《名师伴你行》人教A版数学必修五第一章学案3应用举例.ppt

开始,学点一,学点二,学点三,学点四,学点五,上方,下方,顺时针,方向线,学点一 平面距离问题,【分析】此题是测量计算河对岸两点间的距离，给出的角度较多，涉及几个三角形，重点应注意依次解哪几个三角形才较为简便.,【解析】如图1-3-3所示,在ACD中,CAD= 180-(120+30)=30.,要测量河对岸两地A,B之间的距离，在岸边选取相距100 米的C,D两点,并测得ACB=75,BCD=45,ADC= 30,ADB=45(A,B,C,D在同一平面内），求A,B两地的距离.,图1-3-3,【评析】求解三角形中的基本元素，应由确定三角形的条件个数，选择合适的三角形求解，如本题选择的是BCD和ABC. (2)本题是测量都不能到达的两点间的距离，它是测量学中应用非常广泛的三角网测量方法的原理，其中CD可视为基线. （3）在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，如题的CD.在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.,为了测量两山顶M,N间的距离, 飞机沿水平方向在A,B两点进行 测量,A,B,M,N在同一个铅垂平 面内(如示意图1-3-4).飞机能够 测量的数据有俯角和A,B间的距 离.请设计一个方案,包括:指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤.,解：方案一：需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角1,1;B点到M，N点的俯角2,2;A,B的距离d(如图所示).,图1-3-4,第一步：计算AM.由 正弦定理 第二步：计算AN.由正弦定理 第三步：计算MN，由正弦定理 方案二：需要测量的数据有： A点到M，N点的俯角1,1;B点到M，N点的俯角2,2;A，B的距离d(如图所示).,第一步：计算BM.由正弦定理 第二步：计算BM.由正弦定理 第三步：计算MN.由余弦定理,学点二 高度问题,【分析】本题关键是画出图形，把已知量、未知量归到三角形中来求解.,如图1-3-5所示，测量河对岸的塔高AB时， 可以选与塔底B在同一水平面内的两个测 点C与D.现测得BCD=,BDC=, CD=s，并在点C测得塔顶A的仰角为， 求塔高AB.,图1-3-5,【评析】在解决与解三角形有关的问题时，首先要明确题意，正确地画出空间图形，然后根据条件和图形特点，寻找是否存在可解的三角形，如果有，则可先解之，进而为解决其他三角形创造可解条件，使问题逐一得到解决.,【解析】,如图1-3-6,为了测量建造中的某城市 电视塔已达的高度，小明在学校操场 上的某一直线上选A，B，C三点，且 AB=BC=60 m，分别在A，B，C三点观 察塔的最高点，测得仰角分别为45，54.2，60，小明身高为1.5 m，试求建造中的电视塔现在已达的高度（结果保留一位小数）.,解：设塔高为h，DE=x，则h=x+EF=x+1.5.,图1-3-6,学点三 角度问题,我舰在敌岛A南偏西50相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西10的方向以10海里/时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？,【分析】先根据方位角画出图，根据题意及所画出的方位图可知，本题实际上可归纳为已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边及角的问题，即在ABC中，已知AB=12，AC=102=20,CAB=180-(10+50)=120，求BC及ABC.由BC长，进而可求出我舰航行速度，由ABC的大小进而可求出我舰航行方向.,图1-3-7,【解析】如图1-3-7所示，在ABC中， AB=12,AC=20,CAB=120, 由余弦定理得 BC2=AC2+AB2-2ABACcosBAC =202+122-22012cos120 =400+144+240=784. BC=28（海里）. 我舰的追击速度是 ， 即14海里/时.,【评析】方位角的确立是解题的关键.注意A，B两处方位图之间的相互联系.,在ABC中，由正弦定理，得 即 ABC38.2,50-38.2=11.8. 