理论力学习题解答.ppt

习题解答,理论力学,14-12、图示滑道连杆机构，位于水平面内。曲柄长 r ，对转轴的转动惯量为 J ；滑块 A 的质量不计。今在曲柄上作用一不变转矩 M ，初瞬时系统处于静止，且AOB = 0 ，求曲柄转一周后的角速度。,va,ve,vr,由动能定理,14-13、图示曲柄连杆机构位于水平面内。曲柄重 P 、长为 r ，连杆重 W 、长为 l ，滑块重 G ，曲柄及连杆可视为均质细长杆。今在曲柄上作用一不变转矩 M ，当BOA = 900 时 A 点的速度为 u ，求当曲柄转至水平位置时 A 点的速度。,14-14、图示行星齿轮机构位于水平面内，动齿轮A重P、半径为r，可视为均质圆盘；系杆OA重W，可视为均质细杆；定齿轮半径为R。今在系杆上作用一不变的转矩M使轮系由静止而运动，求系杆的角速度与其转角的关系。,14-15、均质细杆重Q、长为l，上端靠在光滑的墙上，下端A以铰链和一均质圆柱的中心相连。圆柱重P、半径为R，放在粗糙的地面上，从图示位置（ =45）由静止开始作纯滚动。求A 点在初瞬时的加速度。,vA,vB,D,解：取系统为研究对象。则任意瞬时系统动能为,C,vC,其中,所以,vA,vB,D,C,vC,由于系统为理想约束，只有重力作功，所以元功为,Q,由动能定理的微分形式,得,因,所以,解得,令 =45，vA=0，得,14-20. 图示正方形均质板的质量 m=40kg, 边长b=100mm, 在铅垂面内用三绳拉住。试求:(1)绳FG剪断瞬间,正方形板的加速度以及AD和BE两绳的张力;(2)当AD和BE两绳位于铅直位置时,板中心C的加速度和两绳的张力。,解: (1) 板作平动,初始位置受力如图。,板作平动,绳FG剪断瞬间: vC=0, = 0,aCn= 0, aC = aC,maC = mg cos 60,JC = MC(Fi),0= FA+FB mgsin 60,由质心运动定理有,(FB FA ) sin 60 (FA+FB ) cos 60 = 0,由以上方程即可解出FA、FB和aC。,(2) 两绳位于铅直位置时,受力如图。,maC = 0,maCn = FA+FB mg,FB (b/2) FA (b/2) = 0,式中:,aCn = vC2/,再由动能定理的积分形式,初时刻系统的动能,T2T1 = Wi,T1 = 0,两绳位于铅直位置时,系统的动能,T2 = mvC2/ 2,而,Wi = mg(1sin 60),mg(1sin 60) = mvC2/ 2,即可解出FA和FB。,14-21. 图示三棱柱A沿倾角为的斜面B无摩擦地滑动, A和B的质量分别为m1和m2, 斜面B置于光滑的水平面上。试求任意时刻斜面B的加速度。,解: 斜面B,m2aB= FN sin ,三棱柱A,aA = aB + ar,运动学关系:,m1(aB+ar)= m1g+ FN,m1aBsin=m1gcosFN,aB=(m1gsin 2)/2(m2+m1sin2),14-22. 图示圆环以角速度绕铅直轴AC转动, 圆环的半径为R, 对转轴的转动惯量为J。质量为m的小球最初放在环中A点, 受微扰后沿环滑下。不计摩擦, 求小球到达B和C时, 圆环的角速度和小球的速度。,解: 圆环和小球所组成的系统在运动过程中对z 轴的动量矩守恒。初始时刻小球的速度为零,圆环的角速度为。设小球在B和C处时的速度分别为vB和vC,圆环的角速度分别为B和C,则有,LzA= J,LzC= JC,LzB=JB+Mz(mvB) =JB+Mz(mve)+Mz(mvr),= mR2B,LzB=JB+mR2B,LzA = LzB = LzC,因为,再应用动能定理求小球的速度。,TA= J2/2,TB=(JB2+mvB2)/2,WAB = mgR,TB TA=WAB,mvB2+J(B2 2) = 2mgR,由此即可解出vB。而,TC=(JC2+mvC2)/2,WAC = 2mgR,mvC2+J(C2 2) = 4mgR,14-23. 质量为m0的物块静止于光滑的水平面上。