原子与原子核物理学张国营习题答案.doc

原子与原子核物理学习题答案第1章 1.1 若卢瑟福散射用的粒子是放射性物质镭放射的，其动能为电子伏特。散射物质是原子序数的金箔。试问散射角所对应的瞄准距离多大？解：根据卢瑟福散射公式：得到：米式中是粒子的功能。1.3 钋放射的一种粒子的速度为米/秒，正面垂直入射于厚度为米、密度为的金箔。试求所有散射在的粒子占全部入射粒子数的百分比。已知金的原子量为。解：散射角在之间的粒子数与入射到箔上的总粒子数n的比是：其中单位体积中的金原子数：而散射角大于的粒子数为：所以有：等式右边的积分：故即速度为的粒子在金箔上散射，散射角大于以上的粒子数大约是。1.4能量为3.5兆电子伏特的细粒子束射到单位面积上质量为的银箔上，粒子与银箔表面成角。在离L=0.12米处放一窗口面积为的计数器。测得散射进此窗口的粒子是全部入射粒子的百万分之29。若已知银的原子量为107.9。试求银的核电荷数Z。60t,t2060图1.1解：设靶厚度为。非垂直入射时引起粒子在靶物质中通过的距离不再是靶物质的厚度，而是，如图1-1所示。因为散射到与之间立体角内的粒子数dn与总入射粒子数n的比为： (1)而为： （2）把（2）式代入（1）式，得：（3）式中立体角元N为原子密度。为单位面上的原子数，其中是单位面积式上的质量；是银原子的质量；是银原子的原子量；是阿佛加德罗常数。将各量代入（3）式，得：由此，得：Z=471.5 动能为40MeV的粒子和静止的铅核(Z=82)作对心碰撞时的最小距离是多少?解：由公式: , 当对心碰撞时,则1.6 动能为0.87MeV的质子接近静止的汞核(Z=80),当散射角时,它们之间的最小距离是多少?解：最小距离为: 1.7试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度。解：电子在第一玻尔轨道上即年n=1。根据量子化条件，可得：频率 速度：米/秒加速度：1.9 试由氢原子的里德伯常数计算基态氢原子的电离电势和第一激发电势。解：电离能为，把氢原子的能级公式代入，得： = 13.60电子伏特。电离电势：伏特第一激发能：电子伏特第一激发电势：伏特1.10 用能量为12.5电子伏特的电子去激发基态氢原子，问受激发的氢原子向低能基跃迁时，会出现那些波长的光谱线？解：把氢原子有基态激发到你n=2,3,4等能级上去所需要的能量是： 其中电子伏特电子伏特电子伏特电子伏特其中小于12.5电子伏特，大于12.5电子伏特。可见，具有12.5电子伏特能量的电子不足以把基态氢原子激发到的能级上去，所以只能出现的能级间的跃迁。跃迁时可能发出的光谱线的波长为：1.11 试估算一次电离的氦离子、二次电离的锂离子的第一玻尔轨道半径、电离电势、第一激发电势和赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量之比值。解：在估算时，不考虑原子核的运动所产生的影响，即把原子核视为不动，这样简单些。a) 氢原子和类氢离子的轨道半径：b) 氢和类氢离子的能量公式：其中电离能之比：c) 第一激发能之比：d) 氢原子和类氢离子的广义巴耳末公式：，其中是里德伯常数。氢原子赖曼系第一条谱线的波数为：相应地，对类氢离子有：因此，1.15 试问二次电离的锂离子从其第一激发态向基态跃迁时发出的光子，是否有可能使处于基态的一次电离的氦粒子的电子电离掉？解：由第一激发态向基态跃迁时发出的光子的能量为：的电离能量为：由于，从而有，所以能将的电子电离掉。1.17 已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子结构的“正电子素”。