2018_2019学年高中数学第二章推理与证明章末复习同步学案新人教A版.docx

第二章 推理与证明章末复习学习目标1.理解合情推理和演绎推理.2.会用直接证明和间接证明方法证明问题1合情推理(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理：由特殊到特殊的推理(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理2演绎推理(1)演绎推理：由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理，小前提所研究的特殊情况，结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断3直接证明和间接证明(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推出结论的证明方法；分析法是从结论追溯到条件的证明方法(2)间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法1归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()2由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理()3一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是ann(nN*)()4在平面上，若两个正三角形的边长之比为12，则它们的面积之比为14类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为12，则它们的体积之比为18.()5在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确()6命题“对任意角，cos4sin4cos2”的证明过程“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos2”应用了综合法()类型一合情推理的应用例1有一个奇数列1,3,5,7,9，现在进行如下分组：第一组含一个数1；第二组含两个数3,5；第三组含三个数7,9,11；第四组含四个数13,15,17,19；，试观察每组内各数之和f(n)(nN*)与组的编号数n的关系式为_考点归纳推理题点归纳推理在数对(组)中的应用答案f(n)n3解析由于113,35823，79112733,131517196443，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)n3.反思与感悟(1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列问题中的常见类型(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性跟踪训练1观察下列等式：11234934567254567891049照此规律，第n个等式应为_考点归纳推理题点归纳推理在数阵(表)中的应用答案n(n1)(3n2)(2n1)2解析把已知等式与行数对应起来，则每个等式的左边的式子的第一个数是行数n，加数的个数是2n1；右边都是完全平方数，行数等号左边的项数1111234923345672535456789104947所以n(n1)n(2n1)1(2n1)2，即n(n1)(3n2)(2n1)2.故填n(n1)(3n2)(2n1)2.类型二综合法与分析法例2已知|a|1，|b|1，|c|abc.考点综合法及应用题点利用综合法解决函数问题证明构造函数f(x)(bc1)xbc2(x(1,1)，则f(1)(bc1)bc2(b1)(c1).|b|1，|c|0.又bc10，f(x)在(1,1)上为减函数f(x)在(1,1)上恒大于0.|a|0.(bc1)abc20，即abc2abc.反思与感悟根据待证不等式的结构特点构造函数，将此问题转化为函数问题，再利用函数的图象与性质解决问题跟踪训练2设a，b是两个正实数，且ab，求证：a3b3a2bab2.考点分析法及应用题点分析法解决不等式问题证明要证a3b3a2bab2成立，即需证(ab)(a2abb2)ab(ab)成立，即需证a2abb2ab成立只需证a22abb20成立，即需证(ab)20成立而由已知条件可知，ab，所以ab0，所以(ab)20显然成立即a3b3a2bab2.类型三反证法例3已知f(x)ax(a1)，求证：f(x)0没有负根考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设x0是f(x)0的负根，则x00且x01且，由01，得01，解得x02，这与x00矛盾，所以假设不成立故方程f(x)0没有负根反思与感悟当结论为否定形式的命题时，常常借助于反证法进行证明，如将方程f(x)0没有负根，假设为方程f(x)0存在负根x0，然后利用已知条件和假设结论进行推理，推出的结果同已知条件或已成立的事实矛盾，从而得出“假设不成立”的结论跟踪训练3已知：ac2(bd)求证：方程x2axb0与方程x2cxd0中至少有一个方程有实数根考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设两方程都没有实数根，则1a24b0且2c24d0，有a2c22ac，即ac2(bd)，与已知矛盾，故原命题成立.1观察按下列顺序排序的等式：9011,91211,92321,93431，猜想第n(nN*)个等式应为()A9(n1)n10n9B9(n1)n10n9C9n(n1)10n1D9(n1)(n1)10n10考点归纳推理题点归纳推理在数对(组)中的应用答案B解析由已知中的式子，我们观察后分析：等式左边分别为9与编号减1的积再加上编号，等式右边是一个等差数列根据已知可以推断：第n(nN*)个等式为9(n1)n10n9.2在平面直角坐标系中，方程1表示x，y轴上的截距分别为a，b的直线，类比到空间直角坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc0)的平面方程为()A.1B.1C.1Daxbycz1考点类比推理题点平面几何与立体几何之间的类比答案A解析在平面直角坐标系中，方程1表