《控制系统数学模型》PPT课件.ppt

第2章 自动控制系统数学模型,2.1 建立动态微分方程的一般方法 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 2.3 传递函数 2.4 系统动态结构图 2.5 自动控制系统的传递函数 2.6 信号流图,2.1 建立动态微分方程的一般方法,微分方程 是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运动，必须列写系统的微分方程。一个控制系统由若干具有不同功能的元件组成，首先要根据各个元件的物理规律，列写各个元件的微分方程，得到一个微分方程组 ，然后消去中间变量，即得控制系统总的输入和输出的微分方程。,例2.1 R-L-C 串联电路,2.1 建立动态微分方程的一般方法,例2.2 弹簧阻尼器系统,2.1 建立动态微分方程的一般方法,电磁力矩： 安培定律,电枢反电势： 楞次定律,电枢回路： 克希霍夫,力矩平衡： 牛顿定律,例2.3 电枢控制式直流电动机,2.1 建立动态微分方程的一般方法,电机时间常数 电机传递系数,消去中间变量 i, Mm , Eb 可得：,2.1 建立动态微分方程的一般方法,建立动态微分方程的步骤,（1）根据元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量（必要时还考虑扰动量），并根据需要引进一些中间变量。,（2）根据各元件在工作过程中所遵循的物理或化学定律，按工作条件忽略一些次要因素，并考虑相邻元件的彼此影响，列出微分方程。常用的定律有：电路系统的基尔霍夫定律、力学系统的牛顿定律和热力学定律等等。,（3）消去中间变量后得到描述输出量与输入量（包括扰动量）关系的微分方程，即元件的数学模型。,2.1 建立动态微分方程的一般方法,微分方程标准形式 (1)将与输入量有关的各项写在方程的右边； 与输出量有关的各项写在方程的左边。 (2)方程两边导数项均按降阶排列。 其一般形式为,2.1 建立动态微分方程的一般方法,第2章 自动控制系统数学模型 2.1 建立动态微分方程的一般方法 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 2.3 传递函数 2.4 系统动态结构图 2.5 自动控制系统的传递函数 2.6 信号流图,2.2 非线性系统微分方程模型的线性化,1 几种常见的非线性,2 线性化的方法,（1）忽略弱非线性环节（如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略） （2）偏微法（小偏差法，切线法，增量线性化法） 偏微法基于一种假设，就是在控制系统的整个调节过程中，各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化。这一假设是符合许多控制系统实际工作情况的，因为对闭环控制系统而言，一有偏差就产生控制作用，来减小或消除偏差，所以各元件只能工作在平衡点附近。,2.2 非线性系统微分方程模型的线性化,设 A(x0,y0)平衡点，函数在平衡点处连续可微，则可将函数在平衡点附近展开成台劳级数,忽略二次以上的各项，上式可以写成 其中,这就是非线性元件的线性化数学模型,取一次近似，且令,有,例 已知某装置的输入输出特性 求小扰动线性化方程。,解 在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数,2.2 非线性系统微分方程模型的线性化,解 在 处泰勒展开，取一次近似,代入原方程可得,例 某容器的液位高度 h 与液体流入量 Q 满足方程 式中 S 为液位容器的横截面积。若 h 与 Q 在其工作点附近做微量变化，试导出 h 关于 Q 的线性化方程。,2.2 非线性系统微分方程模型的线性化,在平衡点处系统满足,上两式相减可得线性化方程,2.2 非线性系统微分方程模型的线性化,如果一非线性元件输入输出关系如图所示 此时不能用偏微分法，可用平均斜率法得线性化方程为,（3）平均斜率法,2.2 非线性系统微分方程模型的线性化,注意：上述几种方法只适用于一些非线性程度较低的系统，对于某些严重的非线性，如 不能作线性化处理，一般用相平面法及描述函数法进行分析。,2.2 非线性系统微分方程模型的线性化,2.1 建立动态微分方程的一般方法 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 2.3 传递函数 2.4 系统动态结构图 2.5 自动控制系统的传递函数 2.6 信号流图,第2章 自动控制系统数学模型,1 拉普拉斯变换 2 传递函数 3 典型环节的传递函数,2.3 传递函数,1 复数有关概念,（1）复数、复函数,复数,复函数,例1,（2）模、相角,（3）复数的共轭,（4）解析若F(s)在 s 点的各阶 导数都存在，则F(s)在 s 点解析。