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文档简介
,一、连续函数的运算法则,第九节,二、初等函数的连续性,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.,在其定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .,例如,例如,在,上连续单调递增,,其反函数,(递减),(证明略),在1, 1上也连续单调,(递减),递增.,在,上连续,其反函数,在,上也连续单调递增.,又如,单调 递增,定理3,证:,将上两步合起来:,意义,1.极限符号可以与函数符号互换;,例1,解,定理4. 连续函数的复合函数是连续的.,证: 设函数,于是,故复合函数,且,即,注意 定理4是定理3的特殊情况.,例如,是由连续函数链,因此,在,上连续 .,复合而成 ,二、初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,定义区间是包含在定义域内的区间,初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义 域内不一定连续;,2. 初等函数求极限的方法代入法.,说明:,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,例2,解,初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;,2. 初等函数求极限的方法代入法.,例3. 求,解:,原式,例4. 求,解: 令,则,原式,例5. 求,解:,原式,说明: 若,则有,说明: 若,则有,幂指函数,即:,例6. 设,解:,讨论复合函数,的连续性 .,故此时连续;,而,故,x = 1为第一类间断点 .,在点 x = 1 不连续 ,内容小结,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数的四则运算结果仍连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.,思考与练习,续?,反例,处处间断,处处连续 .,反之是否成立?,作业 P69 3 (5) , (6) ,
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