一质量为m的小球最初位于A处, 后沿物块上半径为r的光滑半圆槽无初速地滑下。若m0=3m,试求小球滑到B处时相对于物块的速度及槽对它的压力。,解: (1)系统在水平方向动量守恒,初始时刻小球和物块的速度均为零,设小球在B处时的绝对速度为vB,物块的速度为ve,则有,vB = ve+ vr,vB = ve vr,m(ve vr) +m0ve = 0,vr = 4ve,初始时刻系统的动能T1=0,小球在B处时系统的动能,T2=m(ve vr)2+m0ve2/2,Wi = mgr,而,故由动能定理可得,vr = 4ve,m(ve vr)2+m0ve2/2 = mgr,(2) 设小球在B处时的绝对速度为aB,物块的速度为ae,则有,aB = ae+ arn + ar,maB= m(ae+ arn + ar),= mg + FN,marn= FN mg,式中,arn= vr2/r,FN =11mg/3,14-25. 图示均质杆OA长为l,质量为m1;均质圆盘半径为R,质量为m2。不计摩擦,初始时刻杆OA水平,杆和圆盘静止。试求杆与水平成角时,杆的角速度和角加速度。,解: 以圆盘为研究对象,因外力对质心A的矩为零,故圆盘相对于质心A的动量矩守恒。初始时刻圆盘静止, LA1=0。设杆与水平成角时,圆盘的角速度为A,则有,LA2= JAA,LA2= LA1,A= 0,以杆和圆盘组成的系统为研究对象,初始时刻系统的动能T1=0,杆与水平成角时系统的动能,A= 0,而,Wi=(m1+2m2)gl(sin)/2,代入动能定理,T2T1=Wi,即可解出,14-28. 、均质细杆AB长为 l ，质量为 m ，起初紧靠在铅垂墙壁上，由于微小扰动，杆绕B点倾倒如图。不计摩擦。求：（1）B 端未脱离墙时AB杆的角速度和角加速度及B处的约束力；（2） B端脱离墙时的 1 角；（3）杆着地时质心的速度及杆的角速度。,解：（1） B 端未脱离墙时AB杆作定轴转动，由动能定理有,解得：,对式求导,解得：,FBx,FBy,aC,aCn,由质心运动定理，有,（2）令,得,即,（3）从 B端脱离墙开始，系统水平方向动量守恒。,B,A,C,vB,vCB,vC,从 B端脱离墙开始，应用动能定理，有,其中,解方程，可得,B,A,C,vB,vCB,vC,如图所示，有,综-9(). 图示斜面D的倾角为, 重物A沿斜面下滑, A和B的质量分别为m1和m2, 滑轮C和绳的质量及一切摩擦均忽略不计,试求斜面D作用于地面凸出部分E的水平压力。,解: 以整个系统为研究对象,受力如图示。任意时刻系统的动能为,T = (m1+m2)v2/ 2,dT = (m1+m2)v dv,Wi=(m1sin m2)gds,而,a=(m1sin m2)g/ (m1+m2),a=(m1sin m2)g/ (m1+m2),再由质点系动量定理在水平方向的投影可得,将a代入即可得水平压力Fx。,综-15. 质量为 m=4kg的均质杆, 用两根等长的平行绳悬挂,如图所示。试求其中一根绳被剪断瞬间,另一绳的张力。,解: 以AB为研究对象,绳断瞬间受力如图示。因为水平方向无外力作用,故aC沿铅直方向。,maC = mg FT,JC = FTl/2,式中:,JC= ml2/12,aAn+aA=aC+anAC+aAC,因为:,初始时刻,aAn= 0,anAC= 0,aA=aC+aAC,aC=aAC =l/2,由此即可解出FT =mg/4 。,在凸轮导板机构中，偏心轮的偏心距OA=e。偏心轮绕O轴以匀角速转动。 当导板在最低位置时弹簧的压缩为b。导板的质量为m。为使导板在运动过程中始终不离开偏心轮，试求弹簧刚度的最小值。,解: 导板CD作平动。首先求导板的加速度及弹簧的变形。,y = R+e cos = R+e cos t,导板质心的加速度,aC = d2y/dt2 = e2cos t,因CD不离开偏心轮，故有,在任意位置弹簧的变形,= l (h y) = e(1+cos t)+b,设弹簧的原长为l，当导板在最低位置(y =Re)时弹簧的压缩为b，即,h (Re) = l