,模,相角,1 拉普拉斯变换,（2）指数函数,1 拉普拉斯变换,2 拉氏变换的定义,（1）阶跃函数,3 常见函数的拉氏变换,1 拉普拉斯变换,（3）正弦函数,1 拉普拉斯变换,（1）线性性质,4 拉氏变换的几个重要定理,（2）微分定理,0初条件下有：,1 拉普拉斯变换,例2 求,解.,例3 求,解.,1 拉普拉斯变换,（3）积分定理,零初始条件下有：,进一步有：,例4 求 Lt=?,解.,1 拉普拉斯变换,例5 求,解.,1 拉普拉斯变换,（4）实位移定理,例6,解.,1 拉普拉斯变换,（5）复位移定理,例7,例8,例9,1 拉普拉斯变换,（6）初值定理,例10,1 拉普拉斯变换,（7）终值定理,例11,例12,1 拉普拉斯变换,5 用拉氏变换方法解微分方程,L变换,系统微分方程,L-1变换,1 拉普拉斯变换,1) 拉氏变换的定义,（2）单位阶跃,2) 常见函数L变换,（5）指数函数,（1）单位脉冲,（3）单位斜坡,（4）单位加速度,（6）正弦函数,（7）余弦函数,1 拉普拉斯变换,6 拉氏变换小结,（2）微分定理,3) L变换重要定理,（5）复位移定理,（1）线性性质,（3）积分定理,（4）实位移定理,（6）初值定理,（7）终值定理,1 拉普拉斯变换,4) 拉氏反变换,（1）反演公式,（2）查表法（分解部分分式法）,解.,1 拉普拉斯变换,5)用L变换方法解线性常微分方程,: 特征根（极点）,: 相对于 的模态,1 拉普拉斯变换,用留数法分解部分分式,一般有,其中：,设,I. 当 无重根时,1 拉普拉斯变换,解.,解.,1 拉普拉斯变换,解一.,解二：,1 拉普拉斯变换,II. 当 有重根时,(设 为m重根，其余为单根),1 拉普拉斯变换,1 拉普拉斯变换,解.,1 拉普拉斯变换,1 拉普拉斯变换 2 传递函数 3 典型环节的传递函数,2.3 传递函数,2 传递函数,1) 定义: 在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。,微分方程一般形式：,2 传递函数,微分方程一般形式：,拉氏变换：,传递函数：,2) 传递函数的性质 (1) G(s)是复函数； (2) G(s)只与系统自身的结构参数有关； (3) G(s)与系统微分方程直接关联； (4) G(s) = L k(t) ； (5) G(s) 与 s 平面上的零极点图相对应。,第2章 自动控制系统的数学模型,2 传递函数,（1）原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息； （2）适合于描述单输入/单输出系统； （3）只能用于表示线性定常系统。,传递函数的局限性,2 传递函数,例8 已知某系统在0初条件下的阶跃响应为： 试求：（1） 系统的传递函数； （2） 系统的增益； （3） 系统的特征根及相应的模态； （4） 画出对应的零极点图； （5） 求系统的单位脉冲响应； （6） 求系统微分方程； （7） 当 c(0)=-1, c(0)=0; r(t)=1(t) 时，求系统的响应。 解.（1）,2 传递函数,(2),(4)如图所示,(3),(5),2 传递函数,(6),2 传递函数,（7）,2 传递函数,其中初条件引起的自由响应部分,2 传递函数,2.1 建立动态微分方程的一般方法 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 2.3 传递函数 2.4 系统动态结构图 2.5 自动控制系统的传递函数 2.6 信号流图,第2章 自动控制系统数学模型,1 结构图的概念和组成 1) 概念 将方框图中各时间域中的变量用其拉氏变换代替，各方框中元件的名称换成各元件的传递函数，这时方框图就变成了结构图。 2) 组成 (1)方框：有输入信号，输出信号，传递线，方框内的函数为输入与输出的传递函数，一条传递线上的信号处处相同。,2.4 系统动态结构图,(2)比较点： 综合点，相加点 加号常省略 负号必须标出 (3)引出点： 一条传递线上的信号处处相等 ，引出点的信号与原信号相等。,2.4 系统动态结构图,2 结构图的绘制 例：绘制双T网络的结构图,2.4 系统动态结构图,画图时,从左向右列方程组,2.4 系统动态结构图,将上页方程改写如下相乘的形式：,2.4 系统动态结构图,绘图：ur(s)为输入，画在最左边。