试计算“正电子素”由第一激发态向基态跃迁发射光谱的波长为多少？解：1.18氢与其同位素氘（质量数为2）混在同一放电管中，摄下两种原子的光谱线。试问其巴耳末系的第一条（）光谱线之间的波长差有多大？已知氢的里德伯常数，氘的里德伯常数。解：，1.19 原子序数Z=3，其光谱的主线系可用下式表示：。已知锂原子电离成离子需要203.44电子伏特的功。问如把离子电离成离子，需要多少电子伏特的功？解：与氢光谱类似，碱金属光谱亦是单电子原子光谱。锂光谱的主线系是锂原子的价电子由高的p能级向基态跃迁而产生的。一次电离能对应于主线系的系限能量，所以离子电离成离子时，有是类氢离子，可用氢原子的能量公式，因此时，电离能为：。设的电离能为。而需要的总能量是E=203.44电子伏特，所以有1.20 试证明氢原子中的电子从n+1轨道跃迁到n轨道，发射光子的频率。当n1时光子频率即为电子绕第n玻尔轨道转动的频率。证明：在氢原子中电子从n+1轨道跃迁到n轨道所发光子的波数为：频率为：当n时，有，所以在n1时，氢原子中电子从n+1轨道跃迁到n轨道所发光子的频率为：。设电子在第n轨道上的转动频率为，则因此，在n1时，有由上可见，当n1时，请原子中电子跃迁所发出的光子的频率即等于电子绕第n玻尔轨道转动的频率。这说明，在n很大时，玻尔理论过渡到经典理论，这就是对应原理。2.4经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长 用上述电压加速的质子束的德布罗意波长是多少？解：德布罗意波长与加速电压之间有如下关系： 对于电子：把上述二量及h的值代入波长的表示式，可得：对于质子，代入波长的表示式，得：2.9假设粒子只在一维空间运动，它的状态可用如下波函数来描写： 式中，E和a分别为确定常数，A为归一化系数，计算归化的波函数和概率密度。解：根据波函数的归一化条件，有得 故归一化波函数为 相应的概率密度2.10假设氢原子处于n =3, l =1的激发态 ,问原子的轨道角动量如何？其在空间有哪些可能取向?计算各可能取向的角动量与 z 轴之间的夹角。 解：由于轨道角动量由角量子数决定，而角量子数为=1,则轨道角动量取值为： ，角动量空间取向有三个，即2hp4hh 2.11 史特恩-盖拉赫实验中，处于基态的窄银原子束通过不均匀横向磁场，磁场的梯度为特斯拉/米，磁极纵向范围=0.04米(见图2-2)，从磁极到屏距离=0.10米，原子的速度米/秒。在屏上两束分开的距离米。试确定原子磁矩在磁场方向上投影的大小（设磁场边缘的影响可忽略不计）。解：银原子在非均匀磁场中受到垂直于入射方向的磁场力作用。其轨道为抛物线；在区域粒子不受力作惯性运动。经磁场区域后向外射出时粒子的速度为，出射方向与入射方向间的夹角为。与速度间的关系为：粒子经过磁场出射时偏离入射方向的距离S为：（1）将上式中用已知量表示出来变可以求出把S代入（1）式中，得：整理，得：由此得：第三章3.1 已知原子光谱主线系最长波长，辅线系系限波长。求锂原子第一激发电势和电离电势。解：主线系最长波长是电子从第一激发态向基态跃迁产生的。辅线系系限波长是电子从无穷处向第一激发态跃迁产生的。设第一激发电势为，电离电势为，则有：3.2 原子的基态3S。已知其共振线波长为5893，漫线系第一条的波长为8193，基线系第一条的波长为18459，主线系的系限波长为2413。试求3S、3P、3D、4F各谱项的项值。解：将上述波长依次记为容易看出：3.3 K原子共振线波长7665，主线系的系限波长为2858。已知K原子的基态4S。试求4S、4P谱项的量子数修正项值各为多少？