《中值定理与洛必达》PPT课件.ppt

罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理统称微分学中值定理，它们在理论上和应用上都有着重大意义，尤其是拉格朗日中值定理，它刻划了函数在整个区间上的变化与导数概念的局部性之间的联系，是研究函数性质的理论依据。 学习时，可借助于几何图形来帮助理解定理的条件，结论以及证明的思路，并初步掌握应用微分学中值定理进行论证的思想方法。,第三章 中值定理与导数的应用,本章重点：,利用导数研究函数以及曲线的性态（如单调性、凹凸性、渐进线等）,微分学中值定理,（罗尔定理、拉格朗日中值定理）,洛必达法则 计算不定型极限,利用导数证明不等式,1. 中值定理,一、罗尔定理,( Rolle 1652 1719 法国 ),几何意义：,AB 为 a , b 上连续曲线，且除,a, b 两点外都有切线存在，两端点纵标相等，,则在 (a , b) 中至少能找到一点，使这点对应,曲线上的点处的切线平行于 x 轴。,A,B,x,y,0,8,证：, f (x) 在 闭区间 a, b 上连续，,f (x) 在 a, b 必有最大值 M 及最小值 m,有两种情况:,(1) M = m ;,(2) M m .,(1) 若 M = m ，,则 m = f (x) = M ,f (x) 为常数，即有,那么 ( a, b ) 内任一点都可取作 ，, M = m 时，定理必成立。,(2) 若 M m ， f (a) = f (b) ,M , m 中至少有一个不等于 f (a) 或 f (b),不妨设 M f (a) , (设 m f (a) 同样可证）,又设 有 f () = M, f (x) 在( a, b ) 可导，,由极限的保号性：,可见在函数取到最大值与最小值的点处，其导数等于 0 。,例：,说明：,1.,罗尔定理的条件是充分的，但非必要的。,1 .,。,虽不满足条件 (1)、(3),但仍存在,但若条件都不满足，则一定找不到定理中的 。,2.,特别，当 f (a) = f (b) = 0 时，,Rolle 定理 可简述为：,若 f (x) 在 a, b 连续，在 ( a, b ) 可导，,则在函数的两个零点之间，它的一阶导数,至少有一个零点（或一个根）。,例题讨论,例1：,验证罗尔定理对函数 f (x) = sin x,在 0， 上的正确性，并求出 。,证：,满足罗尔定理条件，, 罗尔定理成立。,例2：,证：,由Rolle定理，至少存在,例3：,证：,由Rolle定理，至少存在,证：先证根的存在性：令,由零点定理，必有,例4：,再证唯一性：,有两个根 x1 与 x2 , 即,设 F (x) = 0 在 (0, 1),又F(x) 在 0, 1 上连续，在 (0, 1) 内可导，,由罗尔定理，必存在,但已知, F (x) = 0 只有一个小于1的正根。,矛盾 !,反证：,由上述即知，,则在 x1, x2 间有 ，使,则在 x1, x2 间有 ，使,以此类推。,若 f (x) 在0, 1上有二阶导数，且 f (1) = 0，设 F (x) = x2 f (x)，试证在（0, 1）内至少存在一点 ，使,例5：,证：,F (x) 在0,1连续, 在(0, 1)可导(由题意),则由罗尔定理，,又由罗尔定理，,这条件很特殊，若取消这条件，AB 弦就不一定平行于 x 轴，此时结论又如何？,三、拉格朗日中值定理,（Lagrange 1736 - 1813 法国）,罗尔定理中：,拉格朗日中值定理： 若函数 f (x)（1）在 a, b 上连续， （2）在（a, b）内可导， 则在（a, b）内至少存在一点 ，使得：,而右端正是AB弦的斜率 .,x,A,B,y,O,a,b,1,2,几何意义：,式 可写成:,在上述条件下，曲线AB上至少有一点，使 ( , f () 处的切线平行于 AB 弦。,显然，罗尔定理 是 L 定理 的特殊情况 ：,弦 AB 平行于 x 轴。,曲线AB与弦AB交于A、B点，此处它们的,（1）分析：,这样就要使两端点函数值相等，为此引进,希望能用罗尔定理来证，,辅助函数 (x) , 且要满足,注意，弦AB的方程：,f (x) 为曲线AB上纵坐标，,y 为弦AB上的纵坐标。,差即为0，即,证：,至少存在一点,（2）证：,作辅助函数：, f (x) 在 a, b 连续，在（a, b）可导，, (x) 在 a, b 连续，在（a, b）可导，,则由罗尔定理，,须掌握这种引进辅助函数来证明一些等式的方法。