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小学生数学解题中的思维训练 南京市鼓楼区教师进修学校 葛文君,四、结合例题讲解数学思想方法的运用 （数学思维训练） 易错的典型题例及分析,【例题一】 有两根同样长的钢管，第一根用去3/10米，第二根用去3/10，两根相比（ ）。 第一根用去的多 第二根用去的多 无法比较,（一）类比法：,1、解决“分率与分数易混淆”的问题：,分析与解：这道题无法直接比较，它需要讨论： 当长度为1米时，两根用去的长度相等； 当长度大于1米时，第二根的3/10 3/10米； 当长度小于1米时，第二根的 3/103/10 米， 因此选择无法比较,【例题二】 一根钢管两次用完，第一次用去3/10米，第二次用去全长的3/10，两次相比（ ） 第一次用去的多 第二次用去的多 无法比较,分析与解： 因为第二次用去全长的3/10，那么第一次用去了全长的（1-3/10）=7/10，大于全长的3/10， 因此选择,2、解决单位“1”发生变化时容易混淆的问题：,【例题三】 一种商品先提价1/10，再降价1/10。现价与原价相比（ ） 与原价相等 比原价高 比原价低,分析与解： 一般学生会认为是与原价相等，实际两次单位“1”不同，所以提的价不等于降的价。可以假设原价为100元，提价1/10后为:100（1+1/10 ）=110元，而降低了1/10是110元的1/10，现价是：110(1-1/10)=99(元），因此选择比原价低。 且永远现价是原价的: （1+1/10 ）（1- 1/10）= 11/10 9/10 = 99/100,【例题四】 一种商品先降价1/10，再提价1/10。现价与原价相比（ ） 与原价相等 比原价高 比原价低,分析与解： 可以假设原价为100元，降低100元的1/10后为90元，提价了90元的1/10（901/10=9元）后是99元，因此还是选择比原价低。 且永远现价是原价的: （1- 1/10）（1+ 1/10）= 9/10 11/10 = 99/100 ）,（二）假设法：,3、等式中的假设,【例题五】 甲数的2/5与乙数的1/2相等，则甲数与乙数的最简比是（ ）,分析与解： 把相等的量设为单位“1” 甲数为：12/5=5/2；乙数为：11/2 = 2 甲数乙数 = 5/22 = 54,【例题六】 鸡的只数是鸭的1/2，鹅的只数是鸡的1/3，鹅的只数与鸭的只数的比（ ）。,分析与解：这道题把谁为标准量: (1)以鸭为标准量“1”，鸡就是1/2，鹅就是1/21/3= 1/6； 鹅鸭 = 1/6 1 = 16 (2)以鸡为标准量“1“，鹅就是1/3，鸭就是11/2= 2， 鹅鸭 = 1/32 = 16 (3)可以假设鸡为3份，那鹅就是1份，鸭为6份， 鹅鸭 = 16,【例题七】 在2008年春季的一个月中，统计的晴、雨、阴天的状况为：雨天比晴天少1/3, 阴天比晴天少3/5 , 这个月晴天有多少天?,分析与解： 因为，雨天与晴天的比为23，阴天与晴天的比为 25；如果把晴天设为3和5的最小公倍数15，那么，雨天为10天，阴天6天，晴天15天，合计31天，符合生活实际； 用通比也能得出结论： 雨天晴天阴天 2 3 5 2 10 15 6 合计：10+15+6=31（天）,【例题八】 把右图做成一个圆锥（接头处不计），再将这个圆锥沿高从顶点往下直切成两等份，切面是（ ）。 A、直角三角形 B、正三角形 C、钝角等腰三角形 D无法确定,分析与解： 假设扇形的弧长为3.14厘米，则其半径（圆锥的母线L）为1厘米，因为扇形的弧长为3.14厘米，所以底部圆的周长也是3.14厘米，推导出底部圆的直径：3.143.14=1厘米 因此切面为等边（正）三角形。,（三）替换法：,4、图形中的条件转换,【例题九】 已知下图中阴影部分三角形面积为5平方米，求圆的面积。,分析与解： rr = 5(平方米)；3.145 = 15.7(平方米) 这里运用到一个“常数”的知识，圆与内切 正方形面积的比是157/100，因此用52 100/157 =15.7 (平方米),【例题十】 一张小圆桌的周长是3.14米,把四边撑开的部分折叠起来就成了一张方桌,求方桌的桌面是多少平方米?,分析与解： 圆的直径：3.143.14=1（米） 10.522 = 0.5（平方米） 这里也可以运用圆与内切正方形的面积比是157/100这一知识点进行解答， 2 圆面积=3.14（3.143.142）100/157=0.5（平方米）,【例题十一】 如图两个正方形之间阴影部分的面积是20平方厘米，求圆环的面积。,分析与解： 设内圆半径为r,外圆半径为R，从图上可以看出： R的平方- r的平方=20（平方厘米） 圆环的面积=3.14（ R的平方- r的平方） =3.1420=62.8（平方厘米）,【例题十二】 26名同学一起去春游,每人只买一瓶饮料,如果3个空瓶可以换回1瓶饮料,他们最多可以喝到几瓶饮料？