,这个例子不是由微分方程组代数方程组结构图，而是直接列写s域中的代数方程，画出了结构图。,2.4 系统动态结构图,若重新选择一组中间变量，会有什么结果呢？(刚才中间变量为i1,u1,i2，现在改为I,I1,I2),从右到左列方程：,2.4 系统动态结构图,这个结构与前一个不一样，所以选择不同的中间变量，结构图也不一样，但是整个系统的输入输出关系是不会变的。,绘图,2.4 系统动态结构图,3 结构图的等效变换 （1）串联,2.4 系统动态结构图,(2)并联,2.4 系统动态结构图,(3)反馈 这是个单回路的闭环形式，反馈可能是负，可能是正，我们用消去中间法来证明。,2.4 系统动态结构图,以后我们均采用(s)表示闭环传递函数，负反馈时， (s)的分母为1回路传递函数，分子是前向通路传递函数。正反馈时， (s)的分母为1回路传递函数，分子为前向通路传递函数。 单位负反馈时,2.4 系统动态结构图,4 结构图等效变换方法,1) 三种典型结构可直接用公式 2) 相邻综合点可互换位置 3) 相邻引出点可互换位置 注意: 1) 不是典型结构不可直接用公式 2) 引出点综合点相邻，不可互换位置,2.4 系统动态结构图,引出点移动,a,b,2.4 系统动态结构图,综合点移动,向同类移动,2.4 系统动态结构图,作用分解,2.1 建立动态微分方程的一般方法 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 2.3 传递函数 2.4 系统动态结构图 2.5 自动控制系统的传递函数 2.6 信号流图,第2章 自动控制系统数学模型,2.5 自动控制系统的传递函数,1 系统的开环传递函数 2 闭环系统的传递函数 3 闭环系统的偏差传递函数,1 系统的开环传递函数,控制系统的典型结构: 前向通道传递函数 、 与反馈通道传递函数 的乘积称为系统的开环传递函数，相当于,2 闭环系统的传递函数,1) 给定输入作用下的闭环传递函数 令 ,系统结构图等效为 系统输出 对输入 的闭环传递函数为 易知,2 闭环系统的传递函数,2)扰动输入作用下的闭环传递函数 令 ,系统结构图等效为 系统输出 对扰动作用 的闭环传递函数为 系统在扰动作用下的输出为,2 闭环系统的传递函数,3)给定输入和扰动输入同时作用下系统的总输出 根据线性系统的叠加原理，系统在多个输入作用下，其总输出等于各种输入单独作用所引起的输出分量的代数和， 系统的总输出为,3 闭环系统的偏差传递函数,偏差是指给定输入信号 与主反馈信号 之间 的差值，用 表示，即 其拉氏变换为 研究各种输入作用下所引起的偏差变化规律时，常用偏差传递函数来表示。,3 闭环系统的偏差传递函数,1)给定输入作用下的偏差传递函数 令 ，此时 与 之比称为偏差对给定作用 下的闭环传递函数，简称闭环系统的偏差传递函数， 用 表示，由 得,3 闭环系统的偏差传递函数,2)扰动输入作用下的偏差传递函数 令 ，此时 与 之比称为偏差对扰动作用 下的闭环传递函数，简称扰动偏差传递函数，用 表示，由 有,3 闭环系统的偏差传递函数,3)给定输入和扰动输入同时作用下的总偏差 根据线性系统的叠加原理，可求出系统在给定输入和扰动输入同时作用下的总偏差为 不难发现，闭环传递函数都具有相同的分母，即 这正是闭环控制系统的本质特征。通常把这个分母多项式称为 闭环系统的特征多项式，而将称为闭环系统的特征方程。闭环 特征方程的根称为闭环系统的特征根或闭环系统的极点。,2.1 建立动态微分方程的一般方法 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 2.3 传递函数 2.4 系统动态结构图 2.5 自动控制系统的传递函数 2.6 信号流图,第2章 自动控制系统数学模型,2.6 信号流图,1 术语介绍 1) 节点 结构图中所有的引出点，比较点称节点。 2)前向通路 从输入到输出，并与任何一个节点相交不多于一次的通路，叫前向通路，前向通路中各传递函数的乘积，叫前向通路增益。 3)回路 起点和终点在同一节点，且与其他节点相交不多于一次的闭合通路叫单独回路，回路中所有传递函数的乘积叫回路增益。,4)不接触回路 相互间没有公共节点的回路称为不接触回路。 2 梅逊公式 任一结构图中，某个输入对某个输出的传递函数为,2.6 信号流图,式中：n 为前向通路的条数 Pk为第k条前向通路增益 为系统特征式 =1-（所有单独回路增益之和）+（所有每两个互不接触回路增益乘积之和）-（所有三个互不接触回路增益乘积之和）+,k为第k条前向通路特征式的余子式，即将第k条前向通路去掉，对余下的图再算一次。,2.6 信号流图,梅逊公式 例R-C,例 2.1 求