D18连续性间断点(42).ppt

在很短的时间内, 它们的变化都是很微小的。 即：当自变量的改变量很微小时，函数值的变化也很小。,在实际问题中所遇到的函数往往具有这样的特点：因变量随自变量的变化而连续不断地变化。,例如：温度的变化，运动物体的位移，等等。,具有这种特点的函数就是连续函数。,如何从数量关系上来刻画这种“连续不断地变化”的特点呢？,可以用极限来给出其定义。,二、 函数的间断点,一、 函数连续性的定义,第八节,函数的连续性与间断点,第一章,一、函数连续性的定义,变量的增量,设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域U(x0，) 内有定义,称y=f(x0+x)-f(x0)为函数y的增量,在邻域U(x0，)内 若自变量x从初值x0变到终值x1 则称x=x1-x0为自变量x的增量,函数的连续性定义,提示:,设x=x0+x 则当x0时 xx0 因此,设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果,那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续,y=f(x0+x)-f(x0),讨论: 如何用e-d 语言叙述函数的连续性定义？,e 0 d 0 当|x-x0|d 有|f(x)-f(x0)|e ,提示:,函数的连续性定义,设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果,那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续,左连续与右连续,结论,函数y=f(x)在点x0处连续函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续,函数的连续性定义,设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果,那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续,注:,连续函数,在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续,例如，,多项式函数P(x)在区间(- +)内是连续的,这是因为 函数P(x)在(- +)内任意一点 x0处有定义 并且,如果区间包括端点 那么函数在右端点连续是指左连续 在左端点连续是指右连续,在闭区间,上的连续函数的集合记作,例1 证明函数,在,内连续 .,证:,即,这说明,在,内连续 .,同样可证: 函数,在,内连续 .,例2. 讨论函数在 x = 0 处的连续性, y = | x | 在点 x = 0 处连续.,x,y,y = | x |,O,证明：,故符号函数 y = sgnx 在点 x = 0 处不连续.,证明：,证明：,连续,函数,在点,(1),在点,即,(2) 极限,(3),连续必须具备下列条件:,存在 ;,有定义 ,存在 ;,在,在,二、 函数的间断点,(1) 函数,(2) 函数,不存在;,(3) 函数,存在 ,但,不连续 :,设,在点,的某去心邻域内有定义 ,则下列情形,这样的点,之一, 函数 f (x) 在点,虽有定义 , 但,虽有定义 , 且,称为间断点 .,在,无定义 ;,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在 ,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在 ,称,若其中有一个为振荡,称,若其中有一个为,为可去间断点 .,为跳跃间断点 .,为无穷间断点 .,为振荡间断点 .,（演示 ）,（演示 ）,（演示 ）,（演示 ）,为其无穷间断点 .,为其振荡间断点 .,为可去间断点 .,例2,显然,为其可去间断点 .,(4),(5),为其跳跃间断点 .,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,思考与练习,1. 设,时,提示:,2. P65 题 3 , *8,为,连续函数.,作业 P65 4 ; 5,注意到： 这种间断点称为可去间断点.,G,可去间断点 .,注意到： 这种间断点称为可去间断点.,G,可去间断点 .,注意到： 这种间断点称为可去间断点.,G,可去间断点 .,注意到： 这种间断点称为跳跃间断点.,G,跳跃间断点,哎，小红点，你跑哪去了？,快救救我，我要跑到未知世界去了！,这种间断点称为无穷间断点,G,无穷间断点,