11 21.75,2） 不同进位计数制之间的转换,转换所依据的原则是：如果两个数的值相等，则两数的整数部分和小数部分的值一定分别相等。,(1) 二进制、八进制和十六进制数转换为十进制数。 任意R进制数转换成十进制数比较简单，只需按权展开然后相加，其和便是相应的十进制数。这种方法称为按权相加法。 【例4-1】 求与（11011.01）2等值的十进数 解：(11011.01)2=124+123+022+121+120+02-1+12-2 =16+8+0+1+0+0.25=(27.25)10 【例4-2】 将十六进制数35B转换成十进数. 解：(35B)16=3162+5161+11160=768+80+11=(859)10,(2) 十进制数转换成二进制数、八进制或十六进制数 整数部分：除基取余法,【例4-3】 把18转换成二进制数。 解： 2 18 余0(K0) 2 9 余1(K1) 2 4 余0(K2) 2 2 余0(K3) 2 1 余1(K4) 0 所以 （18）10=（10010）2,小数部分：乘基取整法,【例4-4】 将(0.8125)10转换成二进制数。 解： 0.8125 2 1.6250 1(K-1) 2 1.2500 1(K-2) 2 0.5000 0(K-3) 2 1.0000 1(K-4) 所以 (0.8125)10=(0.1101)2,（3）二进制数与八进制数的相互转换,二进制数转换成八进制数的方法可以概括为“三位并一位”； 八进制数转换成二进制数的方法可以概括为“一位拆三位”；,【例4-6】 将 (11101.1101)2转换成八进制数。 解： 0 1 1 1 0 1 . 1 1 0 1 0 0 3 5 6 4 所以 (11101.1101)2=(35.64)8,（4）二进制数与十六进制数的相互转换,二进制数转换成十六进制数的方法可以概括为“四位并一位” ； 十六进制数转换成二进制数的方法可以概括为“一位拆四位” ；,【例4-7】 将（25.C4）16转换成二进制数。 解： 2 5 . C 4 0010 0101 1100 0100 所以 (25.C4)16=(100101.110001)2,表4.2列出了二、八、十、十六进制数之间的对应关系。,432 机器数,一个数在计算机内部表示成的二进制形式称为机器数，原来的数称为这个机器数的真值。,机器数具有下列特点： （1） 由于计算机设备的限制，机器数有固定的位数，它所表示的数受到计算机固有位数的限制，所以机器数具有一定的范围，超过这个范围便会发生溢出。 （2） 机器数将其真值的符号数字化。计算机中使用具有两个不同状态的电子器件，它们只能分别表示数字符号“0”和“1”。所以，数的正负号也只能通过0和1来加以区分。通常，用机器数中规定的符号位（一般是一个数的最高位）取0或1分别表示其值的正或负。 （3） 机器数中依靠格式上的约定表示小数点的位置。,1）数据的符号表示问题,机器数在参与运算时，若将符号位和数值一起进行运算，有时会产生错误的结果。例如，6+4的结果应为2，但按上述方法，则运算如下： 10000110 6的机器数 + 00000100 4的机器数 10001010 结果为10,常用的几种机器数符号表示方法：原码、补码、反码、移码。,（1） 原码表示法,原码表示的规则是：最左边一位表示数的符号，且以“0”表示正号，“1”表示负号；其余各位表示数的大小，即其绝对值。,例如，假设机器数的位数是8，则 +73原=01001001 73 原=11001001 +127 原=01111111 127 原=11111111 对于真值0而言，可以被认为是+0，也可被认为是0。+0 =00000000，0 =10000000，所以数0的原码不唯一，有“正零”和“负零”之分。 原码表示简单易懂，与真值转换方便，用于乘除运算十分方便。,（2） 补码表示法,模的概念：“模”是指一个计量系统的计数范围。 