解：由题意知：由，得：设,则有与上类似3.4 处于3D(3P)激发态的锂原子，向低能级跃迁时可产生哪些光谱线？在能级图上表示出来：（1）不考虑精细结构；（2）考虑精细结构。解：（1）不考虑精细结构时，如图（a）所示。（2）考虑精细结构时，如图（b）所示。2S22222PPP PPP3P3DP3S3P3D(图a)32S1/222S1/222P3/222P1/232P3/232P1/232D5/232D3/23.5 钠原子共振线的双线波长分别为589.0nm和589.6nm，试求3P能级精细结构的裂距。解：3.6 试计算氢原子赖曼线系第一条谱线的精细结构分裂的波长差。解：如右图示，赖曼线系第一条谱线的两条分线为 ， 由能级公式 （，）第四章4.1按L-S耦合写出下列组态所组成的全部原子态,并写出原子态符号.(1) (2) (3) (4) (5) 解: (1) , , , .构成1S0,3S1.(2) , , , .构成的原子态如表(2).(3) , , , .构成的原子态如表(3).(4) , , , .构成的原子态如表(4).(5) , , .构成的原子态如表(5).S=0S=1L=11P13P2,1,0(2)S=0S=1L=21D23D3,2,1(3)S=0S=1L=11P13P2,1,0L=21D23D3,2,1L=31F33F4,3,2(4)S=0S=1L=01S03S1L=11P13P2,1,0L=21D23D3,2,1L=31F33F4,3,2L=41G43G5,4,3(5)4.2已知氦原子的2p3d 组态所构成的光谱项之一为3D,问这两个电子的轨道角动量L1和L2之间的夹角,自旋角动量S1和S2之间的夹角分别是多少?解: 对组态为2p3d的两个电子l1 =1 , l2 =2 , s1 = s2 = 1/ 2.轨道角动量大小为 , 它们构成的光谱项3D对应的 l = 2 , s = 1即它们总的轨道角动量L的大小为 它们总的自旋角动量S的大小为 由L = L1 + L2 ,如右图所示,可得轨道角动量L1和L2之间的夹角则: , .类似地自旋角动量S1和S2的大小为 则自旋角动量S1和S2之间的夹角得: , .4.3写出下列各态中S、L、J值并指出这些原子态中哪些是可能的，哪些是不可能的。 4.4试以两个价电子为例说明,不论是LS耦合还是jj耦合都给出同样数目的可能状态.证明:(1)LS耦合5个 L值分别得出5个J值,即5个单重态代入一个L值便有一个三重态个L值共有乘等于个原子态：因此，LS耦合时共有个可能的状态（）jj耦合：将每个合成J得：共个状态：所以，对于相同的组态无论是LS耦合还是jj耦合，都会给出同样数目的可能状态3s1S04s1S03p1P14s3S13p3P23p3P13p3P0(4.5题图)4.5已知Mg原子(Z=12)的光谱项的各多重态(原子态)属于L-S耦合,则该原子由3s4s组态向3s3s组态跃迁时,将出现哪些谱线?画出能级跃迁图.(提示:中间有3s3p组态,三重态为正常次序)解: 3s3s构成基态1S0；3s3p构成3p1P1和3p3P2,1,0; 3s4s构成4s1S0和4s3S1。出现的谱线如图所示：1S01P13S13P13P03P24s5s5s4p4p(4.6题图)4.6Ca原子的能级是单层和三重结构, 三重结构中J大的能级高,其锐线系的三重线的频率,其频率间隔为, ,试求其频率间隔值.解: Ca原子(Z=20)基态的电子组态为 1s22s22p63s23p64s2, 基态谱项 4s2 1S0 ; 激发态电子组态4s4p构成的原子态为1P1和3P2,1,0; 电子组态4s5s构成原子态1S0和3S1.