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x轴，y轴上的截距分别为a，b”类比到空间直角坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc0)的平面方程为1.3下列关于否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()A有一个解B有两个解C至少有三个解D至少有两个解考点反证法及应用题点如何正确进行反设答案C解析“至多有n个”的否定是“至少有n1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故选C.4在等差数列an中，2anan1an1(n2，且nN*)类比以上结论，在等比数列bn中，类似的结论是_考点类比推理题点等差数列与等比数列之间的类比答案bbn1bn1(n2且nN*)5在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2ana1a2a19n(n19，nN*)成立，类比上述性质，相应地，在等比数列bn中，若b91，则有等式_成立考点类比推理题点等差数列与等比数列之间的类比答案b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)解析在等差数列an中，由a100，得a1a19a2a8ana20nan1a19n2a100(n19，nN*)，a1a2ana190，即a1a2ana19a18an1.又a1a19，a2a18，a19nan1，a1a2ana19a18an1a1a2a19n，若a90，同理可得a1a2ana1a2a17n.相应地，在等比数列bn中，则可得b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)1归纳推理和类比推理都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明2演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式，也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性3直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用间接证明的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法一、选择题1定义中演绎推理是以下列哪个为前提推出某个特殊情况下的结论的推理方法()A一般的原理B特定的命题C一般的命题D定理、公式考点演绎推理的含义及方法题点演绎推理的含义答案A解析据演绎推理的含义，得A正确2若m，n，a0，则有()AmnD不能确定考点分析法及应用题点分析法解决不等式问题答案A解析要比较m，n的大小，可比较m22a52，n22a52的大小，只要比较a25a与a25a6的大小因为a25a6a25a，所以(a0)，即mQBPQCP0，即PQ.5设函数f(x)2x1(x1，则a，b，c，d中至少有一个负数”的假设为()Aa，b，c，d中至少有一个正数Ba，b，c，d全为正数Ca，b，c，d全部大于等于0Da，b，c，d中至多有一个负数考点反证法及应用题点如何正确进行反设答案C解析“a，b，c，d中至少有一个负数”的否定为“a，b，c，d全都大于等于0”二、填空题8设a0，b0，c0，若abc2，则_.考点演绎推理的应用题点演绎推理在不等式中的应用答案9已知函数yx在区间3，)上是增函数，则a的取值范围是_考点演绎推理的应用题点演绎推理在函数中的应用答案解析因为y1，要使函数yx在区间3，)上是增函数，则10在区间3，)上恒成立，即a在区间3，)上恒成立，所以a.10如果abab，则a，b应满足的条件是_考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案a0，b0且ab解析ab(ab)(ab)(ba)()(ab)()2()当a0，b0且ab时，()2()0.abab成立的条件是a0，b0且ab.三、解答题11设数列an的前n项和为Sn，且满足an2Sn(nN*)(1)求a1，a2，a3，a4的值并写出其通项公式；(2)用三段论证明数列an是等比数列考点三段论题点三段论的应用(1)解由an2Sn，得a11；a2；a3；a4，猜想ann1(nN*)(2)证明对于通项公式为an的数列an，若p，p是非零常数，则an是等比数列，大前提因为通项公式ann1，又，小前提所以通项公式为ann1的数列an是等比数列结论12设x1，y1，证明：xyxy.考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题证明由于x1，y1，所以xyxyxy(xy)1yx(xy)2.yx(xy)2xy(xy)1(xy)21xy(xy)(xy)(xy1)(xy1)(xy)(xy1)(xy1)(xyxy1)(xy1)(x1)(y1)因为x1，y1，所以(xy1)(x1)(y1)0.从而所要证明的不等式成立13已知f(x)x2pxq.求证：(1)f(1)f(3)2f(2)2；(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.考点反证法及应用题点反证法的应用证明(1)f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2.(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则|f(1)|2|f(2)|f(3)|2.而|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)(84p2q)2，这与|f(1)|2|f(2)|f(3)|AF|2，点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a，c1，b，动点P的轨迹方程为1，故选D.15设p：实数x满足x24ax3a20，q：实数x满足|x3|0且綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围考点演绎推理的应用题点演绎推理在不等式中的应用