,例：,设 f (x) 在 a, b 连续，在（a, b）可导，,证明存在一点,分析：,由罗尔定理，存在,证明：,由条件知,F(x) 在a, b上连续，在(a, b)内可导，且,此类问题的关键是构造合理的辅助函数，可采用反向演绎的思维方式，多掌握一些函数的导数形式，如,1.,说明：,又称为拉格朗日中值公式。,若 a b , 即在 b, a 中，L 定理仍成立，,2.,注意：此式并不是 式的反向， 的范围不同。,Lagrange中值定理的另一些形式：,3.,(1),则有,(2),设 x, x + x 为（a, b）内任意两点,则 f (x) 在 x, x + x 或 x + x, x 上,仍满足L 定理，,在中令：, 式即称为有限增量公式。由此 L 定理也称为有限增量定理，或微分中值定理。,曾知,从L 定理可得以下推论：,只是y 的近似式，,是y 的精确表达式，,它明确表达了函数增量与函数在某点 导数的关系。,定理：,(原已知常数的的导数为0，现逆命题也成立),证：,由L 定理：,由 x1, x2 的任意性，,（P. 129）,（说明若两个函数在某一区间内具有相同的导数，则这两个函数仅差一个常数）,推论 ：,若 f (x) , g (x) 在 (a, b) 内成立,则在 (a, b) 内,证：,由定理: F (x) = C,例题讨论,证：,例1：,验证拉格朗日中值定理对, 满足 L 定理 的条件，,利用L 定理证明一些不等式：,例2：,证明不等式,证：,则 f (u) 在 x, y 连续，在( x, y ) 可导，,由L 定理：,同理，x y,例3：,证明：,分析：,出现函数 arctan x 在a, b上的增量,用 L定理 。,由L 定理：,令,证 ：,例4:,则 f (x) 在 x0 处右导数存在, 且,（即导函数在左端点处的右极限值 该点右导数值）,证：,要证：,得证。,=,课外作业,习题 3-1 （A）,1, 2, 4, 6, 8, 10,习题 3-1 （B）,2, 3, 5, 6, 9, 10, 12,A,B,C,Y,X,f(b),f(a),g(a),g(b),g(),四、柯西中值定理 (Cauchy 1789-1857 法国),若曲线AB: Y = f (X) 用参数方程表示：,与这一事实相应的就是柯西中值定理：,注意：柯西中值定理并不是分子分母分别利用拉格朗日中值定理而得，如这样，则不会是一个，但柯西中值定理中的是同一个。,说明：,(1),当 b a 时定理同样成立，并仍有,(2),柯西中值定理主要用于证明计算极限的 一个非常重要的法则洛必达法则。,此时即为 Lagrange 中值定理。,2. 洛必达法则,定理：,证：,则 x 0 至多是 f (x), g (x) 的可去间断点, 设 f (x0) = 0, g (x0) = 0,那么 f (x), g (x) 在 x0 的某个邻域内连续, 且,除 x0 外 f (x), g (x) 可导，,由柯西中值定理,. x0,. x,. x0,. ,. ,( 或连续点 )，,说明：,同理,例题讨论,求下列极限:,=,= 0.,由例5、6 可见，三个函数 a x , x , log a x当 x + 时都是无穷大量, 但它们趋于无穷大的快慢程度不同。,以指数函数 a x 的速度最快，,幂函数 x 次之，,对数函数 log a x 最慢。,可见一味用洛必达法则，则永远无结果。, 洛必达法则并不是万能的，一旦做不下去必须改用其它方法。,= 0，,若用消去无穷因子法：,原定理只说,存在等于A或，则,显然极限不存在，用洛必达法则无意义。,问题：,答：,否 ！,0,0, 极限不存在时只能说明洛必达法则失效，应改用以前学的方法求极限。,= 1 .,= 0.,先适当利用无穷小代换,整理,问题：,下列计算是否正确？应如何计算？,错,数列极限不能直接使用洛必达法则，,非连续变量不可求导 ！,每次使用洛必达法则前，应把函数尽量化简或进行整理： （1）恒等式化简 （2）约去零(无穷)因子（3）提出非零因子（4）等价无穷小代换 随时检验极限的类型，直至求出极限值。,注意：,1.,2.,课外作业,习题 3-2 （A）,1, 2,然后利用洛必达法则,例1：,一般，把求导后函数形式简单的因子放分母上。,例2：,例3：,例4：,例5：,例6：,例7：,从以上各例可看出，洛必达法则是计算不定型极限的有利工具，但它并