锐线系三重线对应电子跃迁情况如图所示,由朗得间隔定则,得:.4.8 已知He原子的一个电子被激发到2p轨道,而另一个电子还在1s轨道,1S01P13S13P13P03P21s2s2p2p2s(4.8题图)试作出能级跃迁图来说明可能出现哪些光谱线的跃迁.解: 原子基态为1s1s1S0;激发态1s2p构成原子态1s2p1P1和1s2p3P2,1,0.激发态1s2s构成原子态1s2s1S0和1s2s3S1. 可能出现的光谱线的跃迁，如图所示.4.9 Pb原子基态的两个价电子都在6p轨道,若其中一个价电子被激发到7s轨道,而其价电子间相互作用属于j-j耦合.问此时Pb原子可能有哪些状态.解: 铅原子的基态为6p6p3P0(6p6p构成的原子态有1S0;3P2,1,0;1D2);激发态6p7s的两个电子量子数 ,s1=1/2; l2=0,s2=1/2 由j-j耦合可得: j1=3/2,1/2 ;j2=1/2.由j1=1/2, j2=1/2 得j=1,0 构成(1/2,1/2)1,(1/2,1/2)0两个原子态;j1=3/2, j2=1/2 得j=2,1 构成(3/2,1/2)2,(3/2,1/2)1两个原子态.可见,共有4个不同的原子态.第五章5.3若已知钒原子束，按照史特恩-盖拉赫实验方法通过及不均匀的磁场时，分裂成4个成分，试确定这些原子的有效磁矩和磁矩的最大投影值。解：原子的磁矩在磁矩方向的分量为其中M=J,J-1,-J；式中的负号表示当M是正值时，和磁场方向相反，当M是负值时和磁场方向相同。在磁场中有2J+1个取向。在磁场中的最大分量：对于钒（）：因为2S+1=4，所以：自旋S=3/2因为是F项，所以角量子数L=3,因为在非均匀磁场中，其原子束分裂为4个成分，则有2J+1=4，所以J=3/2。根据S、L、J值求得g为:5.4已知原子跃迁的光谱线在磁场中分裂为三条光谱线，其间距，试计算所用磁场的感应强度。解：裂开后的谱线同原谱线的波数之差为：氦原子的两个价电子之间是LS型耦合。对应原子态，；，对应原子态，。又因谱线间距相等：。5.5漫线系的一条谱线在弱磁场中将分裂成多少条谱线？试作出相应的能级跃迁图。解：在弱磁场中，不考虑核磁矩。能级：能级：所以：在弱磁场中由跃迁产生的光谱线分裂成六条，谱线之间间隔不等。2D3/22P1/2无磁场有磁场-3/2 -1/2M3/2 106/31/2 1/2 -1/2 s s p ps s 5.6 在平行于磁场方向观察到某光谱线的正常塞曼效应分裂的两谱线间波长差是。所用的磁场的B是2.5特斯拉，试计算该谱线原来的波长。解：对单重项（自旋等于零）之间的跃迁所产生的谱线可观察到正常塞曼效应。它使原来的一条谱线分裂为三条，两个成分，一个成分。成分仍在原来位置，两个成分在成分两侧，且与成分间的波数间隔都是一个洛仑兹单位L。又符号表示波长增加波数减少。根据题设，把近似地看作成分与成分间的波长差，则有：其中因此，5.7氦原子光谱中波长为及的两条谱线，在磁场中发生塞曼效应时应分裂成几条？分别作出能级跃迁图。问哪一个是正常塞曼效应？哪个不是？为什么？解：（1）。可以发生九种跃迁，但只有三个波长，所以的光谱线分裂成三条光谱线，且裂开的两谱线与原谱线的波数差均为L，是正常塞曼效应。（2）对，所以的光谱线分裂成三条，裂开的两谱线与原谱线的波数差均为2L，所以不是正常塞曼效应。5.8 跃迁的精细结构为两条，波长分别为5895.93埃和5889.96埃。试求出原能级在磁场中分裂后的最低能级与分裂后的最高能级相并合时所需要的磁感应强度。解：对磁场引起的附加能量为：设对应的能量分别为，跃迁产生的谱线波长分别为；那么，。