统计量和抽样分布.ppt

从本章起转入课程的第二部分,数理统计,数理统计的特点是应用面广，分支较多. 社会的发展不断向统计提出新的问题.,第四章、抽样分布,引言,从本章节开始，,我们将讲述数理统计的基本内容.,理统计作为一门学科诞生于19世纪末20世纪初，,有广泛应用的一个数学分支，,它以概率论为基础，,据试验划观察得到的数据，,来研究随机现象，,研究对象的客观规律性作出合理的估计和判断.,大量随机现象必然呈现出它们的规律性，,故理论上只,要对随机现象进行足够多次观察，,则研究对象的规律,数,是具,根,以便对,由于,必就一定能清楚地呈现出来，,但实际上人们常常无法,对所研究的对象的全体(或总体),进行观察，,而只能抽,取其中的部分(或样本),数据.,数理统计的任务包括：,限的数据资料；,究，,从而对研究对象的性质、特点，,作出合理的推断,此即所谓的统计推断问题，,本课程主要讲述统计推断,的基本内容.,进行观察或试验以获得有限的,怎样有效地收集、,整理有,由于学时有限，课程的的这部分内容我们只介绍理论部分，即抽样分布。至于具体的方法,学生可以自己推导并学会处理问题。,4.1 统计量,一、总体与样本,一个统计问题总有它明确的研究对象.,1.总体,研究对象的全体称为总体(母体)，,总体中每个成员称为个体.,总体,然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体.,由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指标的出现也带有随机性. 从而可以把这种数量指标看作一个随机变量，因此随机变量的分布就是该数量指标在总体中的分布.,这样，总体就可以用一个随机变量及其分布来描述.,例如:研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量X表示，或用其分布函数F(x)表示.,某批 灯泡的寿命,总体,寿命X可用一概 率分布来刻划,鉴于此，常用随机变量的记号 或用其分布函数表示总体. 如 说总体X或总体F(x) .,类似地，在研究某地区中学生的营养状况时，若关心的数量指标是身高和体重，我们用X和Y分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数F(x,y)来表示.,统计中，总体这个概念 的要旨是：总体就是一个 概率分布.,为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体数目称为样本容量.,2. 样本的数学描述,样本是随机变量.,抽到哪5辆是随机的,容量为n的样本可以看作n维随机向量.,样本的双重含义：泛指一次抽样结果,是一个n维向量,称为样本的一个观测值。,n维随机向量；指某次具体抽样结果,但是,一旦取定一组样本,得到的是n个具体的数 ,称为样本的一次观察值，简称样本观测值 .,2. 独立性： X1,X2,Xn是相互独立的随机变量.,最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”，它要求抽取的样本满足下面两点:,代表性： X1,X2,Xn中每一个与所考察的总 体有相同的分布.,定义1 设总体X具有分布函数,为简单的随机样本，简称样本。,事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值. 如我们从某班大学生中抽取10人测量身高，得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本. 我们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量.,3. 总体、样本、样本值的关系,简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当说到“X1,X2,Xn是取自某总体的样本”时，若不特别说明，就指简单随机样本.,统计是从手中已有的资料-样本值，去推断总体的情况-总体分布F(x)的性质.,总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体.,样本是联系二者的桥梁,分组数据统计表和频率直方图,通过观察或试验得到的样本值，,一般是杂乱无章的，,需要进行整理才能从总体上呈现其统计规律性，,组数据统计表或频率直方图是两种常用的整理方法.,1.,分组数据表：,若样本值较多时，,组，,分组的组数应与样本容量相适应.,分组太少，,难以反映出分布的特征，,分组太多，,则由于样本取,值的随机性而使分布显得杂乱.,因此，,分,可将其分成若干,则,分组时，,确定,分组数(或组距)应以突出分布的特征并冲淡样本的,随机波动性为原则.,区间所含的样本值个数称为该,区间的组频数.,组频数与总的样本容量之比称为组,2.,频率直方图：,频率直方图能直观地表示出组频,率的分布.,其步骤如下：,(1),频率.,(2),并,且小区间不包含右端点)：,(3),组频率,及,求组频数,(4),为宽作小矩形，,所有小矩形合在一起就构成了频率,直方图.,例1,从某厂生产的某种零件中随机抽取120个,测得,列出分组表,并作频率,直方图.,解,先从这120个样,本值中找出最小值,190,取,将区间,等分成11个小区间,组距,例1,从某厂生产的某种零件中随机抽取120个,测得,列出分组表,并作频率,直方图.,解,得到分组表及频,从直方图的形状,可以粗略地认为该种零件的质量,率直方图.,服从正态分布,其数学期望在209附近.,经验分布函数,定义2,可按大小次序排列成,若,因而函数,注：,样本的频率直方图可以形象地描述总体的概率,分布的大致形态，,而经验分布函数则可以用来描述,总体分布函数的大致形状.,有下列结论(格里汶科, 1933):,对于上述经验分布函数,由此结果，,对于任一实数,从而在实际中可当作,来使用.,这就是由样本推断总体其可行性,的最基本的理论依据.,由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来.,二、统计量和抽样分布,1. 统计量,定义2 设是来自总体X的一个样 本， 是一个连续函数，如果 中不包含任何未知参数,则称 是 的一个统计量。,例如，,未知.,为总体的一个样,令,本，,但,不是该样本的统计量，,因其含有总体分布中的未知,参数,注：,这个随机向量的函数，,用大写字母，,如：,等；,但是，,统计量就是一个具,统计量是,体的实数值，,用小写字母，如：,等.,2. 几个常见统计量,样本均值,样本方差,它反映了总体均值 的信息,它反映了总体方差 的信息,样本标准差：,修正样本方差：,样本k阶原点矩,样本k阶中心矩,k=1,2,它反映了总体k阶矩 的信息,它反映了总体k阶 中心矩的信息,补充说明,为样本的偏差平方和，,可将其变形如下：,称,从而,例2,某厂实行计件工资制,为及时了解情况,随机,抽取30名工人,调查各自在一周内加工的零件数,其样本均值,它反映了该厂工人周工资的一般水平.,为:,所以样本方差为,由于,样本标准差为,例3,设我们获得了如下三个样本:,样本,样本,样本,明显可见它们的“分,散”程度是不同的:,这一直觉可以用样本方差来表示.,这三个样本的均,值都是 5,即,而样本容量,易得,例3,设我们获得了如下三个样本:,样本,样本,样本,易得,同理易得,由此可见,这与直觉是一致的.,由于样本方差的量纲与样本的量纲不一致,故常用,样本标准差表示分散程度,易求出,易求出,同样有,因此,常用,去估计,计.,例3,设我们获得了如下三个样本:,样本,样本,样本,分位数,对给定的实数,（1）,（2）,例如，,标准正态分布的上侧分位数和双侧分位数,分位数,例如，,标准正态分布的上侧分位数和双侧分位数,分别如下图：,分位数的性质：,通常，,直接求解分位数是很困难