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对于不同的曲线, 其弯曲程度一般不同. 例如：,A,B,A,B,一、曲率的定义,A,A,B,B,o,曲线的弯曲程度与其 切线方向变化的夹角 的大小及其弧长 有关.,结论：,y,x,o,A,将,B,称为曲线段 AB 的平均曲率，它刻画了一段曲线的平均弯曲程度.,对于半径为R的圆，,对于直线, 其切线方向不变, 即 , 有,同一条曲线的不同点处, 曲线弯曲的程度可能不同.,Def : 曲线在 A 点的曲率为,其中 为点A及其邻点B之间弧长, 为AB上切线 方向变化的角度. 曲率刻画了曲线在一点的弯曲程度.,x,y,o,x,A,如图，设曲线的弧长 s 由点 A 起算. 任取 MN = ，有,由此,当 充分小时，在一些假定之下( 如曲线有连续导数 )，,二、弧长的微分,从而即得 弧长微分的公式,或,关于 的具体表示式：,三、曲率的计算,先计算 , 考虑曲线 在 M 点的切线, 有,两边求微分，得,四、曲率半径与曲率圆,对半径为 R 的圆,Def : 曲线上一点的曲率的倒数称为曲线在该点的 曲率半径，记作,几何意义： 如图，在A点作曲线的法线，并在曲线凹的一侧的法线上取 一点O，使得 OA= (曲线在A点的曲率半径). 以O为圆心， 为半径作一个圆，称之为曲线在A点的曲率圆.,A,o,曲率中心,曲率圆与曲线在A点具有以下关系:, 有共同的切线，即圆与曲线在点 A 相切； 有相同的曲率； 圆和曲线在点 A 具有相同的一阶和二阶导数.,表明：讨论 y = f (x) 在某点 x 的性质时，若此性质仅 与 x , y , 有关，则只要讨论曲线在 x 点的曲率圆 的性质，即可知这曲线在 x 点附近的性质.,例1. 求抛物线 上任一点处的曲率和曲率半径.,解：,法线： x = 0 .,切线：y = 0 ,求 的最小曲率半径时的曲率圆的方程.,例2. 铁道的弯道分析,证明:,如图,在缓冲段上,根据实际要求,例3,解,如图,受力分析,视飞行员在点o作匀速圆周运动,O点处抛物线轨道的曲率半径,得曲率为,曲率半径为,即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.,运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支微分几何学.,基本概念
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