例如： 时钟的模为12，计量范围是011。若时钟指向11，则再过1小时，时钟将指向0（即12）。 n位计算机的模为2n，计量范围是02n-1。设n=4，模为24=16，计量范围是015（二进制表示为00001111）。若当前值是1111，则再加1，计数值就变为0000，而在最高位上溢出了一个“1”。 任何有模的计量器，均可化减法为加法运算。只需把减数用相应的补码表示就可将减法运算化为加法运算。,对于整数而言，若计算机字长为n位，则 X 0X2n-1 X补= 2n+X 2n-1X0,时钟为例，设当前时钟指向11点，而准确时间应为7点，调整时间的方法有两种。一种方法是将时针倒拨4小时，即114=7；另一种方法是将时针顺拨8小时，即11+8=19=12+7=7。由此可见，在以12为模的系统中加8和减4的效果是一样的，即（4）=（+8）（Mod 12）。因此可以说，当以12为模时，4的补码为12+（4），即为+8。,例如，n=8时 +73 补=01001001 73 补=100000000-01001001=10110111 1 补=100000000-00000001=11111111 127 补=100000000-01111111=10000001,用补码表示整数时可表示的数值范围,仍以n=8为例， 当X0时，最大值为X补=01111111=+127； 当X0时，绝对值最大为X补=10000000=-27=-128。所以8位整数的表示范围是-128+127。 数0的补码表示是唯一的，即 0 补=+0 补=-0 补=00000000,真值与补码简便转换方法,对正数而言，补码与真值相同； 对负数而言，符号位取1，其它各位取反、末位加1；,【例4-8】 求36的补码。 解：第1步：将36表示成二进制数 00100100 第2步：符号位取1，其余各位取反得11011011 第3步：末位加1，结果为11011100 所以 36补 =11011100,【例4-9】 求11110110补的真值。 解：第1步：除符号位外，各位取反得10001001 第2步：末位加1，结果为10001010 所以 真值为（0001010）2，即（10）10,根据补码定义，可以证明 X 补+ Y 补= X+Y 补 X 补- Y 补= X -Y 补 这表明，两个补码加减的结果也是补码，而且在运算时，符号位可同数值部分作为一个整体参加运算，如果符号位有进位，则舍去进位。 【例4-10】 设a=4，b=6，请用补码求和方法计算(ab)。 解：因为a 补=00000100，b 补=11111010 且ab 补=a 补+b 补 =00000100+11111010 =11111110 所以 (ab)= 2,采用了补码表示法后，加法和减法统一成了加法运算，可以大大简化计算机运算部件的电路设计，所以现代计算机中都使用补码形式的机器数。,前已述及，利用“求反加1”的方法可以得到负数的补码。如在上述方法中，只求反而不加1，就得到另一种机器数的表示，这就是反码表示法。 反码定义为： X 0X2(n-1) X反 = (2n1)+X 2(n-1)X0 反码表示很少直接用于计算中。反码主要被用作真值求补码的一个过渡手段。,（3） 反码表示法,（4）移码表示法,对于n位整数，移码定义为 X移=2(n-1)+ X 2(n-1)X2(n-1) 即无论为正还是为负，都在符号位加“1” 或加2(n-1)。 例如，n=8时 36 移= 27 +00100100 =10100100 36 移= 27 + 11011100 = 01011100,在移码表示中，真值“0”的表示是唯一的： 0 移=10000 移码在计算机中主要用于表示浮点数中的阶，所以通常只使用整数。,原码、补码机、反码的共同特征： 如果真值为正，则这三种机器表示的最高位都为0； 如果真值为负，则这三种机器表示的最高位都为1。 