信号与系统z变换教学.ppt

第10章 z变换,掌握Z 变换定义及基本性质、牢记常用典型信号的Z 变换。 掌握求解信号Z 变换(包括正变换和反变换)的基本方法。 掌握运用Z 变换分析LTI 系统的方法。 掌握系统函数H(z)收敛域与系统因果稳定性的关系：定性分析方法。 掌握系统的典型表示方法：H(z)、hn、差分方程、模拟框图、信号流图、 零极点+收敛域图，以及它们之间的转换。,10.0 引言,前一章我们讨论了拉氏变换，并利用系统函数的零极点分析了连续时间系统的基本特性。本章将讨论Z变换，从变换的基本性质和基本作用来看，Z变换和拉氏变换是相似的，而且，讨论展开的思路也是和拉氏变换平行的。当然，由于连续时间信号和离散时间信号之间的基本差异，Z变换和拉氏变换之间必然存在着某些不同。在本章的学习中，读者可以借助拉氏变换的知识来理解Z变换的基本概念，同时也应通过两者之间的不同来领会Z变换的主要特点。,一、离散时间特征函数,设一个离散系统的输入为xn = zn,就是hn的z变换。,10.1 z 变换定义,二、离散时间信号的z变换,离散时间信号的z变换定义为：,记作：,为了理解z变换和离散傅立叶变换之间的关系,z=rejw,则：,因此，,三、z变换的几何解释和收敛域,Z变换和DT信号傅立叶变换之间关系的讨论和对CT信号的讨论几乎并行进行的，但是一些重要的不同。,在z变换中当变量z的模为1，即z=ej时，z变换退化成DTFT。,傅立叶变换就是在复数z平面中，半径为1的圆上的z变换。,如果ROC内包括单位圆，则傅立叶变换收敛！,收敛问题,为了使z变换收敛，等同于要求xnr-n的傅立叶变换收敛。,总的来说，对某一序列xn的z变换，存在着某一个z值的范围，在该范围内的z，X(z)收敛。,由这些使X(z)收敛的z值所组成的范围，就是收敛域(ROC)。,例 指数函数的z变换,考虑信号xn = anun,其z变换为：,X(z)要收敛，要求：,收敛域为：,当 a=1,Z变换的结果 X(z)=z/(z-a) 是一有理函数，因此，可用它的零点和极点来表示。,例,考虑信号xn = -anu-n-1,什么情况下，上式收敛呢？,当|a-1z|1，即|z|a|时，收敛。,例 两个实指数信号之和,收敛域为|z|1/2。,10.2 z变换的收敛域,性质1：X(z)的ROC是在z平面内以圆点为中心的圆环。,性质2：ROC内不包括任何极点。,在极点处，X(z)为无穷大。,性质3：如果xn是有限长序列，那么ROC就是整个z平面，可能去除z=0和/或z=。,例：分别求以下信号的z变换,解：,整个z平面,性质4：如果xn是一个右边序列，并且|z|=r0的圆位于ROC内，那么|z| r0 的全部有限z值都一定在这个ROC内。,n,性质5：如果xn是一个左边序列，并且|z|=r0的圆位于ROC内，那么0|z| r0 的全部有限z值都一定在这个ROC内。,N1,n,性质6：如果xn是双边序列，并且|z|=r0的圆位于ROC内，那么该ROC一定是由包括|z|= r0 的圆环所组成。,性质7：如果xn的z变换X(z)是有理的，那么它的ROC就被极点所界定，或者延伸至无限远。,性质8：如果xn的z变换X(z)是有理的，而且若是右边序列，那么，ROC就位于z平面内最外层极点的外边。,性质9：如果xn的z变换X(z)是有理的，而且若xn是左边序列，那么，ROC就位于z平面内最里层的非零极点的里边。,例 有一z变换X(z)为,例：,且a0，求出Z变换，画出零极点图，同时指出其收敛域。,解：,例：,求其z变换,解：,而：,当b1时，其收敛域为：,b1 时其收敛域,由以上收敛域，可知只有当b1时双边指数序列的收敛域才有公共的收敛域，而当b1时其收敛域没有重叠部分，因此不存在z变换。,10.3 z反变换,由已知z变换求得一个序列的几种方法。,z反变换公式,长除法,部分分式展开法,一、z反变换公式,所以,而z=rejw,二、部分分式展开法,设X(z)的部分分式展开式具有如下形式：,1.对于一阶极点 ，可以展开为：,其中：,对于含有二阶或二阶以上极点的z变换，其逆变换的求法如下：,推广到一般情况：若含有r重根，则,例 有一z变换X(z)为,解：对X(z)进行部分分式分解,因此,xn为：,例 有一z变换X(z)为,解：对X(z)进行部分分式分解,Re(z),Im(z),单位圆,因此,xn为：,例 有一z变换X(z)为,解：对X(z)进行部分分式分解,因此,xn为：,三、长除法,思想： 如果z变换像函数是有理函数，即其分子分母皆为z-1或z的多项式，则可先根据其收敛域判断出是右边序列还是左边序列，然后采用长除法，分别展开成z的负幂无限或正幂无限的幂级数，再按z变换的定义确定各个序列值。