2019高中数学第1章导数及其应用1.4.1曲边梯形面积与定积分学案新人教B版.docx

1.4.1曲边梯形面积与定积分1了解曲边梯形的面积，掌握“分割、近似代替、求和、取极限”的数学思想2掌握定积分的概念，会用定义求定积分，理解定积分的几何意义，理解定积分的性质1一般函数定积分的定义设函数yf(x)定义在区间a，b上，用分点ax0x1x2xn1xnb把区间a，b分为n个小区间，其长度依次为xi_，i0,1,2，n1.记为这些小区间长度的最大者，当趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点i，作和式Inf(i)xi.当0时，如果和式的极限存在，我们把_叫做_的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dxf(i)xi.其中f(x)叫做_，a叫_，b叫_，f(x)dx叫做被积式此时称函数f(x)在区间a，b上_(1)定积分f(x)dx是一个常数(2)用定义求定积分的一般步骤：分割：n等分区间a，b；近似代替：在每个小区间任取i.求和：f(i)；取极限：f(x)dxf(i).【做一做11】“求和式极限”所得的面积(或路程)是_值(填“近似”或“精确”)；定积分f(x)dx是_(填“函数”或“常数”)【做一做12】利用定积分定义计算(1x)dx_.2曲边梯形的面积根据定积分的定义，曲边梯形的面积S等于_的定积分，即_【做一做21】定积分cdx(c为常数)的几何意义是_【做一做22】由ysin x，x0，x，y0所围成图形的面积写成定积分的形式是_1定积分有哪些性质？剖析：(1)定积分有三条主要的性质：kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)；f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx；f(x)dxf(x)dxf(x)dx(acb)(2)性质称为定积分的线性性质，性质称为定积分对积分区间的可加性(3)性质的等式左边是一个定积分，等式右边是常数与一个定积分的乘积(4)性质对于有限个函数(两个以上)也成立性质对于把区间a，b分成有限个(两个以上)区间也成立(5)对于定积分的性质可以用图直观地表示出来，即S曲边梯形AMNB=S曲边梯形AMPC+S曲边梯形CPNB.(6)定义中区间的分法和xi的取法都是任意的(7)在定积分的定义中，f(x)dx限定下限小于上限，即ab.为了方便计算，人们把定积分的概念扩大，使下限不一定小于上限，并规定：f(x)dxf(x)dx，f(x)dx0.2怎样计算曲边梯形的面积？剖析：(1)由三条直线xa，xb(ab)，x轴，一条曲线yf(x)(f(x)0)围成的曲边梯形的面积Sf(x)dx(如图)(2)由三条直线xa，xb(ab)，x轴，一条曲线yf(x)(f(x)0)围成的曲边梯形的面积f(x)dx(如图)(3)由两条直线xa，xb(ab)，两条曲线yf(x)，yg(x)(f(x)g(x)围成的平面图形的面积Sf(x)g(x)dx(如图)(4)由三条直线xa，xb(ab)，x轴，一条曲线yf(x)(如图)围成的曲边梯形的面积Sf(x)dxf(x)dx.题型一 利用定义求定积分【例题1】已知一物体做自由落体运动，运动速度vgt，用定积分的定义求在时间区间0，t内，物体下落的距离s.分析：利用定义求定积分可分为四步：分割、近似代替、求和、取极限，按步骤求解即可反思：(1)根据定义求定积分的步骤：分割；近似代替；求和；取极限(2)物体作变速直线运动所经过的路程s等于其速度函数vv(t)在时间区间0，t上的定积分，即.题型二 定积分的几何意义【例题2】用定积分的几何意义求dx(ba)的值分析：明确定积分的几何意义曲边梯形的面积，结合曲线特点求解反思：f(x)dx(f(x)0)表示曲边梯形的面积，而半圆可看作是特殊的曲边梯形(有两边缩为点)，求出面积，从而得出定积分的值题型三 易错辨析易错点：用定积分表示曲边梯形的面积时，不注意曲边梯形的位置，从而导致错误，当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正值，且等于曲边梯形的面积，当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负值，且等于曲边梯形面积的相反数【例题3】用定积分表示由曲线ysin x与直线x，x0，y0所围成的图形的面积错解：所求面积为.1设函数f(x)定义在区间a，b上，用分点ax0x1xi1xixnb，把区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点i(i0,1，2，n1)，作和式Snf(i)x(其中x为小区间的长度)，那么和式Sn的大小()A与f(x)和区间a，b有关，与分点的个数n和i的取法无关B与f(x)、区间a，b和分点个数n有关，与i的取法无关C与f(x)、区间a，b和i的取法有关，与分点的个数n无关D与f(x)、区间a，b、分点的个数n、i的取法都有关2设连续函数f(x)0，则当ab时，定积分f(x)dx的符号()A一定是正的B一定是负的C当0ab时是正的，当ab0时是负的D以上结论都不对3下列式子中不成立的是()Asin xdxcos xdxBsin xdxcos xdxCsin xdxcos xdxD|sin x|dx|cos x|dx4直线x0，y0，x2与曲线y()x所围成的图形的面积用定积分表示为_5若f(x)dx6，则f(i)_.答案：基础知识梳理1xi1xi和式In的极限函数f(x)在区间a，b上被积函数积分下限积分上限可积【做一做11】精确常数【做一做12】因为f(x)1x在区间1,2上连续，将区间1,2分成n等份，则每个区间的长度为xi，在xi1，xi上取ixi11(i1,2,3，n)，于是f(i)f(xi1)112，从而f(i)xi(2)()n012(n1)22，所以(1x)dx，2.2其曲边所对应的函数yf(x)在区间a，b上Sf(x)dx【做一做21】表示由直线xa，xb(ab)，y0和yc所围成的矩形的面积【做一做22】sin xdx典型例题领悟【例题1】解：(1)分割把区间0，t等分成n个小区间(i1，2，n)，每个小区间所表示的时间tt.在各个小区间物体下落的距离依次记为s1，s2，sn.(2)近似代替在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程在小区间上任取一时刻i(i1，2，n)，为计算方便，取i为小区间的左端点，用时刻i的速度v(i)gt近似代替第i个小区间上的速度，因此在每个小区间上物体在t内所经过的距离，可以近似地表示为sigt(i1,2，n)(3)求和Sn012(n1)gt2.从而得到s的近似值，即sSngt2.(4)取极限当所分时间区间愈短，即t愈小时，Sn的值就愈接近s，因此，当n，即t0时，Sn的极限，就是所求的做自由落体运动的物体在时间区间0，t内所经过的距离sSngt2gt2.【例题2】解：令yf(x)，则有2y22(y0)表示以为圆心，半径为的上半圆，而这个上半圆的面积