移码表示时却正相反： 如果真值为正，则移码机器表示的最高位为1； 如果真值为负，则移码机器表示的最高位为0。,2）数据的小数点表示问题,有两种表示方法：定点表示法和浮点表示法。 （1） 定点表示法 约定计算机中所有数据的小数点位置是固定不变的。该位置在设计计算机时已被隐含地规定，因此勿需再用任何状态来明显表示小数点。这样的数被称为定点数，只能处理定点数的计算机称为“定点机”。,数符 .,尾数 .,小数点位置 （隐含约定）,（2） 浮点表示法,浮点数：即数中小数点的位置不是固定不变的，而是可浮动的。在科学计算中，可能同时涉及值很大和很小的数。这时，要求计算机所表示的数，其小数点位置是可变的。,浮点数的表示形式 任何一个二进制数可表示成： (N)2 = 2r Ni2-I=2rM M（尾数）表示了数的有效数字； r被称为阶（或阶码），表示数的因子中基数的幂次，即为小数点的位置。,任何一个浮点数均由尾数和阶构成。尾数可正可负，同样阶也可正可负，所以浮点数的格式为：,一般规定，尾数为二进制定点纯小数，约定小数点在尾数最高位的左边；阶为二进制定点整数，其隐含基数为2，也可取4、8或16等。,（2） MS标准：,（1） IEEE标准：（多用于UNIX系统中）,因此，可表示的最大数约为：,凡是处于下溢区中的浮点数，其绝对值小于计算机可表示之值，这时计算机认为该数为“0”，称为“机器零”。凡是处于上溢区中的浮点数，其绝对值大于计算机可表示之值，这时计算机将中断此计算工作，向用户发出信号，指出“出现上溢”。,图4.27示意地给出了在数轴上有两个可表示的浮点数区域,433 非数值数据的编码,由“0”和“1”组成的信息，在计算机中可分别代表不同的含义，有的表示机器指令，有的表示二进制数，有的表示英文字母，有的表示汉字，还有的可能表示色彩与声音。,1） 逻辑数据 逻辑数据是一种最简单的数据，它只有两个不同的值：“真”和“假”，所以在计算机中可以用二进制的“0”和“1”来表示。 理论上，逻辑数据只需二进制的1位就可表示和存储。但是，为了便于运算，在许多系统中往往用一个字节或一个字来表示和存储逻辑数据。有的系统也用“0”和“非0”来表示逻辑值“假”和“真”。,2）字符数据,字符是字母、数字、标点符号及一些特殊符号的统称。所有字符的集合称为“字符集”。目前，使用最广泛的字符集编码方式是ASCII码。,ASCII码：即美国标准信息交换码（American Standard Code for Information Interchange）已被国际标准化组织（ISO）批准为国际标准。 ASCII码采用7位二进制表示一个字符。以一个字节来存放一个ASCII字符。每个字节中多余的一位（最左边一位）保持为“0”。由于27=128，所以共有128种不同组合，可用来表示128种不同的字符，其中包括英文大小写字母、数字09、运算符（如+，/，=等）和各种控制符（如控制打印机的走纸符，换行符，响铃符等）。,将十进制数表示为二进制编码的形式，称为十进制数的二进制编码，简称二十进制编码或码。二十进制编码或BCD（BinaryCoded Decimal）码。 最常用的是8421码，它从4位二进制码中按计数顺序选取从0000开始的前10个码分别表示数字符号09。 8421码是一种带权码，4位二进制各位的权值由高到低分别是23，22，21，20，即8，4，2，1，因此而得名。 8421码书写直观，例如十进数1997可写成0001 1001 1001 0111。 须注意，8421码形式上像二进制数，但不是真正的二进制数，与（1997）10等值的二进制数是11111001101B,3）十进制数的二进制编码表示,表4.3 8421码,4）汉字编码,汉字是表意文字，其总数超过6万字。对数目繁多的汉字进行编码远比对西文字母的编码复杂得多。 根据汉字处理过程的不同，汉字有多种编码，主要可分为：汉字输入编码、汉字交换码、汉字机内码和汉字字形码。