微分几何第二章曲面论2.1曲面的概念.ppt

第二章 曲面论,内 容 提 要,1、曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线） 2、曲面的第一基本形式(第一基本形式、曲线的弧长、 正交轨线、曲面域的面积、等距变换、保角变换） 3、曲面的第二基本形式(第二基本形式、曲面曲线的 曲率、杜邦指标线、渐近线、曲率线等） 4、直纹面和可展曲面（直纹面、可展曲面） 5、曲面论的基本定理（基本方程、基本定理） 6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯波涅 公式、曲面上向量的平行移动） 7、常高斯曲率曲面（常高斯曲率的曲面、伪球面、罗 氏几何）,第一节 曲面的概念,1、1 简单曲面及其参数表示,一、初等区域,平面上的不自交的闭曲线称为约当曲线。约当曲线将平面分成两部分，并且每一部分都以它为边界，它们中有一个是有限的，另一个是无限的，有限的区域称为初等到区域。约当曲线的内部称为初等区域。如矩形的内部、园的内部等。,如果平面上的初等区域到三维欧氏空间的对应是一一的、在上的、双方连续的映射（拓朴映射），则把三维空间中的象称为简单曲面。 今后我们所用的都是简单曲面或曲面。 如：一矩形纸片（初等区域）可以卷成有裂缝的园柱面。如果它是橡皮膜，还可变成园环面。,二、简单曲面,三、曲面的方程,初等区域G中的点的的笛氏坐标为(u,v)，它的拓朴象为曲面S，其上的点的笛氏坐标为(x,y,z)，故有 x = f1(u,v) , y = f2(u,v) , z = f3(u,v) , (u,v)G 称为曲面S的参数表示或参数方程，u和v称为曲面S的参数或曲纹坐标。习惯上写作 x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) , (u,v)G 例：园柱面；球面；旋转面。,四、坐标曲线；曲纹坐标网。,曲面上一点 P 的直角坐标为（x , y ,z），它的曲纹坐标为（u ,v）。现在取 v = 常数而 u 变化时的曲线叫 u -曲线 ( u线） u = 常数而 v 变化时的曲线叫 v -曲线（v线） 面上构成坐标网，称为曲面上的曲纹坐标网。对于曲面上任一点 P ，两族曲线中各有一条经过它。 （例题）,1、2 光滑曲面、曲面的切平面和法线,一、光滑曲面、正常点、正规坐标网 1、若曲面 x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) 或 r = r (u,v) 中的函数 有直到 k 阶的连续微商，则称为 k 阶正则曲面或 类曲面。 类的曲面又称为光滑曲面。,2、过曲面上一点( u0 ,v0 ) 有一条u-曲线： r = r (u,v0) 和一条v曲线： r = r (u0 ,v) ,该点处这两条坐标曲线的切向量 为 如果它们不平行，即 ru rv在该点不为零，则称该点为曲面 的正常点。,3、正规坐标网 由ru， rv 的连续性，若 ru rv在( u0 ,v0 )点不为零，则总存在该点的一 个邻域U，使在这个邻域内有ru rv不为零，于是在这片曲面上，有一族 u 线和一族 v 线，它们不相切，构成一正规坐标网。,4、曲面在正常点的邻域中总可用显函数的形式表示， 即有 z = z ( x , y ), 事实上，由3 ，ru rv在( u0 ,v0 )点不为零，则总存在该点的一 个邻域U，使在这个邻域内有ru rv不为零，故的坐标中的三个二级子式中至少有一个不为0，不妨设第一个不为0，即 由隐函数定理， x = x (u ,v) , y = y (u ,v) 在 U 中存在唯一的单值连续可微函数 u = u (x , y ), v = v( x , y) , 代入得 z = z u( x, y),v(x,y) = z(x,y)。,二、曲面的切平面,设曲面曲线为 (c)： u = u (t) , v = v (t) , 或 r = r u (t) ,v (t) = r (t)， 这条曲线在曲面上( u0 ,v0 )处的切方向称为曲面在该点的切方向 或方向，它平行于 其中 分别是在( u0 ,v0 )点处的两条坐标曲线的切向量。 以下切方向几种表示通用：du : dv , (d) 和 。,1、切平面的定义,可以看出，切向量 与 共面，但过( u0 ,v0 )点 有无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数方向，且有,命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标 曲线的切向量 所确定的平面上。 这个平面我们称作曲面在该点的切平面。,3、切平面的方程,设面上一点为 P0( u0 ,v0 )，R (X,Y,Z)为平面上任一点， 则有 或写成坐标表示式,如果用显函数 z = z ( x , y ) 表示曲面时，有,三、法方向与法线,1、定义：曲面在正常点处垂直于切平面的方向称为曲面的法方 向，过该点平行于法方向的直线称作曲面在该点的法线。,由定义，曲面的法方向为 单位法向量为,2、法线的方程 设曲面上任一点 r (u,v) 的径矢为 R (u,v) 则法线的方程为 用坐标表示为,若用 z = z (x,y) 表示曲面，则有,四、参数变换,如果曲纹坐标 (u,v) 变为新的曲纹坐标 ： 则得到曲面关于新曲纹坐标 的方程 对 求导：,因此,（1） ， 则两个法向量平行。,（2） ，所有参数法向量的正向保持不变， 称这个方向为曲面的正向。,（3）交换参数，则正向改变为负向，曲面为双侧。,1、3 曲面上的曲线簇和曲线网,设光滑曲面上的曲线为 (c)： u = u (t) , v = v (t) , 或者 r = r u ( t ) , v ( t ) = r ( t ) , 消去 t ，可得曲面上曲线的方程为,1、一阶线性微分方程 表示曲面上的一簇曲线曲线簇，设 则有 解之得 特别 当 A = 0 或 B =