,在一般情况下，X(z)为有理函数，,若X(z)的收敛域为|z|R1，则xn必然为一右边序列，此时N(z)和D(z)按z的降幂次序进行排列。若X(z)的收敛域为|z|R2，则xn必然为一左边序列，此时N(z)和D(z)按z的升幂次序进行排列。然后利用长除法，将X(z)展开为幂级数，得到xn。,例 考虑一个z变换X(z)为,利用长除法展开,长除法的局限性： 长除法只适用于有理形式的z变换，且收敛域限于某个圆周的内部或外部，对于收敛域为有限圆环的有理像函数，其z反变换为两边序列，就无法用长处法。 利用长除法要归纳出序列表达式，也不是那么容易的！,10.5 z变换性质,一、线性,则,若,但有时候会扩大,二、时移性质,若,则,重要应用：差分方程的z变换！,例,由于,所以,三、z域尺度变换,若,则,四、时间反转,若,则,五、时间扩展,若,则,六、共轭,若,则,注：若xn为实函数，如果X(z)有一个极点或零点为复数在z=z0处，那么X(z)也一定有一个复数共轭的 极点或零点，且对于X(z)的部分分式展开式中的系数也互为共轭。,七、卷积性质,若,则,ROC=R1,ROC=R2,ROCR1R2,八. Z域微分,If,ROC=R,ROC =R,Then,xn=0 n0(xn为因果序列）,九. 初值、终值定理,终值定理：,初值定理：,收敛域包括单位圆,10.6 常用变换对,表 10.2,10.7 利用Z 变换分析和表征LTI系统,一、因果性,一个具有有理系统函数H(z)的LTI系统要是因果的,当且仅当:,(a)ROC位于最外层极点外边某一个圆的外边,(b)若H(z)表示成z的多项式之比,其分子的阶次不能大于分母的阶次。,二、稳定性,一个LTI系统当且仅当它的系统函数H(z)的ROC包括单位圆（|z|=1）时,该系统就是稳定的。,一个具有有理系统函数的因果LTI系统,当且仅当H(z)的全部极点都位于单位圆内时,也即全部极点其模值都小于1时,系统就是稳定的。,三.频率响应的几何确定法,若系统函数的收敛域包括单位圆，则其存在傅立叶变换，而且可以直接根据系统函数：,这里设N=M，则可以直接得出其频率响应：,其幅频特性：,相频特性为：,四、 由线性常系数差分方程表征的LTI系统,例：考虑一因果的LTI系统，其输入xn和输出yn满足如下线性常系数差分方程：,(1)求系统函数H(z)，画零极点图、收敛域，并判断系统的稳定性；,(2)求系统的单位冲激响应hn,(3)若有一输入信号为：,求响应yn,解：,（1）方程两边同时进行z变换，则：,（2）,（3）,五、系统特性与系统函数的关系举例,例：假设对于一个LTI系统给出下列信息：,（1）若系统的输入是,则其输出为：,（2）,则,求出系统函数H(z)，并说明系统是否是稳定的、因果的；,10.8 系统函数的代数属性与方框图表示,10.8.1 LTI系统互联的系统函数,(1) 级联(串联),(2) 并联,(3)反馈联,10.8.2 由差分方程和有理系统函数描述 的因果LTI系统的方框图、信流图表示,对于连续系统，一般通过加法器、乘法器和积分器对其进行模拟。而对于离散系统，一般则通过加法器、乘法器以及单位延迟器对其进行模拟。,例：已知一因果系统的一阶差分方程为：,求：,（1）系统函数H(z)，画零极点图，判断系统稳定性,（3）求系统信流图、方框图,（4）若系统的输入信号为,（2）求系统的单位冲激响应,求响应yn,解：,（1）,（2）,收敛域包括单位圆，稳定,(3) 方框图,信号流程图,（4）,10.9 单边Z变换,定义:,单边z变换与双边z变换的差别在于，求和仅在n的非负值上进行，而不管n0时，xn是否为0。因此xn的单边z变换就能看作是xnun的双边变换。,10.9.2 单边z变换的性质,单边z变换的大多数性质都与双边z变换相同，只是有几个不同,时移特性,左移：,右移：,利用单边z变换求解差分方程,例：某离散时间稳定线性时不变系统的系统函数的零极点图如图所示，且H(1)=2 （1）确定该系统的系统函数，指出收敛域。 （2）判断该系统的因果性。