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第九节 闭区间上连续函数的性质,一、最大值和最小值定理,二、零点定理与介值定理,基本要求： 1. 了解闭区间上连续函数的性质 最值定理;介值定理;零点定理. 2. 能正确叙述定理得条件、结论, 了解其几何意义. 3. 能正确运用定理作一些不太复杂的证明题,一、最大值和最小值定理,定义 设函数 y=f(x) 定义在区间I内上, 若 , I, 对xI 有： f(x) f( ), f(x) f(), 则称 f(x)在区间 I 上的最大值 f( ), 最小值 f().,记为：,例如:,定理1(最值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上有界并一定有最大值和最小值.,注意 若区间是开区间,或区间内有间断点, 定理结论不一定成立.,例如,在(0,1)内无最大值和最小值.,又如,在0,2内无最大值和最小值.,二、零点定理与介值定理,定理2(零点定理) 若f(x)Ca,b, 且 f(a)与 f(b)异号(即 f(a)f(b)0), 则至少存在一点 (a,b) 使 f( )=0.,几何解释:,注意 1.若区间是开区间, 定理不一定成立;,2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,一个主要应用：证明方程根的存在性或者证明函数零点的存在性.,例1,证,由零点定理,几何解释:,定理3(介值定理) 若 f(x)Ca,b, 且 f(a) f(b),则对介于 f(a)与 f(b)之间的任意一个实数 , 至少存在一点 (a,b) 使 f() = .,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值.,例2,证,由零点定理,设辅助函数是微积分证明中常用到的技巧之一.,例3,证,由零点定理,即方程至少有三个实根1, 2, 3.,又方程为三次方程, 至多只有三个实根., 方程只有三个实根.,命题得证.,例4 证明：实系数的奇次代数方程至少有一实根.,证,设实系数的奇次代数方程为,由零点定理,即方程至少有一个实根 x0 .,三、小结,三个定理,最值定理;介值定理;零点定理.,设 f(x) C a,b, 则:,1. f(x)在a,b上有界.,2. f(x)在a,b上达到最大值与最小值.,3. f(x)在a,b上可取最大与最小值之间的任何值.,4. 若 f(a)f(b)0 , 则至少存在 (a,b) , 使 f( )=
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