抛物线焦点弦问题.ppt

抛物线过焦点弦的性质及应用,高2012级数学备课组 主备人：何林 ，罗杨雄,复习回顾抛物线性质：,1，抛物线定义 2，抛物线几何性质,关于x 轴 对称，无 对称中心,关于x 轴 对称，无 对称中心,关于y 轴 对称，无 对称中心,关于y 轴 对称，无 对称中心,e=1,e=1,e=1,e=1,练习1,M是抛物线y2 = 2px（P0）上一点，若点 M 的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是:( ),这就是抛物线的焦半径公式!,X0+p/2,过焦点弦与抛物线交点坐标关系 例1：已知F是抛物线y2=6x的焦点，过焦点任作直线交抛物线与A(x1,y1),B(x2,y2)两点 当直线的斜率k=1时，求 x1x2, y1y2的值 当直线的斜率k=2时，求 x1x2, y1y2的值,上面结果是巧合吗？,分析：关键是联立方程组，利用根与系数的关系求解。,解:x1x2=_ y1y2=_ x1x2=_ y1y2=_,已知F是抛物线y2=2px(p0)的焦点，过焦点任作直线交抛物线与A(x1,y1),B(x2,y2)两点,证明： x1x2= y1y2=,过焦点弦长问题,例2：过抛物线y2=4x的 焦点作倾斜角为45度的 直线交抛物线与A，B 两点，求AB,分析，求出A，B两点坐标，然后利用两点间的距离公式可得AB 解（法一）由条件可得F（1，0） 则直线的方程为：y=x-1 由 可得 解得 由两点距离公式可得AB=8 （法二）利用方程，利用弦长公式同样可的AB=8,分析：利用抛物线性质解决问题 解(法三)如图可知设A(x1,y1),B(x2,y2) AB=AF+BF =x1+1+x2+1 =x1+x2+1+1 由上知x1，x2是方程 的两根，故x1+x2=6，所以 AB=6+2=8,一般的:若过抛物线y2=2px(p0)的焦点的直线交抛物线A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 1,AB有最小值吗？ 若有又为多少？ 2，对于其他标准方程，你能 写出过焦点弦长公式吗？,想一想？,F,通径：通过焦点且垂直对称轴 的直线，与抛物线相交于两点， 连接这两点的线段叫做抛物线 的通径。 通径的长度为 ： 此是 2p的几何意义。,A,B,2p,例3：设F是抛物线G：x2=4y的焦点，A，B为G上异于原点的两点，且满足 的两点，延长AF，BF分别交抛物线G与C，D ，求 四边形ABCD面积的最小值,x,分析：解此题的关键是把四边形面积表示出来 解：如图设直线AC的斜率为k则k0 由条件可知直线AC方程为y=kx+1 联立方程组 可得 故xA+xC=4k 所以AC=yA+yC+2=k(xA+xC)+4 =4k2+4 同理可得BD=4（1/k2+1) 故 SABCD= (当且仅当k2=1时取=),1，长为8的线段AB两端点在抛物线 y2=6x上运动，求AB中点M到抛物线准 线的最近距离。（ ） 2，过抛物线焦点F的直线交抛物线 于A,B两点，通过点A和抛物线顶点 的直线交抛物线的 准线于点D， 求证：直线DB平行于抛物 线的对称轴。,4,咱来试一试,小