能级在磁场中发生分裂，的附加磁能分别记为；现在寻求时的B。由此得：即：因此，有：其中，将它们及各量代入上式得：B=15.8特斯拉。5.9 铊原子气体在状态。当磁铁调到B=0.2特斯拉时，观察到顺磁共振现象。问微波发生器的频率多大？解：对原子态：由得代入各已知数，得。5.10 钾原子在B=0.3特斯拉的磁场中，当交变电磁场的频率为赫兹时观察到顺磁共振。试计算朗德因子，并指出原子处在何种状态？解：由公式，得：钾外层只有一个价电子，所以又将代入上式，得到：整理，得：当时，上方程有两个根：当时，上方程有两个根：由于量子数不能为负数，因此无意义，弃之。因此钾原子处于状态。第六章6.1 有两种原子，在基态时其电子壳层是这样添充的：n=1壳层、n=2壳层和3s次壳层都填满，3p次壳层填了一半。试问这是哪种原子？解：根据每个壳层上能容纳的最多电子数为和每个次壳层上 能容纳得最多电子数为 。 n=1壳层、n=2壳层填满时的电子数为： 3s次壳层填满时的电子数为： 3p次壳层填满一半时的电子数为： 所以此中原子共有15个电子，即Z=15，是P(磷)原子。 6.4 原子的S、P、D项的量子修正值。把谱项表达成形式，其中Z是核电荷数。试计算3S、3P、3D项的分别为何值？并说明的物理意义。解：原子的光谱项可以表示为。因此。由此得：故： 的物理意义是：轨道贯穿和原子实极化等效应对价电子的影响，归结为内层电子对价电子的屏蔽作用。6.6 某X光机的高压为10万伏，问发射光子的最大能量多大？算出发射X光的最短波长。解：电子的全部能量转换为光子的能量时，X光子的波长最短。而光子的最大能量是：电子伏特而 所以6.7 已知Cu的线波长是1.542，以此X射线与NaCl晶体自然而成角入射而得到第一级极大。试求NaCl晶体常数。解：已知入射光的波长，当掠射角时，出现一级极大（n=1）。6.8铝（Al）被高速电子束轰击而产生的连续X光谱的短波限为5。问这时是否也能观察到其标志谱K系线？解：短波X光子能量等于入射电子的全部动能。因此电子伏特要使铝产生标志谱K系，则必须使铝的1S电子吸收足够的能量被电离而产生空位，因此轰击电子的能量必须大于或等于K吸收限能量。吸收限能量可近似的表示为： 这里，；所以有：故能观察到。6.15已知Al和Cu对于的X光的质量吸收系数分别是，Al和Cu的密度分别是和。现若分别单独用Al板或Cu板作挡板，要的X光的强度减至原来强度的1/100。问要选用的Al板或Cu板应多厚？解：，因为X光子能量较低，通过物质时，主要是电离吸收，故可只考虑吸收而略掉散射。所以有：对于Al: 对于Cu: 第七章7.17.2 从中移去一个中子需要多少能量?已知; .解: 7.4 在铍核内每个核子的平均(比)结合能为6.45MeV,而在氦核内为7.06 MeV,要把分裂为两个粒子,问是吸收还是放出多少能量?解: 分裂前的总结合能为:分裂后的总结合能为:为使分裂能实现,外部必须供给的能量为:.7.10实验测得处于同一状态的226Ra放出两组粒子,相应的动能为4.793MeV和4.612MeV.(1) 分别求出衰变能;(2) 计算所辐射光子频率;(3) 画出核能级跃迁示意图.解: （镭）（氡）00.1843(Mev) (1) (2) 所辐射光子能量: 由, 则 (3) 核能级跃迁图:7.11 已知的质量分别为3.016050u和3.016030u,计算放射出的粒子的最大能量.解: 衰变能: 由于中微子的质量为零,He核的动能可忽略不计，所以在电子和中微子之间分配。当中微子的动能为零时，电子的动能为最大值，即0.1863MeV. 7.12 激发能为100kev的同质异