高中数学第一章导数及其应用1.3.1单调性学案苏教版选修.docx

1.3.1单调性 学习目标重点难点1结合实例，借助几何直观探索并体会函数的单调性与导数的关系2能够利用导数研究函数的单调性，并学会求不超过三次的多项式函数的单调区间.重点：利用导数求函数的单调区间和判断函数的单调性难点：根据函数的单调性求参数的取值范围.导数与函数的单调性的关系(1)一般地，我们有下面的结论：对于函数yf(x)，如果在某区间上_，那么f(x)为该区间上的_；如果在某区间上_，那么f(x)为该区间上的_(2)上述结论可以用下图直观表示预习交流1做一做：在区间(a，b)内，f(x)0是f(x)在(a，b)上为单调增函数的_条件(填序号)充分不必要必要不充分充要既不充分又不必要预习交流2做一做：函数f(x)1xsin x在(0,2)上是_函数(填“增”或“减”)预习交流3做一做：函数f(x)x3ax2在区间(1，)上是增函数，则实数a的取值范围是_在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点答案：预习导引(1)f(x)0增函数f(x)0减函数预习交流1：提示：当f(x)0时，f(x)在(a，b)上一定是增函数，当f(x)在(a，b)上单调递增时，不一定有f(x)0.如f(x)x3在区间(，)上单调递增，f(x)0.故填.预习交流2：提示：x(0,2)，f(x)(1xsinx)1cosx0，f(x)在(0,2)上为增函数故填增预习交流3：提示：f(x)3x2a，f(x)在区间(1，)上是增函数，f(x)3x2a在(1，)上恒大于或等于0，即3x2a0，a3x2恒成立，a3.一、判断或证明函数的单调性证明函数f(x)在上单调递减思路分析：要证f(x)在上单调递减，只需证明f(x)0在区间上恒成立即可1讨论下列函数的单调性：(1)yax51(a0)；(2)yaxax(a0，且a1)2证明函数f(x)exex在0，)上是增函数利用导数判断或证明函数的单调性时，一般是先确定函数定义域，再求导数，然后判断导数在给定区间上的符号，从而确定函数的单调性如果解析式中含有参数，应进行分类讨论二、求函数的单调区间求下列函数的单调区间：(1)yx2ln x；(2)yx32x2x；(3)yxsin x，x(0，)思路分析：先求函数的定义域，再求f(x)，解不等式f(x)0或f(x)0，从而得出单调区间1函数f(x)5x22x的单调增区间是_2求函数f(x)3x22ln x的单调区间1.利用导数求函数f(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式f(x)0或f(x)0，不等式的解集就是函数的单调区间2利用导数求单调区间时，要特别注意不能忽视函数的定义域，在解不等式f(x)0或f(x)0时，要在函数定义域的前提之下求解3如果函数的单调区间不止一个时，要用“和”、“及”等词连接，不能用并集“”连接三、利用函数的单调性求参数的取值范围若函数f(x)x3ax2(a1)x1，在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，)上为增函数，试求实数a的取值范围思路分析：先求出f(x)的导数，由f(x)在给定区间上的符号确定a的取值范围，要注意对a1是否大于等于1进行分类讨论1若函数f(x)x2在(1，)上单调递增，则实数a的取值范围是_2已知向量a(x2，x1)，b(1x，t)，若函数f(x)ab在(1,1)上是增函数，求t的取值范围1.已知函数的单调性求参数的范围，这是一种非常重要的题型在某个区间上，f(x)0(或f(x)0)，f(x)在这个区间上单调递增(递减)；但由f(x)在这个区间上单调递增(递减)而仅仅得到f(x)0(或f(x)0)是不够的，即还有可能f(x)0也能使得f(x)在这个区间上单调，因而对于能否取到等号的问题需要单独验证2一般地，若f(x)在区间I上单调递增(递减)，可转化为f(x)0(0)在I上恒成立，进而可求得参数的取值范围1函数f(x)x3x2x的单调递减区间是_2函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是_3如下图所示是函数f(x)的导函数f(x)的图象，则下列判断中正确的是_(填序号)f(x)在(3,1)上单调递增f(x)在(1,3)上单调递减f(x)在(2,4)上单调递减f(x)在(3，)上单调递增4若函数f(x)x3ax5的单调递减区间是(2,2)，则实数a的值为_5已知函数f(x)2axx3，x(0,1，a0，若f(x)在(0,1上是增函数，则a的取值范围为_提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记知识精华技能要领答案：活动与探究1：证明：f(x)，f(x)，由于x，所以cosx0，sinx0，因此xcosxsinx0，故f(x)0，所以f(x)在上单调递减迁移与应用：1解：(1)y5ax4，且a0，y0在R上恒成立yax51在R上是增函数(2)yaxln aaxln a(x)(axax)ln a.当a1时，ln a0，axax0，y0在R上恒成立此时函数yaxax在R上是增函数当0a1时，ln a0，axax0，y0在R上恒成立此时函数yaxax在R上是减函数2证明：f(x)(ex)exexex.当x0，)时ex1，f(x)0，f(x)exex在0，)上为增函数活动与探究2：解：(1)函数的定义域为(0，)yx2lnx，yx.令y0，即0.又x0，x1.令y0，即0，又x0，x210，0x1.函数yf(x)的增区间为(1，)，减区间为(0,1)(2)yx32x2x，y3x24x1，定义域为R.令3x24x10，得x1或x.令3x24x10，得x1.函数yx32x2x的增区间为和(1，)，减区间为.(3)yxsinx，ycosx.令y0，得cosx.又x(0，)，0x.令y0，得cosx.又x(0，)，x.函数yxsinx的增区间为，减区间为.迁移与应用：1解析：f(x)10x2，由f(x)0，得x.2解：函数的定义域为(0，)，f(x)6x2.令f(x)0，得x1，x2，其中x2不在定义域内用x1分割定义域，得下表xf(x)0f(x)函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.活动与探究3：解：f(x)x2axa1，令f(x)0，解得x1或xa1.当a11，即a2时，函数f(x)在(1，)上为增函数，不符合题意当a11，即a2时，函数f(x)在(，1)上为增函数，在(1，a1)内为减函数，在(a1，)上为增函数依题意知，当x(1,4)时，f(x)0，当x(6，)时，f(x)0.4a16，即5a7.a的取值范围是5,7迁移与应用：12，)解析：f(x)2x，令f(x)0，即2x0，a2x3，由于g(x)2x3在(1，)上满足g(x)g(1)2，要使a2x3在(1，)上恒成立，应有a2.2解：由题意得f(x)x2(1x)t(x1)x3x2txt，则f(x)3x22xt.若f(x)在(1,1)上是增函数，则在(1,1)上f(x)0.f(x)的图象是开口向下的抛物线，当且仅当f(1)t10，且f(1)t50时，f(x)在(1,1)上满足f(x)0，即f(x)在(1,1)上是增函数故t的取值范围是t5.当堂检测1解析：f(x)3x22x1，令3x22x10解得1x，故函数的单调递减区间是.2(2，)解析：f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex.令f(x)0，解得x2.3解析