,分析与解： 学生会用图示法进行分析，得出最多可以喝到38瓶饮料还剩下2个空瓶，缺乏借一个空瓶再置换一瓶汽水后喝完还回空瓶的策略。 此题还可以转化为每2个空瓶就能有一瓶饮料的思路， 因此用26+262=39瓶， 成为运用简单置换策略解决问题的典型题例。,（四）假设与图解：,【例题十三】 有三堆棋子，每堆棋子一样多，并且都只有黑、白两种颜色。第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的2/5。把三堆棋子集中在一起，白子占全部棋子的几分之几？,分析与解：假设黑子有5颗，则第三堆黑子有2颗，第一、二堆黑子共有3颗，而第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，所以每堆有3颗棋子，画图如下： 第一堆 第二堆 第三堆, ,49=4/9,（五）还原法：,【例题十四】 甲、乙、丙三个水桶中各装有一些水，共72升。先将甲桶中1/3的水倒入乙桶，再将乙桶中现有水的1/5倒入丙桶，最后将丙桶中现有水的1/7倒回甲桶，这时三个水桶中的水同样多。三个水桶原来各有水多少升？,分析与解：首先根据“这时三个水桶中的水同样多”，得出每个水桶中的水为723=24升，再列表如下：,（六）抓住不变量：,【例题十五】 有含水量为90%的盐水500克，加热后变成了含水量为75%的盐水。蒸发了多少克的水？,分析与解：这道题盐的质量不变。 先求出盐的质量：500（190%）=50（克） 再求出加热后盐水的质量：50（175%）=200（克） 最后求出蒸发了的水的质量：500200=300（克）,基本数量关系：盐+水=盐水 盐水含盐率=盐；盐水含水率=水,【例题十六】 配制20%的糖水1000克，需要用浓度为18%和23%的糖水各多少克？,分析与解： 这道题糖的质量是不变量： 100020%=200(克) 设18%的糖水为x克，则23%糖水为（1000-x）克 18%x + 23%（1000-x）=200 0.18x+230-0.23x=200 0.05x=30 X=600(18%的糖水) 1000-600=400（23%的糖水）,【例题十七】 甲容器中有8%的盐水300克，乙容器中有12.5%的盐水120克。往甲、乙两个容器中倒入等量的水，使两个容器中盐水的浓度一样，求每个容器应倒入水多少克？,分析与解：这道题抓住盐的质量不变。 3008%=24（克） 12012.5%=15（克） 24 15 = 300+x 120+x 15(300+x)=24(120+x) 4500+15x=2880+24x 24x-15x=4500-2880 9x=1620 X=180（克）,1 1 1 1 【例题十八】 计算 2 4 8 16,分析与解： 这道题学生只会想到“可以先通分转化成同分母分数后再相加”； 或将“分数转化为小数求和”进行计算； 其实，化小数计算反而麻烦。如果给这题再添上一个加数，加一个1/32 ，再加1/64呢？如果这样加下去，一直加到1/1024呢？通分算还简便吗？ 1 1 1 1 1 1 1 + + + 2 4 8 16 32 64 132,这里教师把加数增多，让学生在无法用通分来解决此题的过程中生成策略上的内需，然后出示下图： 在直观图形的启发下，独立探索转化的方法通过数形结合解释图意，图中的正方形表示1，1/2+1/4+1/8+1/16的和，就是正方形里涂色部分的大小。重点突出了算式转化是根据“涂色部分的大小等于1减空白部分的差”进行的。让学生充分体会把原题这样转化，使计算简便了。,八、概率问题：,【例题十九】 箱内不规则地散放着式样、尺码相同的黑球鞋和白球鞋各4双，未加分辨地从中随即取出2只，恰好得到同色且左右配好对的一双鞋的概率是多少？,分析与解： 8双鞋共16只，先任意取一只，再取下一只的时候有15种不同的取法。任取的这只鞋子肯定有颜色（黑或白），与它同色且左右配对的有4只，取这4只中的任意一只都符合题意，所以是4/15。,【例题二十】 李医生定期去甲、乙、丙三位病人家巡诊。按计划他每三天（中间空2天）去甲家一次，每4天去乙家一次，每6天去丙家一次。4月30日那天，连续去了甲、乙、丙三家，那么从5月1日到12月31日，李医生应该去巡诊的天数是多少？,九、周期（推理）：,分析与解： 这也是一个周期问题，从李医生4月30日连续去了3家巡诊的时间是一个周期。我们可以通过列表观察李医生在甲、乙、丙三家巡诊的天数，从中找出相应的规律。 本题可列表如下，从4月30日开始：,解题秘诀：每12 天为一个周期。其中巡诊6天。 解答：从5月1日到12月31日共有的天数为：315+303=245（天） 李医生巡诊的周期数为：24512=205 剩下5天他巡诊2天，李医生总共巡诊的天数为：620