故我舰航行的方向约为北偏东11.8.,在海岸A处,发现北偏东45方向,距离A( -1) n mile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75方向,距离A2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船.此时,走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?,解：如图所示，注意到最快追 上走私船且两船所用时间相等，若 在D处相遇，则可先在ABC中求 出BC，再在BCD中求BCD.,学点四 三角形的计算问题,已知ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c.A=2B, cosB= . （1）求sinC的值； （2）若角A的内角平分线AD的长为2，求b的值.,【分析】将平面几何的有关知识与解三角形联系在一起，发现边角间的关系是解题的关键.,【解析】,【评析】解决本题的关键是找出ADC中的ADC与A的相等关系，因此，在较复杂的几何图形中，尽量把已知条件转化到同一个三角形中，根据条件特征运用正、余弦定理解决.,图1-3-8,如图1-3-9，已知MON=60,Q是 MON内的一点，它到两边的距离 分别是2和11，求点O到Q的距离.,图1-3-9,解：设QA， QB分别是Q点到 两边OM，ON的距离.则QA=2， QB=11，并且A和B都在以OQ为直径的圆上. AOB=60,AQB=120. 连结AB，在AQB中，由余弦定理，得AB2=AQ2+BQ2 -2AQBQcosAQB=22+112-2211( )=147, AB= .,学点五 实际应用中的优化问题,某工厂生产主要产品后,留下大量中心角为60、半径为a的扇形边角料,现要利用废物,从中剪裁下矩型毛坯,要求矩形面积尽可能大,请问如何裁剪?,【分析】此题是一道关于怎样合理利用材料的问题，注意建立相关函数，求极值并结合图形解答.,【解析】方法一:如图1-3-10,矩形 有两个顶点在半径OA上,设AOP=, 则PM=asin, 扇形中心角为60, PQO=120.,图1-3-10,图1-3-11,【评析】本题是难度较大的一道三角题目，考查正弦定理，三角形面积公式，三角函数性质等基础知识，分类讨论，函数与方程等数学思想方法.,图1-3-12,如图1-3-12所示,一辆汽车从O点出发,沿海岸线一条直线公路以100千米/小时的速度向东匀速行驶.汽车开动时,在距O点500千米,且与海岸线距离 400千米的海面上M点处有一艘 快艇与汽车同时出发,要把一件 重要物品送给这辆汽车司机.该 快艇至少以多大的速度行驶,才 能将物品送到汽车司机手中?并求出此时快艇行驶的方向. (参考数据:cos6025= ,cos5308= , cos3652= ),解：如图所示， 设快艇从M处以v千米/小时 的速度出发，沿MN方向航行， t小时后在N点与汽车相遇，MQ 为M点到ON的距离，则MQ=400， 设MON=，由题意知sin= ,则cos= . 由余弦定理，得MN2=OM2+ON2-2OMONcos, 当 =60,即t= 时 =6 400,即快艇必须至少以80千米/小时的速度行驶时, .,设NMQ=,则 故快艇的行驶方向为北偏东5308. 另解提示：在OMN中， 当OMN=90时，vmin=80.,1.在初中我们学习过哪些测量距离的方法？为什么又进一步学习测量的方法？ 在初中，我们已经学习过一些测量方法，如：应用全等三角形、相似三角形和解直角三角形.但这些方法在实际的测量中都有一定的局限性，如解直角三角形法，在实际测量中，可能会受到地区（如建筑物等）的限制，而无法构造直角三角形，因此，有必要进一步地研究更为一般情况下的测量方法，以解决日常生产、生活中的一些实例.,2.解三角形应用题的步骤和思路是怎样的？ （1）一般步骤：分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；检验：检验上述所求的三角形是否符合实际意义，从而得出满足实际问题的解. （2）基本思路：,1.应用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，通常都是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所要求的量，从而得到实际问题的解. 2.解题时应认真读题，未给出图形的，要画出示意图，结合图形去选择正弦定理、余弦定理，使解题过程简捷.另外，对于实际问题的解，要注意题目中给出的精确度，合理地取近似值. 3.运用正弦定理、余弦定理解决几何计算问题，要抓住条件、待求式子的