它们在汉字信息处理中的流程如图4.28所示，其中虚线框中的编码是对国标码而言。,图4.28 汉字信息处理系统的模型,汉字输入编码是用字母和数字对汉字进行的编码，目的是为了能使用只有字母和数字键的小键盘，将汉字输入计算机。方法大多是按照汉字的字形，或者字音，或者音形结合来对汉字进行编码的。常用的有拼音编码和五笔字型编码等。,（1）汉字输入编码,雷明顿工厂生产的第一台打字机,最老的中文铅字打字机,火热一时的四通中文打字机,汉字国标码也称交换码，是在不同计算机系统之间进行信息交换使用的编码。它是信息交换用汉字编码字符集基本集的简称，是我国国家标准总局于1981年颁布的国家标准，编号为GB231280。国标码由三部分组成：第一部分是字母、数字和各种符号，包括拉丁字母、俄文、日文平假名与片假名、希腊字母、汉语拼音等682个；第二部分为一级常用汉字，共3755个，按汉语拼音排列；第三部分为二级常用字，共3008个，按偏旁部首排列。共计7445 个字符。,（2） 汉字国标码,GB231280信息交换编码表，排成一张9494=8836的图形字符代码表，表2.4是其部分示意。 将表中的行称为区，列称为位。采用两个字节的7位二进制编码表示。以第一字节表示行，第二字节表示列，这就是国标区位码，简称区位码。,两个字节的区位码中每个字节可表示成一个两位的十进制数，这样一个汉字字符的区位码由4位数码组成，例如汉字“啊”，它的区位码是1601，即位于十进制数的第16区、第01位，对应的二进制编码第一字节为00010000，第二字节为00000001。 国标码是信息交换编码的十六进制表示形式，国标码与区位码有简单的对应关系：国标码=区位码+2020H。加2020H的目的是使两个字符都避免与ASCII码的控制字符冲突。仍以汉字“啊”为例，对应的二进制数第一字节为00110000，第二字节为00100001，即它的国标码是十六进制数3021H。,汉字系统中的机内码在编码时必须考虑到既能与ASCII码严格区分，又与国标GB231280汉字字符集有简单的对应关系。采用的方法之一是将表示一个汉字的国标码的2个字节的最高位都设置为“1”。以汉字“大”为例： 国标码为： 3473H 对应的二进制数为： 00110100，01110011B 机内码为： B4F3H 对应的二进制数为： 10110100，11110011B 由此可见，汉字内码与国标码之间的关系是： 机内码=国标码+8080H=区位码+A0A0H 用2字节的内码可表示汉字的个数是216-2=214=16384，足够覆盖常用的近8000个汉字。,（3）汉字机内码,（4）汉字字形码,汉字是形意文字，要在输出设备上显示一个汉字，通常是把单个汉字离散成网点，每点以一个二进制位表示，由此组成的汉字点阵字形（字模）称为汉字字形码。,例如，一个1616点阵汉字占16行，每行16个点在存储时用16/8=2个字节来存放，因此，一个1616点阵汉字占用32个字节。 通常汉字显示使用1616点阵,汉字打印可选用2424, 3232, 4848等点阵。点数愈多，打印的字体愈美观，但汉字库占用的存储空间也愈大。 要存储近8000个16*16点阵的汉字，至少需要约256KB的存储空间来存放汉字字元点阵，这样一种有规律的汉字点阵的集合称为汉字字形库简称汉字库。,每个汉字字形码在汉字字库中的相对位移地址称为汉字地址码。当需要输出汉字时，必须通过地址码，才能在汉字字库中取到所需的字形码，在输出设备上形成可见的汉字字形。,（5）汉字地址码,图4.28 汉字信息处理系统的模型,434逻辑运算基础,由于计算机的硬件中包含有可以实现各种逻辑功能的电路，并使用逻辑代数的规则进行各种逻辑判断。因此，计算机具有逻辑运算功能。 我们把“真”和“假”这两个不变的逻辑值，称为逻辑常量；把只能取“真”和“假”这两个逻辑值的变量，称为逻辑变量。 例如： “2大于1”的值为“真”； “15是偶数”的值为“假”； “X0”的值取“真”还是取“